【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何（课时作业+单元综合检测）（打包7套）苏教版选修2-1
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何（课时作业+单元综合检测）（打包7套）苏教版选修2-1,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,空间,向量,立体几何,课时,作业,功课,单元,综合,检测,打包,苏教版,选修
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- 1 - 第 3 章 空间向量与立体几何章末总结 苏教版选修 2识点一 空间向量的计算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线 与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础 例 1 沿着正四面体 三条棱 、 、 的方向有大小等于 1、 2 和 3 的三个力 f1，f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值 知识点二 证明平行、垂直关系 空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决 例 2 - 2 - 如图，正方体 M、 N 分别为 中点 (1)用向量法证明平面 平面 (2)用 向量法证明 面 例 3 如图，在棱长为 1 的正方体 P 是侧棱 m. 试确定 m 使得直线 平面 0. 例 4 正方体 E、 F 分别是 中点，求证：平面 平面 - 3 - 知识点三 空间向量与空间角 求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出 (或证出 )所求空间角的平面角，费时费力，难度很大而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解，体现了向量法极大的优越性 例 5 如图所示，在长方体 5， 8， 4， M 为 2，点 N 在线段 ， （ 1）求 ， ； (2)求直线 平面 成角的余弦值； (3)求平面 平面 成角的余弦值 知识点四 空间向量与空间距离 近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解 例 6 如图， 平面 边形 正方形， 2， M、 N 分别是 中点 (1)求二面角 P B 的大小； (2)求证：平面 平面 - 4 - (3)求点 P 到平面 距离 章末总结 重点解读 例 1 解 如图所示，用 a， b， c 分别代表棱 、 、 上的三个单位向量， 则 a， 2b， 3c， 则 f a 2b 3c， |f|2 (a 2b 3c)(a 2b 3c) |a|2 4|b|2 9|c|2 4ab 6ac 12bc 14 40 60 12 0 14 2 3 6 25， |f| 5，即所求合力的大小为 5. 且 f， a fa|f| a| |a|2 2ab 3a1 1 325 710， 同理可得： f， b 45， f， c 910. 例 2 证明 (1)在正方体 ， ， 又 ， ， . 同理可证 又 B， 所以平面 平面 (2) 12 12( ) 12 12( ) 12 12 12. - 5 - 设 a， b， c， 则 12(a b c) 又 b a， 12(a b c)(b a) 12(cb ca ) 又 cb 0， ca 0. 又 |b| |a|， 0. 0， 同理可证， B， 平面 例 3 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， B(1,1,0)， P(0,1， m)， C(0,1,0)， D(0,0,0)， ,1,1)， ,0,1) 则 ( 1， 1,0)， (0,0,1)， ( 1,1， m)， ( 1,1,0) 又由 0， 0 知， 为平面 一个法向量 设 平面 成的角为 ， 则 |， | | | 22 2. - 6 - 依题意得 22 22 0 32 ， 解得 m 33 . 故当 m 33 时，直线 平面 0. 例 4 证明 如图，建立空间直角坐标系 D 设正方体棱长为 1， 则 E 1， 1， 12 、 ,0,1)、 F 0， 12， 0 、 A(1,0,0) (1,0,0) ， 1， 1， 12 ， 0， 12， 1 . 设 m ( n (别是平面 由 m 0m 0 0120 . 令 1，得 m (0,1， 2) 又由 n 0n 0 0120， 令 1，得 n (0,2,1) mn (0,1， 2)(0,2,1) 0， mn ，故平面 平面 例 5 解 (1)建立空间直角坐标系 (如图 )则 A(0,0,0)， ,0,4)， D(0,8,0)， M(5,2,4) (5,2,4)， - 7 - (0,8， 4) 0 16 16 0， . ， 0. (2) A， 平面 (0,8， 4)是平面 一个法向量 又 (0,8,0)， | 4 5， | 8， 64， ， 644 58 25 2 55 . 平面 成角的余弦值为 55 . (3) 平面 法向量是 (0,8， 4)， 平面 法向量是 a (0,0,1)， ， a 44 5 55 . 平面 平面 成角的余弦值为 55 . 例 6 (1)解 平面 由 正方形知 面 二面角 P B 的平面角 45 ， 即二面角 P B 的大小为 45. (2) 如图，建立空间直角坐标系， 则 P(0,0,2)， D(0,2,0)， C(2,2,0)， M(1,0,0)， - 8 - N 是 中点， N(1,1,1)， (0,1,1)， ( 1,1， 1)， (0,2， 2) 设平面 一个法向量为 m (平面 一个法向量为 n ( m 0， m 0， 即有 0， 0. 令 1， 得 2， 1. m ( 2， 1,1) 同理，由 n 0， n 0， 即有 0，220. 令 1，得 0， 1， n (0,1,1) mn 20 ( 1)1 11 0， mn . 平面 平面 (3)设 P 到
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