【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何（课时作业+单元综合检测）（打包7套）苏教版选修2-1
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何（课时作业+单元综合检测）（打包7套）苏教版选修2-1,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,空间,向量,立体几何,课时,作业,功课,单元,综合,检测,打包,苏教版,选修
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- 1 - 间向量及其线性运算 课时目标 握空间向量的几何表示和字母表示 握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义 1空间向量中的基本概念 (1)空间向量：在空间，我们把既有 _又有 _的量，叫做空间向量 (2)相等向量： _相同且 _相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量 (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 _或 _，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 2空间向量的线性运算及运算律 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算及数乘运算： _， _， a ( R) 空间向量加法的运算律 (1)交换律： _. (2)结合律： (a b) c _. (3) (a b) a b ( R) 3共线向量定理：对空间任意两个向量 a， b (a0) ， b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ，使 _ 规定：零向量与任意向量共线 一、填空题 1判断下列各命题的真假： 向量 的长度与向量 的长度相等； 向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量， 其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 有向线段就是向量，向量就是有向线段 其中假命题的个数为 _ B ， ， 满足 | | |，则下列叙述正确的是 _ (写出所有正确的序号 ) ； ； 与 同向； 与 同向 ， 向量表达式 化简后的结果是 _ ，用向量 ， ， 来表示向量 表达式为 - 2 - _ ，设 M 是 中点，则 12( )化简的结果是 _ 6平行六面体 E， F， G， H， P， Q 分别是 列结论中正确的有 _ (写出所有正确的序号 ) 0； 0； 0； 0. a,b 是两个空间向量，则 与 A C 是 _向量， 与 B A 是 _向量 ，化简向量表达式 的结果为 _ 二、解答题 9如图所示，已知空间四边形 结 E， F， G 分别是 中点，请化简 (1) ， (2) ，并标出化简结果的向量 10设 A 是 在平面外的一点， G 是 重心 求证： 13( ) - 3 - 能力提升 ， 于点 O， E 是线段 中点， 延长线与 于点 C a， b，则 _. 12证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分 1在掌握向量加减法的同时，应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等 2共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量 a、 b，若存在惟一实数 ，使 b a (a0) ab ，可作为以后证明线线平行的依据，但必须保证两线不重合 再者向量共线不具有传递性，如 ab ， bc ，不一定有 ac ，因为当 b 0 时，虽然 ab ，bc ，但 a 不一定与 c 平行 3运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止 第 3 章 空间向量与立体几何 - 4 - 空间向量及其运算 3 间向量及其线性运算 知识梳理 1 (1)大小 方向 (2)方向 长度 (3)互相平行 重合 2 a b a b (1)a b b a (2)a (b c) 3 b a 作业设计 1 3 解析 真命题； 假命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的； 真命题； 假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反； 假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段 2 解析 由 | | | | |，知 C 点在线段 ，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以 与 同向 解析 如图所示， ， ， ， . 解析 因为 ， ， 所以 . - 5 - 解析 如图所示， 因为 12( ) ， 所以 12( ) . 6 解析 观察平行六面体 量 ， ， 平移后可以首尾相连，于是 0. 7相等 相反 8 0 解析 在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量 9 解 (1) . (2) E， F， G 分别为 中点 ， . . 故所求向量 ， ，如图所示 10 - 6 - 证明 连结 长后交 E，由 G 为 重心， 知 23. E 为 中点， 12 12. 23 13( ) 13( ) ( ) 13( ) 13b 解析 a 23 a 13(b a) 23a 13b. 12证明 如图所示，平行六面体 A B C D ，设点 O 是 的中点，则 12 12( ) 设 P、 M、 N 分别是 、 、 的中点 则 12 12( ) 12( ) 12( ) - 7 - 同理可证： 12( ) 12( ) 由此可知 O， P， M， N 四点重合 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分 - 1 - 面向量定理 课时目标 能熟练应用 1共面向量的定义： 一般地，能 _的向量叫做共面向量 2共面向量定理： 如果两个向量 a、 b 不共线，那么向量 p 与向量 a、 b 共面的充要条件是存在有序实数组(x， y)，使得 p _. 3共面向量定理的应用： (1)空间中任意两个向量 a， b 总是共面向量，空间中三个向量 a， b， c 则不一定共面 (2)空间中四点共面的条件 空间点 P 位于平面 ，则存在有序实数对 x、 y 使得 ， 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理 ， ， 实质就是面 平面向量的一组基底 另外有 ， 或 (x y z 1) 、 、 均可作为证明四点共面的条件，但是 更为常用 一、填空题 1下列说法中正确的是 _ (写出所有正确的序号 ) 平面 内的任意两个向量都共线； 空间的任意三个向量都不共面； 空间的任意两个向量都共面； 空间的任意三个向量都共面 2满足下列条件，能说明空间不重合的 A、 B、 C 三点共线的有 _ (写出所有正确的序号 ) ； ； ； | |. 3在下列等式中，使点 M 与点 A， B， C 一定共面的是 _ (写出所有符合要求的序号 ) 2 ； 15 13 12； 0； 0. 4已知向量 a 与 b 不共线，则 “ a， b， c 共面 ” 是 “ 存在两个非零常数 ， 使 c a b” 的 _条件 5已知 P 和不共线三点 A， B， C 四点共面且对于空间任一点 O， 都有 2 ，则 _. 6三个向量 关 系是 _ (填 “ 共面 ”“ 不共面 ”“ 无法确定是否共面 ”) ， a， b， 2， M 为 中点，则 _(用 a、 - 2 - b 表示 ) ， a， b， c， D 为 中点， E 为 中点，则 _(用 a， b， c 表示 ) 二、解答题 9设 A， B， C 及 M， N， P， Q 分别是线段证： M、 N、 P、 Q 四点共面 行六面体 M 分 成的比为 12， N 分 成的比为 2，设 a， b， c，试用 a、 b、 c 表示 . 能力提升 行六面体 M 为 交点 ， 若 a， b， c，则 _(用 a， b， c 表示 ) 12已知 A、 B、 M 三点不共线，对于平面 的任一点 O，确定下列各条件下，点 P 是否与 A、 B、 M 一定共面 (1) 3 ； - 3 - (2) 4 . 向量共面的充要条件的理解 位于平面 的充分必要条件是存在实数对（ x,y），使 都在平面 ；反之，平面 的任一点 P 都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面 2共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具另外，在许多情况下，可以用 “ 若存在有序实数组 (x， y， z)使得对于空间任意一点 O，有 ，且 x y z 1 成立，则 P、 A、 B、 C 四点共面 ” 作为判定空间中四个点共面的依据 3 面向量定理 知识梳理 1平移到同一平面内 2 业设计 1 2 解析 由 知 与 共线，又因有一共同的点 B，故 A、 B、 C 三点共线 - 4 - 3 解析 若有 ，则 M 与点 A、 B、 C 共面，或者 且 x y z 1，则 M 与点 A、 B、 C 共面， 、 、 不满足 x y z 1， 满足 ，故 正确 4必要不充分 解析 验证充分性时，当 a， b， c 共面且 ac (或 bc )时不能成立，不能使 ， 都非零 5 2 解析 P 与不共线三点 A， B， C 共面，且 (x， y， z R)， 则 x y z 1 是四点共面的充要条件 6共面 解析 因 是三个向量，且有 ( (所以三向量共面 7 13a 16b 解析 12b 13 12b 13( ) 12b 13( b a) 13a 16b. 14b 14c 9证明 依题意有 2， 2. 又 12 12 12( ) 12 12( )， (*) A， B， C 及 2 ， 2 . 代入 (*)式得 12(2 2 ) ， ， ， 共面 M、 N、 P、 Q 四点共面 - 5 - 10解 13 23 13 23( ) 13(a b) c 23( c b) 13a 13b 13c. 11 12a 12b c 解析 12 c 12( ) 12 12 c 12a 12b c. 12解 (1)原式可变形为 ( ) ( ) ， ， ， P 与 M、 A、 B 共面 (2)原式可变形为 2 2 ， ，表达式中还含有 ， P 与 A、 B、 M 不共面 - 1 - 间向量基本定理 课时目标 正确表示空间向量 1空间向量基本定理 如果三个向量 么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组 (x， y，z)，使得 _ 由此可知，如果三个向量 共面，那么空间的每一个向量组成的集合就是_这个集合可看作是由向量 们把 _叫做空间的一个基底， _都叫做基向量空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 2正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量是 _，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是 _时，称这个基底为单位正交基底，通常用_表示 3推论 设 O， A， B， C 是 _的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组 (x，y， z)，使得 _ 一、填空题 1若存在实数 x、 y、 z，使 成立，则下列判断正确的是 _ (写出正确的序号 ) 对于某些 x、 y、 z 的值，向量组 ， ， 不能作为空间的一个基底； 对于任意的 x、 y、 z 的值，向量组 ， ， 都不能作为空间的一个基底； 对于任意的 x、 y、 z 的值，向量组 ， ， 都能作为空间的一个基底； 根 据已知条件，无法作出相应的判断 四面体， 重心， G 是 ，则 (x， y， z)为 _ 3在以下 3 个命题中，真命题的个数是 _ 三个非零向量 a， b， c 不能构成空间的一个基底，则 a， b， c 共面； 若两个非零向量 a， b 与任何一个向量都不能构成 空间的一个基底，则 a， b 共线； 若 a， b 是两个不共线向量，而 c a b( ， R 且 0) ，则 a， b， c构成空间的一个基底 4若 a， b， c是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是 _ (写出符合要求的序号 ) a,2b,3c； a b， b c， c a； a 2b,2b 3c,3a 9c； a b c， b， c. 5已知点 A 在基底 a， b， c下的坐标为 (8,6,4)，其中 a i j， b j k， c k i，则点 A 在基底 i， j， k下的坐标是 _ 6下列结论中，正确的是 _ (写出所有正确的序号 ) 若 a、 b、 c 共面，则存在实数 x， y，使 a 若 a、 b、 c 不共面，则不存在实数 x， y，使 a 若 a、 b、 c 共面， b、 c 不共线，则存在实数 x， y，使 a 若 a a、 b、 c 共面 - 2 - 间四边形 ， a， b， c，点 M 在 且 12 _. 8命题： 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线； 向量 a、 b、 c 共面，则它们所在的直线也共面； 若 a 与 b 共线，则存在惟一的实数 ，使 b _ 二、解答题 9已知向量 a， b， c是空间的一个基底，那么向量 a b， b c， c a 能构成空间的一个基底吗？为什么？ 10. 如图所示，在长方体 O 为 中点 （ 1）化简： 12 12； (2)设 E 是棱 E 23，若 ，试求 x、 y、 z 的值 - 3 - 能力提升 11. 如图所示，已知平行六面体 A B C D. 求证： 2 . 间四边形 ， G、 H 分别是 重心，设 a， b， c，试用向量 a、 b、 c 表示向量 . - 4 - 1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量 2利用向量解决立体几何中的一些问题时，其一般思路是将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行运算，最后再将运算结果转化为要解决的问题 3 间向量基本定理 知识梳理 1 p p|p x， y， z R 两两互相垂直 单位向量 i， j， k 3不共面 作业设计 1 解析 当 ， ， 共面时，则 ， ， 共面，故不能构成空间的一个基底 2 (14， 14， 14) 解析 因为 34 34( ) 34 34 2312( ) 34 14( ) ( ) 14 14 14， 而 ， 所以 x 14， y 14， z 14. 3 2 解析 命题 ， 是真命题，命题 是假命题 4 解析 3(a 2b) 3(2b 3c) (3a 9c) 0， 3a 9c 3(a 2b) 3(2b 3c)， 即三向量 3a 9c， a 2b,2b 3c 共面 5 (12,14,10) 解析 设点 A 在基底 a， b， c下对应的向量为 p， - 5 - 则 p 8a 6b 4c 8i 8j 6j 6k 4k 4i 12i 14j 10k，故点 A 在基底 i， j， k下的坐标为 (12,14,10) 6 解析 要注意共面向量定理给出的一个充要条件所以第 个命题正确但定理的应用又有一个前提： b、 c 是不共线向量，否则即使三个向量 a、 b、 c 共面，也不一定具有线性关系，故 不正确， 正确 7 12a 23b 13c 8 0 9解 假设 a b， b c， c a 共面， 则存在实数 、 使得 a b (b c) (c a)， a b b a ( )c. a， b， c为基底， a， b， c 不共面 1 ，1 ，0 a b， b c， c a 不共面 a b， b c， c a可以作为空间的一个基底 10解 (1) ， 12 12 12( ) 12 . (2) 23 12 23 12( ) 23 12 12 12 12 23， x 12， y 12， z 23. 11证明 因为平行六面体的六个面均为平行四边形， 所以 ， ， . 所以 ( ) ( ) ( ) 2( ) - 6 - 又因为 ， ， 所以 ， 故 2 . 12解 ， 23， 23 12( ) 13(b c)， 23 23( ) 13 23 12( ) 13a 13(b c)， 13(b c) 13a 13(b c) 13a， 即 13a. - 1 - 间的角的计算 课时目标 正确运用向量的数量积求角 确运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小 握平面的斜线所在方向向量与平面的法向量夹角与线面角的关系 1两条异面直线所成的角 (1)定义：设 a、 b 是两条异面直线，过空间任一点 O 作直线 a a， b b，则 a 与 b所夹的 _叫做 a 与 b 所成的角 (2)范围：两异面直线所成的角 的取值范围是 _ (3)向量求法：设直线 a、 b 的 方向向量为 a、 b，其夹角为 ，则有 | | _. 2直线与平面所成的角 (1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的 _所成的角 (2)范围：直线和平面所成的角 的取值范围是 _ (3)向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为 ，a 与 u 的夹角为 ，则有 | | _或 _. 3二面角 (1)二面角的取值范围： _. (2)二面 角的向量求法： 利用向量求二面角的平面角有两种方法： 若 别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小 是向量 与 的夹角 (如图 所示 )即 | |. 设 l 的两个面 、 的法向量，则向量 或其补角 )就是二面角的平面角的大小 (如图 所示 )即二面角 l 的大小 的余弦值为 n2| n1n 2| 一、填空题 1若直线 50 ，则 _ 2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150 ，则直线 l 与平面 所成的角为 _ 3. - 2 - 如图所示，在正方体 M， N， P 分别是棱 90 ，则 大小是 _ 4将正方形 对角线 成直二面角，则二面角 A D 的平面角的余弦值是_ 5已知三棱柱 的射影为 中点，则异面直线 _ 6若两个平面 ， 的法向量分别是 n (1,0,1)， ( 1， 1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是 _ 7如图， 已知正三棱柱 M 是侧棱 异面直线 _ 8已知正四棱柱 2E 为 异面直线 _ 二、解答 题 9. 如图所示，在棱长为 1 的正方体 M、 N 分别为 异面直线 成的角的余弦值 10. 如图所示，三 棱柱 面 平面 60 ， 90 ，且 2， 3，求异面直线 - 3 - 能力提升 11已知三棱锥 P ， 平面 12N 为 一点，且4M， S 分别为 中点 (1)证明： (2)求 平面 成角的大小 12. 如图所示，底面 直角梯形， 90 ， 平面 1， 12，求平面 平面 成二面角的余弦值 - 4 - 1两异面直线所成的角 等于两异面直线的方向向量 a， b 所成的角 (或其补角 )，所以求解时要加绝对值， |a， b |. 2求直线与平面的夹角的方法与步骤 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角 (或夹角的某一三角函数值 ) 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量 3二面角的求法往往有两种思路一种是几何法，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两条线段，找出二面角的平面角，这是几何中的一大难点另一种是向量法，当空 间直角坐标系容易建立 (有特殊的位置关系 )时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出可以根据所求二面角是锐角还是钝角确定二面角大小 3 间的角的计算 知识梳理 1 (1)锐角或直角 (2)0 2 (3)|ab|a|b| 2 (1)射影 (2)0 2 (3)|au |a|u| 3 (1)0， 作业设计 1 30 2 60 3 90 解析 平面 - 5 - ( ) 0， 90. 4. 33 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 O 设正方形 棱长为 1，则 O(0,0,0)， A 0， 0， 22 ， B 0， 22 ， 0 ， C 22 ， 0， 0 . 0， 22 ， 22 ， 22 ， 22 ， 0 . 设平面 法向量为 n (x， y， z)， 则 22 y 22 z 0，22 x22 y 0， y z 0，x y 0. 可取 n (1， 1,1) 由题意知，平面 法向量为 0， 0， 22 ， n， n n|2222 3 33 ， 即二面角 A D 的平面角的余弦值为 33 . 析 如图建立空间直角坐标系，因为 平面 三棱柱的棱长为 1，则 32 ， 1， 12， - 6 - 故 0， 0， 12 . 又 A 32 ， 0， 0 ， B 0， 12， 0 ， 32 ， 0， 12 ， 32 ， 12， 0 ， ， 34. 异面直线 4. 6 60 解析 n， 12 2 12. n， 120. 故两平面所成的锐二面角为 60. 7 90 解析 建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为 1，则 B 32 ， 12， 0 ， M 32 ， 12， 12 ， 32 ， 12， 1 ， 因此 32 ， 12， 1 ， 0， 1， 12 ，设异面直线 M 所成的角为 ， 则 |， | 0 12 12| | 0， 90. 010 解析 - 7 - 如图，连结 C 异面直线 E 与 成的角 设 a，则 a， 5a， 2a. 在 ，由余弦定理得， 252a 5a3 1010 . 9解 方法一 ， ， ( )( ) 12. 而 | |2 |2 1 14 52 . 同理 | 52 . 设 为异面直线 成的角， 则 |1254 25. 方法二 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 D 则 A(1,0,0)， M 1， 12， 1 ， ,1,1)， N 1， 1， 12 ，于是有 1， 12， 1 (1,0,0) 0， 12， 1 ， 1， 1， 12 (0,1,1) 1， 0， 12 . 01 120 1 12 12， - 8 - 又 | 02 12 2 12 52 ， | 12 02 12 2 52 ， |1254 25. 10解 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O(0,0,0)， ,1， 3)， A( 3， 0,0)， 3， 1， 3)， B(0,2,0)， ( 3， 1， 3)， ( 3， 1， 3) ， | 3， 1， 3 3， 1， 37 7 17. 异面直线 7. 11. (1)证明 设 1，以 A 为原点， 在直线分别为 x， y， z 轴正向建立空间直角坐标系如图所示， 则 P(0,0,1)， C(0,1,0)， B(2,0,0)， M(1,0， 12)， N(12， 0,0)， S(1， 12， 0) - 9 - 所以 (1， 1， 12)， ( 12， 12， 0) 因为 12 12 0 0， 所以 (2)解 ( 12， 1,0)， 设 a (x， y， z)为平面 一个法向量，则 a 0，a 0，即 x y 12z 0， 12x y 0.令 x 2，得 a (2,1， 2) 因为 |a， |a a| | 1123 22 22 ， 所以 平面 成的角为 45. 12解 如图所示以 A 为原点， 在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 则 D 0， 12， 0 ， C(1,1,0)， S(0,0,1)， A(0,0,0) 所以 0， 12， 1 ， (1,1， 1)， 0， 12， 0 ， 设平面 法向量为 n (x， y， z)，则 n ， n ， 所以 n 0， n 0，即 12y z 0，x y z 0，令 z 1，则 x 1， y 2. - 10 - 此时 n ( 1,2,1) 而 是平面 法向量，则 | n|n| 63 . 观察图形可知平面 平面 成角的余弦值为 63 . 1 第 3 章 单元检测 (A 卷 ) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1已知向量 a (2， 1,3)， b ( 4,2， x)，使 a b 成立的 x 与使 a b 成立的 x 分别为 _ 2设 a (x,4,3)， b (3,2， z)，且 ab ，则 值为 _ 3已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u (1， 3， z)，向量 v (3， 2,1)与平面 平行，则 z _. 4若向量 (1,0， z)与向量 (2,1,2)的夹角的余弦 值为 25，则 z _. 5已知 a、 b、 c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是 _ (填序号 ) 2a， a b， a 2b； 2b， b a， b 2a； a,2b， b c； c， a c， a c. 6设点 C(2a 1， a 1,2)在点 P(2,0,0)、 A(1， 3,2)、 B(8， 1， 4)确定的平面上，则 a _. 7设直线 a， b 的方向向量是 面 的法向量是 n，则下列命题中错误的是_ (写出所有错误命题的序号 ) n b ； n a b； b ； n b . 8如图所示， 已知正四面体 ， 1414直线 成角的余弦值为 _ 9二面角的棱上有 A、 B 两点，直线 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 B 4， 6， 8， 2 17，则该二面角的大小为 _ 10若两个不同平面 ， 的法向量分别为 u (1,2， 1)， v ( 3， 6,3)，则 与 的关系为 _ 11在三棱柱 面是棱长为 1 的正三角形，侧棱 底面 1，若 平面 成的角为 ，则 的值是 _ 12如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a (1,0,1)， b 2 (0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是 _ 13已知力 (1,2,3)， ( 2,3， 1)， (3， 4,5)，若 物体从 ， 2， 1)移到 ,1,2)，则合力作的功为 _ 14若 a (2x,1,3)， b (1， 2y,9)，且 ab ，则 x _， y _. 二、解答题 (本大题共 6 小题，共 90 分 ) 15 (14 分 )如图，四棱锥 P ，底 面 矩形， 底面 2，点 E 是棱 中点证明： 平面16 (14 分 )在几何体 ， 等腰直角三角形， 90 ， 垂直于平面 2， 1，若 F 是 中点求证： 平面 3 17 (14 分 ) 如图，在空间四边形 ， 8， 6， 4， 5， 45 ， 60 ，求 成角的余弦值 4 18.(16 分 ) 如图所示，已知点 P 在正方体 A B C D 的对角线 上， 60. (1)求 所成角的大小； (2)求 平面 D D 所成角的大小 5 19 (16 分 )在四棱锥 P ，底面 一直角梯形， 90 ， a， 2a，且 底面 底面所成的角为 30. (1)若 足为 E，求证： (2)求异面直线 成角的余弦值 6 20.(16 分 ) 如图，正方形 四边形 在的平面互相垂直， 2， 1. (1)求 证： 平面 7 (2)求二面角 A D 的大小 第 3 章 空间向量与立体几何 (A) 6 解析 若 a b，则 8 2 3x 0， x 103 ； 若 ab ，则 2 ( 4) ( 1) 2 3 x， x 6. 2 9 解析 a (x,4,3)， b (3,2， z)，且 ab ， 存在实数 使得 a b， x 3 ，4 2 ，3 解得 x 6，z 32. 9. 3 9 解析 l ， u v， (1， 3， z)(3 ， 2,1) 0，即 3 6 z 0， z 9. 4 2 或 12 解析 由题知 ， 0， z ， 1，1 2 2 25， 即 25z 2 0，得 z 2 或 12. 5 解析 a， b 不共线，由共线向量定理知由 a， b 表示出的向量与 a， b 共面，即 、 中的向量因共面不能构成空间一个基底，同理 中的三向量也不能构成空间一个基底 6 16 解析 ( 1， 3,2)， (6， 1,4) 根据共面向量定理，设 (x、 y R)， 则 (2a 1， a 1,2) x( 1， 3,2) y(6， 1,4) ( x 6y， 3x y,2x 4y)， 2a 1 x 6y，a 1 3x y，2 2x 4y，解得 x 7， y 4， a 16. 8 7 析 因四面体 正四面体，顶点 A 在底面 的射影为 垂心，所以有，则 ( )( ) 0 0 4120 1420 4 ， 42 12 2410 13，所以异面直线 夹角 的余弦值为： | | 413. 9 60 解析 由条件，知 0， 0， . |2 |2 |2 |2 2 2 2 62 42 82 268 ， (2 17)2， ， 12，即 ， 120 ，所以二面角的大小为 60. 10 解析 v 3u， v . 11. 64 解析 如图所示，建立坐标系，易求点 D 32 ， 12， 1 ， 平面 一个法向量是 n (1,0,0)， 所 以 n， 32264 ， 即 64 . 12 60 解析 ab|a|b | 12， 60. 13 16 解析 合力 F (2,1,7)， F 对物体作的功 即为 W F (2,1,7)(3,3,1) 23 1 3 71 16. 32 解析 ab ， 2 1 2y 39， 9 x 16， y 32. 15证明 如图所示，以 A 为坐标原点，射线 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 A 设 D(0， a,0)， 则 B( 2， 0,0)， C( 2， a,0)， P(0,0， 2)， E( 22 ， 0， 22 ) 于是 ( 22 ， 0， 22 )， (0， a,0)， ( 2， a， 2)， 则 0， 0. 所以 ， ， 即 又因为 C， 所以 平面 16证明 如图所示，以点 B 为原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0)， A(2,0,0)， C(0,2,0)， D(0,2,1)， E(0,0,2) 由中点坐标公式知 F(1,0,1) (1， 2,0)， (0,0,2) 平面 是平面 一个法向量 (1， 2,0)(0,0,2) 0， . 又 平面 平面 17解 因为 ， 所以 |， |， 8435 8620 16 2 24. 所以 ， | 10 24 16 285 3 2 25 . 即 成角的 余弦值为 3 2 25 . 18解 如图所示，以 D 为原点， 单位长度建立空间直角坐标系 D (1) (1,0,0)， (0,0,1) 连结 B D. 在平面 D D 中， 延长 B D 于 H. 设 (m， m,1) (m0)，由已知 ， 60 ， 由 |， ， 可得 2m 21. 解得 m 22 ，所以 22 ， 22 ， 1 . 因为 ， 22 0 22 0 111 2 22 ， 所以 ， 45 ，即 所成的角为 45. (2)平面 D D 的一个法向量是 (0,1,0) 因为 ， 22 0 22 1 101 2 12， 所以 ， 60 ， 可得 平面 D D 所成的角为 30. 19 (1)证明 以 A 为 坐标原点， 建立如图所示空间直角坐标系 A 由题意知 A(0,0,0)， B(a,0,0)， C(a， a,0)， D(0,2a,0) 底面的射影是 且 底面所成的角为 30 ， 30 ， P 0， 0， 2 33 a ， 11 | 12| a， E 0， 12a， 32 a ， a， 12a， 32 a ， 0， 2a， 2 33 a ， 0( a) a 3 23a 0， ，即 (2)解 由 (1)知 0， 3 ( a， a,0)， | a， | 2a， ， | 24 ， 异面直线 成角的余弦值为 24 . 20 (1)证明 因为正方形 四边形 在的平面互相垂直，且 以平面 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C 则 C(0,0,0)， A( 2， 2， 0)， B(0， 2， 0)， D( 2， 0,0)， E(0,0,1)， F( 22 ， 22 ， 1) 所以 ( 22 ， 22 ， 1)， (0， 2， 1)， ( 2， 0,1) 所以 0 1 1 0， 1 0 1 0. 所以 ， ，即 又 E，所以 平面 (2)解 由 (2)知， ( 22 ， 22 ， 1)是平面 一个法向量 设平面 法向量 n (x， y， z)， 则 n 0， n 0， 即 x， y， z 2， 0， 0，x， y， z ， 2， x 0，且 z 2y. 令 y 1，则 z 2，所以 n (0,1， 2) 12 从而 n， n n| 32 . 因为二面角 A D 为锐角， 所以二面角 A D 的大小为 6. - 1 - 第 3 章 单元检测 (B 卷 ) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1在以下命题中，不正确的个数为 _ |a| |b| |a b|是 a， b 共线的充要条件； 若 ab ，则存在惟一的实数 ，使 a b； 若 ab 0， bc 0，则 a c； 若 a， b， c为空间的一个基底，则 a b， b c， c a构成空间的另一基底； |(ab )c | |a|b|c |. 2已知 a 与 b 是非零向量且满足 (a 2b) a， (b 2a) b，则 a 与 b 的夹角是 _ 3若向量 a (1， x,2)， b (2， 1,2)，且 a， b 夹角的余弦值为 89，则 x _. 4若 a b c d 23空间的一个基底 )，且 d x， y， z 分别为 _ 5已知向量 a (1,1,0)， b ( 1,0,2)，且 b 与 2a b 互相垂直，则 k 值是 _ 6已知 a (2， 1,2)， b (2,2,1)，则以 a， b 为邻边的平行四边形的面积为 _ 7. 在棱长为 1 的正方体 M， N 分别为 么直线 _ 8. 如图所示， 90 的等腰直角三角形 正三角形 在平面互相垂直， E 是中点，则 平面 成角的大小为 _ 9. 如图，在五面体 ， 平面 12异面直线 成的角的大小为 _ 10. - 2 - 已知四面体 六条棱长都是 1，则直线 平面 夹角的余弦值为 _ 11已知四边形 ， a 2c， 5a 6b 8c，对角线 中点分别为 E，F，则 _. 12如果向量 a (1,0,1)， b (0,1,1)分别平行于平面 ， 且都与此两平面的交线 二面角 l 的大小是 _ 13. 如图，在正方体 面角 B _ 14已知 a， b， c 为 三个内角 A， B， C 的对边，向量 m ( 3， 1)， n (，)若 m n，且 ，则角 B _. 二、解答题 (本大题共 6 小题，共 90 分 ) 15 (14 分 ) 如图所示，已知 P 是平行四边形 在平面外一点，连结 E、 F、G、 H 分别为 重心，应用向量共面定理证明： E、 F、 G、 - 3 - 16 (14 分 ) 如图，已知正方体 E、 F、 G、 H、 M、 N 分别是正方体六个表面的中心，试确定平面 平面 位置关系 - 4 - 17.(14 分 ) 如图所示，直三棱柱 ，底面是等腰直角三角形， 2， 3， 1F 在线段 (1)何值时， 平面 (2)设 1，求平面 平面 成的锐二面角的余弦值 - 5 - 18 (16 分 ) 如图，在多面体 ，四边形 正方形， 2 90 ， H 为 中点 (1)求证： 平面 (2)求证： 平面 (3)求二面角 B C 的大小 - 6 - 19.(16 分 ) 已知直四棱柱 2，底面 直角梯形， A 为直角， B 4， 2， 1，求异面直线 C 所成角的余弦值 - 7 - 20 (16 分 )在底面是直角梯形的四棱锥 S ， 90 ， 面 B 1， 面 成的二面角的正切值 第 3 章 空间向量与立体几何 (B) 1 4 解析 不正确，由 |a| |b| |a b|知 a 与 b 反向， a 与 b 共线，但 a 与 b 共线不一定有 |a| |b| |a b|； 不正确，应加上条件 b0 ； 不正确，当 b 0 时， a 与 c 不一定相等； 正确； 不正确，应为 |(ab )c | a|b|c |. 解析 由已知 (a 2b) a 0， (b 2a)b 0 2 a， b ab|a|b| ab|a|2 12， a， b 3. 3 2 或 255 解析 a， b ab|a|b| 6 89， 解得 x 2 或 x 255. 12， 1 解析 d (x y z)(x y z)(x y)23间任一向量都可以用一个空间基底惟一表示， 从而得到 x y z 1，x y z 2，x y x 52， y 12， z 1. . 65 解析 因为 |a| |b|，所以平行四边形为菱形， - 8 - 又 a b (4,1,3)， a b (0， 3,1)， |a b| 26， |a b| 10， S 12|a b|a b| 12 26 10 65. 析 建立如图所示，空间直角坐标系 D 则 0， 12， 1 ， 1， 0， 12 ， 12， | | 52 ， 所以 ， 1252 52 25. 8 45 9 60 解析 以点 A 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 A 1，依题意得 B(1,0,0)， C(1,1,0)， D(0,2,0)， E(0,1,1)， F(0,0,1) ( 1,0,1)， (0， 1,1)， 于是 ， | 0 0 12 2 12. 所以异面直线 成的角的大小为 60. 10. 33 11 3a 3b 5c 解析 取 点 P，连结 则 12， 12，所以 12 12 12(6a 6b 10c) 3a 3b 5c. 12 60 或 120 解析 a， b ab|a|b| 0 0 12 2 12， 所以 a 与 b 夹角为 60 或 120 ，即 l 大小为 60 或 120. 13. 2 解析 由题意知 mn 0， 3 0， 3， A 3 ，又 ，
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