2012年广东省深圳市高三年级第二次调研考试(理数,精校版)

绝密启用前 试卷类型：A 2012年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科） 2012.4.23 本试卷共 6页，21 小题，满分 150分考试用时 120分钟 注意事项： 1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后 务必用 0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将 监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效 3非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的 答案无效 5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 参考公式： 如果事件 AB、 互斥，那么 PABP()()； 如果事件 、 相互独立，那么 ； 若锥体的底面积为 S，高为 h，则锥体的体积为 13VSh 一、选择题：本大题共 8个小题；每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一 项是符合题目要求的 1集合 *|niN（其中 i为虚数单位）中元素的个数是 A B 2C 4D 无穷多个 2设随机变量 (1,3)XM，若 ()()PXc，则 c等于 A0 B1 C2 D3 3已知命题 p：“存在正实数 ba,，使得 balglg”；命题 q：“空间两条直线异面的充分 必要条件是它们不同在任何一个平面内”.则它们的真假是 A ， q都是真命题 B p是真命题， 是假命题 C ， 都是假命题 D 是假命题， 是真命题 4在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有 1名、2 名、3 名同学获奖，将这六名同学排成 一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A6 种 B36 种 C72 种 D120 种 5设 Rdcba,，若 ba,1成等比数列，且 dc,成等差数列，则下列不等式恒成立的是 A 2 B 2abcd C | D | 6设函数 2,()xaf，若 )(xf的值域为 R，则常数 a的取值范围是 A 1， ， B 1,2 C ， ， D 7如图 1，直线 l和圆 ，当 l从 0开始在平面上绕点 O按逆时针方向匀 速转动（转动角度不超过 9）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S是 时间 t的函数，这个函数的图象大致是 A B C D 8如果函数 |1yx的图象与方程 21xy的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范 围是 A 0， B ， C 0， D 10， ， 二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30分本大题分为必 做题和选做题两部分 （一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题 9在实数范围内，方程 |1|x的解集为 10某机器零件的俯视图是直径为 m24的圆（包换圆心） ， 主视图和侧视图完全相同，如图 2所示，则该机器零件 的体积是 3（结果保留 ） 11已知平面向量 ， 满足条件 (1,0)， (12)， ， 则 ab 12执行图 3中程序框图表示的算法，若输入 530mn， ，则输出 d 13某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5次试验.根据收集到的数 据（如下表） ，由最小二乘法求得回归方程 9.5467.0xy. 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 14 页 零件数 x（个） 10 20 30 40 50 加工时间 y(min) 62 ？ 75 81 89 现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分 14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线 :(sinco)la 把曲线 C： cos2所围成的区域分成面 积相等的两部分，则常数 的值是 15 （几何证明选讲选做题）如图 4， ,AB是圆 O的直径，弦 AD和BC 相交于点 P，连接 D.若 120P，则 C 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤 16 （本小题满分 12分） 已知函数 ()sinco(),6fxxR （1）求函数 的最大值； （2）设 ABC中，角 ,的对边分别为 cba,，若 AB2且 )6(afb，求角 C的大 小 17 （本小题满分 12分） 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有 6个篮球，其中 3个是新篮球（即没有用过的球） ， 3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都从中任意取出 2个球，用完后放回. （1）设第一次训练时取到的新球的个数为 ，求 的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率. 18 （本小题满分 14分） 如图 5，已知正方形 ABCD在水平面上的正投影（投影线垂 直于投影面）是四边形 ，其中 与 A重合，且BD （1）证明 /平面 ； （2）如果 A中， 2， 5B，正方形C 的边长为 6,求平面 CD与平面 A所成的锐二 面角 的余弦值 19 （本小题满分 14分） 已知数列 na满足： 1， 2a，且 3)1(cos2(nna， *N. （1）求通项公式 ； （2）设 n的前 项和为 nS，问：是否存在正整数 ,m使得 21nS？若存在，请求出所有 的符合条件的正整数对 ),(m，若不存在，请说明理由. 20 （本小题满分 14分） 如图 6，已知动圆 M过定点 )1,0(F且与 x轴相切，点 F关于圆心 M的对称点为 F，动点 的轨 迹为 C. （1）求曲线 的方程； （2）设 ),(0yxA是曲线 C上的一个定点，过点 A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线 C 相交于另外两点 QP,. 证明：直线 的斜率为定值； 记曲线 位于 ,两点之间的那一段为 L，若点 B在 上，且点 到直线 PQ的距离最大， 求点 B的坐标. 21.（本小题满分 14分） 已知函数 xxfln)(， )()(afxfg，其中 )(f表示函数 ()fx在 a导数， 为 正常数. （1）求 g的单调区间； （2）对任意的正实数 12,且 12，证明： 2122121()()()(fxfffx ； （3）对任意的 *nN，且 ，证明： ln3lnln 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 14 页 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4 一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C D A D B 二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30分 （一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题 9 0,1 10 280 11 1 12 03 13 68 （注：第 9题答案也可以写成 0|x，如果写成 x，不扣分 ） （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能从中选做一题 14 （坐标系与参数方程选做题） 1 15 （几何证明选讲选做题） 21 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 )6cos(in)(xxf ， R （1）求 的最大值； （2）设 ABC中，角 、 的对边分别为 a、 b，若 AB2且 )6(fab，求角 C的大 小 解：（1） )6cos(in)(xxf xxsin1co23sin 2 分213)6( （注：也可以化为 )3cos(x） 4 分 所以 )(xf的最大值为 6 分 （注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给 4 分） （2）因为 )6(2Afab，由（1）和正弦定理，得 AB2sin3si7 分 又 B，所以 2sin3si，即 A2cosi， 9 分 而 A是三角形的内角，所以 0，故 in3， ta， 11 分 所以 6， 3A， 2BC 12 分 17 （本小题满分 12 分） 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有 6 个篮球，其中 3 个是新球（即没有用过的球） ，3 个是旧球（即至少用过一次的球） 每次训练，都从中任意取出 2 个球，用完后放回 （1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率 解：（1） 的所有可能取值为 0，1，2 1 分 设“第一次训练时取到 i个新球（即 i） ”为事件 iA（ 0，1，2） 因为集训前共有 6 个篮球， 其中 3 个是新球，3 个是旧球，所以 5)0()2630CPA ， 3 分111 ， 5 分5)2()632 7 分 所以 的分布列为（注：不列表，不扣分 ） 0 1 2P535 的数学期望为 23150E 8 分 （2）设“从 6 个球中任意取出 2 个球，恰好取到一个新球”为事件 B 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 AB210 而事件 BA0、 1、 2互斥， 所以， )()()()( 210PAPP 由条件概率公式，得 535|()( 263000 C为 ， 9 分81|41111ABPA ， 10 分535|()( 261222 为 11 分 所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 78123)(210 为BAP 12 分 18 （本小题满分 14 分） 如图 5，已知正方形 CD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形 DCBA，其 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 14 页 中 A与 重合，且 CDB （1）证明 /平面 ，并指出四边形 DCAB的形状； （2）如果四边形 A中， 2， 5，正方形 AB的边长为 6， 求平面 C与平面 所成的锐二面角 的余弦值 证明：（1）依题意， B平面 ， 平面 DC， 平面 A， 所以 /DCB 2 分 （法 1）在 上取点 E，使得 ， 连结 E， ，如图 51 因为 /，且 ， 所以 C是平行四边形， C/，且 DE 又 ABD是正方形， AB，且 ， 所以 E/，且 ，故 是平行四边形， 4 分 从而 ，又 E平面 ， 平面 CB， 所以 /平面 C 6 分 四边形 AB是平行四边形（注：只需指出四边形 DA的形状，不必证明） 7 分 （法 2）因为 /D， 平面 ， 平面 ， 所以 /平面 因为 C是正方形，所以 BCA/，又 平面 CB， 平面 CB， 所以 /A平面 B 4 分 而 平面 ， 平面 D， DA， 所以平面 /D平面 ，又 平面 ，所以 /平面 6 分 四边形 C是平行四边形（注：只需指出四边形 CB的形状，不必证明） 7 分 解：（2）依题意，在 Rt AB中， 1)5(6 222， 在 Rt A中， )(6 2D， 所以 301 B （注：或 1BEC） 8 分 连结 C， ，如图 52， 在 Rt A中， 3)2( 2A 所以 22B，故 10 分 15图 CD)(ABC E 25图 CD)(ABCDFG （法 1）延长 CB， 相交于点 F， 则 3F，而 2，所以 23C 连结 A，则 F是平面 AD与平面 B 的交线 在平面 CB内作 G，垂足为 ， 连结 G 因为 平面 A， F平面 CAB，所以 AF 从而 F平面 ， 所以 C是平面 BD与平面 所成的一个锐二面角 12 分 在 Rt A中， 532)3( 2AFG， 在 Rt C中， 022C 所以 6cosG， 即平面 ABD与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 614 分 （法 2）以 C为原点， A为 x轴， BC为 y轴， 为 z轴， 建立空间直角坐标系（如图 53） ， 则平面 的一个法向量 )1,0(n 设平面 ABD的一个法向量为 zyxm， 因为 )0,3(， ),2(， )3,(C， 所以 1,， 20， 而 m， ， 所以 0AB且 ， 即 23zyx ， 取 1z，则 ， 3x，所以平面 ABCD的一个法向量为 )1,23(m （注：法向量不唯一，可以是与 )1,2(m共线的任一非零向量）12 分610)(3|0|,cos| 2222 n 5图 CDABC yxz 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 14 页 所以平面 ABCD与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 6 14 分 （法 3）由题意，正方形 在水平面上的正投影是四边形 DCBA， 所以平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值 S 12 分 而 6)(2ABCDS， 632 ACBSDCA ，所以 6cos， 所以平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 14 分 19 （本小题满分 14 分） 已知数列 na满足： 1， 2a，且 3)1(cos2(nna， *N （1）求通项公式 ； （2）设 n的前 项和为 nS，问：是否存在正整数 m、 ，使得 12nmS？若存在，请求出所 有的符合条件的正整数对 ),(m，若不存在，请说明理由 解：（1）当 是奇数时， 1cos；当 是偶数时， 1cosn 所以，当 n是奇数时， 22na；当 是偶数时， a32 2 分 又 1a， 2，所以 1， 3， 5， 1n，是首项为 1，公差为 2 的等差数列；2 ， 4， 6， na，是首项为 2，公比为 3 的等比数列 4 分 所以， 为n,21 6 分 （2）由（1） ，得 )()( 242123 nnn aaaS 36( 12 ， 21212 aSnnn 8 分 所以，若存在正整数 m、 ，使得 2mS，则 13132212 nnn 31n 9 分 显然，当 时， 2)(SS ； 当 时，由 12n，整理得 1n 显然，当 时， 03； 当 时， 212， 所以 )2,(是符合条件的一个解 11 分 当 3n时， 21111)(nnnn C 2114nnC34)(2 12 分 当 3m时，由 123nS，整理得 1， 所以 )1,(是符合条件的另一个解 综上所述，所有的符合条件的正整数对 ),(m，有且仅有 ),3(和 2,两对 14 分 （注：如果仅写出符合条件的正整数对 3和 2，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给 2 分， 共 4 分） 20 （本小题满分 14 分） 如图 6，已知动圆 M过定点 )1,0(F且与 x轴相切，点 F关于圆心 M的对称点为 F，动点 的轨 迹为 C （1）求曲线 的方程； （2）设 ),(0yxA是曲线 C上的一个定点，过点 A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线 C相 交于另外两点 P、 Q 证明：直线 的斜率为定值； 记曲线 位于 、 两点之间的那一段为 L若点 B在 上，且点 到直线 PQ的距离最大， 求点 B的坐标 解：（1） （法 1）设 ),(yxF，因为点 )1,0(F在圆 M上， 且点 关于圆心 M的对称点为 ， 所以 )2,(， 1 分 且圆 的直径为 22)1(|yx2 分 由题意，动圆 与 轴相切， 所以 2)(|1|y，两边平方整理得： yx42， 所以曲线 C的方程为 yx4 5 分 （法 2）因为动圆 M过定点 )1,0(F且与 轴相切，所以动圆 M在 x轴上方， 连结 F，因为点 关于圆心 的对称点为 F，所以 为圆 的直径 过点 作 xN轴，垂足为 N，过点 作 xE轴，垂足为 E（如图 61） 在直角梯形 EO中， |2| FON， 即动点 到定点 )1,0(的距离比到 x轴的距离大 1 3 分 又动点 F位于 x轴的上方（包括 轴上） ， 16图FxyONE 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 11 页 共 14 页 所以动点 F到定点 )1,0(的距离与到定直线 1y的距离相等 故动点 的轨迹是以点 ,F为焦点，以直线 为准线的抛物线 所以曲线 C的方程为 yx42 5 分 （2）（法 1）由题意，直线 AP的斜率存在且不为零，如图 62 设直线 AP的斜率为 k（ 0） ，则直线 Q的斜率为 k 6 分 因为 ),(0yx是曲线 ： yx42上的点， 所以 4 20 ，直线 的方程为 )(00xk 由 )(020xky ， 解之得 420y x 或 4)(20k， 所以点 P的坐标为 ),(200x， 以 k替换 ，得点 Q的坐标为 )4(,(200k 8 分 所以直线 P的斜率 2316)()(4000 22 xkxkxkPQ 为定值10 分 （法 2）因为 ),0yA是曲线 C： y2上的点，所以 40y， ),(20xA 又点 、 在曲线 ： x42上，所以可设 ),(21xP， ,2Q， 6 分 而直线 P， Q的倾斜角互补， 所以它们的斜率互为相反数，即 02 201244xx ，整理得 021x 8 分 所以直线 PQ的斜率 40212 2kP 为定值 10 分 （法 1）由可知， )(,(200kx， Q)4(,(200kx，20xkPQ ，所以直线 的方程为 )4xy， 整理得 6420ky 11 分 26图MFxyOPQA 设点 )4,(2xB在曲线段 L上，因为 P、 Q两点的横坐标分别为 kx40和 kx0， 所以 点的横坐标 在 k40和 kx0之间，即 |0x， 所以 |xk，从而 216)( 点 B到直线 PQ的距离 42|16|4 2| 02200 xkxd )(41|16)(| 202020xk 12 分 当 0x时， 420maxd 注意到 |40 kk，所以点 )4,(20x在曲线段 L上 所以，点 B的坐标是 )4,(20x 14 分 （法 2）由可知， kPQ，结合图 63 可知， 若点 在曲线段 L上，且点 到直线 的距离最大， 则曲线 C在点 B处的切线 l/ 11 分 设 l： bxy20，由方程组 yxb420 ， 消去 ，得 40 令 )(1)(20bx，整理，得 20b 12 分 代入方程组，解得 0x， 4 20y 所以，点 B的坐标是 ),( 14 分 （法 3）因为抛物线 C： yx2关于 轴对称， 由图 64 可知，当直线 AP的倾斜角大于 0且趋近于 时，直线 AQ的倾斜角小于 180且趋近于180 ，即当直线 的斜率大于 0 且趋近于 0 时，直线 的斜率小于 0 且趋近于 0 从而 P、 Q两点趋近于点 )4,(2x关于 y轴的对称点 )4,(2x 11 分 由抛物线 C的方程 yx2和的结论， 得 4 2xy ， PQxx k| 000 36图MFxyOPQABlA 46图MFxyO1P1QB232l 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 13 页 共 14 页 所以抛物线 C以点 )4,(20xA为切点的切线 PQl/ 12 分 所以曲线段 L上到直线 PQ的距离最大的点就是点 A， 即点 B、点 重合 所以，点 的坐标是 )4,(20x 14 分 21