【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学（课时作业+章末综合检测）（全册打包40套）新人教A版必修2
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学（课时作业+章末综合检测）（全册打包40套）新人教A版必修2,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,课时,作业,功课,综合,检测,打包,40,新人,必修
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1 、锥、台、球的结构特征 【课时目标】 认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 1一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 _，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 2一般地，有一个面是多边形，其余各面都是 _，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 3以矩形的一边所在直线为旋转轴 ，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫_ 4以直角三角形的一条 _所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥 5 (1)用一个 _的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 (2)用一个 _于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 6以半圆的 _所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球 一、 选择题 1棱台不具备的性质是 ( ) A两底面相似 B侧面都是梯形 C侧棱都相等 D侧棱延长后都交于一点 2下列命题中正确的是 ( ) A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台 3下列说法正确的是 ( ) A直 角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D通过圆台侧面上一点，有无数条母线 4下列说法正确的是 ( ) A直线绕定直线旋转形成柱面 B半圆绕定直线旋转形成球体 C有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的 5观察下图所示几何体，其中判断正确的是 ( ) A 是棱台 B 是 圆台 C 是棱锥 D 不是棱柱 6纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标 “ ” 的面的方 2 位是 ( ) A 南 B北 C西 D下 二、填空题 7由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有 _个面 8将等边三角形绕它的一条中线旋转 180 ，形成的几何体是 _ 9在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是_ 三、解答题 10如图所示为长方体 A B C D ，当用平面 这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱 11圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392 线与轴的夹 角是 45 ，求这个圆台的高、母线长和底面半径 能力提升 12下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边 3 折叠围成一个正方体的图形的是 ( ) 13如图，在底面半径为 1，高为 2 的圆柱上 A 点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 1学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系 2棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解 在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键 3几何体表面距 离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解 4 第一章 空间几何体 1 1 空间几何体的结构 1 1 1 柱、锥、台、球的结构特征 答案 知识梳理 1互相平行 2有一个公共顶点的三角形 3圆柱 4直角边 5 (1)平行于棱锥底面 (2)平行 6直径 作业设计 1 C 用棱台的定义去判断 2 C A、 B 的反例图形如图所示， D 显然不正确 3 C 圆锥是直角三角形绕直 角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥， A 不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故 B 不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故 D 不正确 4 D 两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故 A 错误半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故 B 不正确， C 不符合棱台的定义，所以应选 D 5 C 6 B 7 4 8圆锥 9 10解 截面 侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义 它是三棱柱 ，其中 和 是底面 BC ， 侧棱 ， 截面 侧部分也是棱柱 它是四棱柱 其中四边形 和四边形 是底面 AD ， 侧棱 11解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为 x 3x 长 在 ， 45 ， 则 45 3x 2x 12(6x 2x)2x 392，解得 x 7， 圆台的高 14 线长 l 214 2 面半径分别为 7 21 12 C 13解 把圆柱的侧面沿 开，然后展开成为平面图形 矩形，如图所示，连接，则 即为蚂蚁爬行的最短距离 5 AB 2， 为底面圆的周长，且 2 1 2 ， AB 2 2 4 2 2 1 2， 即蚂蚁爬行的最短距 离为 2 1 2 1 单组合体的结构特征 【课时目标】 1正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征 2能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构 1定义：由 _组合而成的几何体叫做简单组合体 2组合形式 一、选择题 1如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面 图形，若将它绕轴 l 旋转 180 后形成一个组合体，下面说法不正确的是 ( ) A该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B该组合体仍然关于轴 l 对称 C该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D该组合体中的球和半球只有一个公共点 2右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的 ( ) 3以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一 周所得到的几何体是 ( ) A两个圆锥拼接而成的组合体 B一个圆台 C一个圆锥 D一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 4将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 ( ) A一个圆台、两个圆锥构成 B两个圆台、一个圆锥构成 C两个圆柱、一个圆锥构成 D一个圆柱、两个圆锥构成 5如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( ) 2 A棱柱 B棱台 C棱柱与棱锥组合体 D不能确定 6如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 ( ) A (1)(2) B (1)(3) C (1)(4) D (1)(5) 二、填空题 7下列叙述中错误的是 _ (填序号 ) 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 8如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是_ 9以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是 _ 三、解答题 10如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的 11如图所示几何体可看作由什么图形旋转 360 得到？画出平面图形和旋转轴 3 能力提升 12一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切 (球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各 面只有一个交点 )，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是 ( ) 13已知圆锥的底面半径为 r，高为 h，且正方体 这个正方体的棱长 组合体的结构特征有两种组成： (1)是由简单几何体拼接而成； (2)是由简单几何体截去一部分构成要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体 1 1 2 简单组合体的结构特征 答案 知识梳理 1简单几何体 2截去或挖去一部分 作业设计 4 1 A 2 A 3 D 4 D 5 A 6 D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分 7 8圆台和圆柱 (或棱台和棱柱 ) 9球体 10解 将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成 11解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形旋转前的平面图形如下： 12 B 13 解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面 x 和 2x 因为 解得 2 h 所以 222 解得 x 22h 即圆锥内接 正方体的棱长为 22h 1 心投影与平行投影 间几何体的三视图 【课时目标】 1知道空间几何体的三视图的概念，初步认识简单几何体的三视图 2会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体 1平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是 _，而中心投影的投影线 _ 2 三 视 图 包 括 _、 _和 _， 其 中 几 何 体 的_和 _ 高 度 一 样 ， _与 _长 度 一 样 ，_与 _宽度一样 一、选择题 1下列命题正确的是 ( ) A矩形的平行投影一定是矩形 B梯形的平行投影一定是梯形 C两条相交直线的投影可能平行 D一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图 ( ) 3如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( ) A B C D 4一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为 ( ) 5如图所示的正 方体中， M、 N 分别是 四边形 四边形 可能出现的是 ( ) 2 6一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是 ( ) 二、填空题 7根据如图所示俯视图，找出对应的物体 (1)对应 _； (2)对应 _； (3)对应 _； (4)对应 _； (5)对应 _ 8若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高 (两底面之间的距离 )和底面边长分别是 _和 _ 9用小正方体搭成一个几何体，如图是它的正视图和侧视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为 _个 三、解答题 10在下面图形中，图 (b)是图 (a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果 3 不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图 (尺寸不作严格要求 ) 11如图是截去一角的长方体，画出它的三视图 能力提升 12如图， 螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图 4 13用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？ 在绘制三视图时，要注意以下三点： 1若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见 轮廓用虚线画出 2一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度和正视图一样侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度和俯视图一样，简记为 “ 长对正，高平齐，宽相等 ” 3在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同 1 2 空间几何体的三视图和直观图 1 2 1 中心投影与平行投影 1 2 2 空间几何体的三视图 答案 知识梳理 1平行的 交于一点 2正视图 侧视图 俯视图 侧视图 正视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 作业设计 1 D 因为当平面 图形与投射线平行时，所得投影是线段，故 A， B 错又因为点的平行投影仍是点，所以相交直线的投影不可能平行，故 C 错由排除法可知，选项 D 正确 2 C 3 D 在各自的三视图中 正方体的三个视图都相同； 圆锥有两个视图相同； 三棱台的三个视图都不同； 正四棱锥有两个视图相同 4 C 由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C 5 D 6 A 7 (1)D (2)A (3)E (4)C (5)B 5 8 2 4 解 析 三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为 4 9 7 10解 图 (a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线 (用虚线表示 )，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线 (用实线表示 )，正确画法如图所示 11解 该图形的三视图如图所示 12解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视 图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆 (中心重合 )它的三视图如图所示 13解 由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图 所示，此种情况共用小立方块 17 块 而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的 1，即如图 所示，这样的摆法只需 小立方块 11 块 1 间几何体的直观图 【课时目标】 1了解斜二测画法的概念 2会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图 3通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系 用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤： (1)在已知图形中取互相 _的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O画直观图时，把它们画成对应的 x 轴与 y 轴，两轴交于点 O ，且使 x O y 45( 或 135) ，它们确定的平面表示水平面 (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成 _于 x 轴或 y轴的线段 (3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度 _，平行于 y 轴的线段，长度为原来的 _ 一、选择题 1下列结论： 角的水平放置的直观图一定是角； 相等的角在直观图中仍然相等； 相等的线段在直观图中仍然相等； 两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行 其中正确的有 ( ) A B C D 2具有如图所示直观图的平面图形 ( ) A等腰梯形 B直角梯形 C任意四边形 D平行四边形 3如图，正方形 O A B C 的边长为 1 是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是 ( ) A 8 B 6 2(1 3) D 2(1 2) 下面每个选项的 2 个边长为 1 的正 直观图不是全等三角形的一组是 ( ) 2 5如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( ) 6一个水平放置的平面图形的 直观图是一个底角为 45 ，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于 ( ) A 12 22 B 1 22 C 1 2 D 2 2 二、填空题 7利用斜二测画法得到： 三角形的直观图是三角形； 平行四边形的直观图是平行四边形； 正方形的直观图是正方形； 菱形的直观图是菱形 以上结论中，正确的是 _ (填序号 ) 8水平放置的 斜二测直观图如图所示，已知 A C 3， B C 2，则 _ 9如图所示，为一个水平放置的正方形 在直角坐标系 ，点 B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 B 到 x 轴的距离为 _ 三、解答题 10如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图 3 11如图所示，梯形 ， 4 2 30 ， 3 画出它的直观图 能力提升 12已知正三角形 边长为 a，求 直观图 A B C 的面积 13在水平放置的平面 内有一个边长为 1 的正方形 A B C D ，如图，其中的对角线 A C 在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积 直观图与原图形的关系 1 斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量用斜二测画法画出的 4 水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 24 倍 2在用斜二测画法画直观图时，平行线 段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小 1 2 3 空间几何体的直观图 答案 知识梳理 (1)垂直 (2)平行 (3)不变 一半 作业设计 1 B 由斜二测画法的规则判断 2 B 3 A 根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形 平行四边形， 2 2， 1， 3，从而原图周长为 8 4 C 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论 5 C 6 D 如图 1 所示，等腰梯形 ABCD 为水平放置的原平面图形的直观图，作DEAB 交 BC 于 E ，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形ABCD 的原平面图形为如图 2 所示的直角梯形 2， 1 2， 1，所以 2 2 图 1 图 2 7 解析 斜二测画法得到的图形 与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形 8 2 5 解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且 AC 3， 2BC 4，计算得 5，所求中线长为 2 5 9 22 解析 画出直观图，则 B 到 x 轴的距离为 22 1224 22 10解 (1)作出长方体的直观图 图 a 所示； (2)再以上底面 x ， y ， z 轴，如图 b 所示，在 z上取点 V ，使得 VO 的长度为棱锥的高，连接 VA 1， VB 1， VC 1， VD 1，得到四棱 5 锥的直观图，如图 b； (3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图 c 11解 (1)如图 a 所示，在梯形 ，以边 在的直线为 x 轴，点 A 为原点，建立平面 直角坐标系 图 b 所示，画出对应的 x 轴， y 轴，使 xOy 45 (2)在图 a 中，过 D 点作 DEx 轴，垂足为 E在 x 轴上取 AB 4 AE 32 32 598 点 E 作 EDy 轴，使 ED 12过点 D 作DCx 轴，且使 DC 2 (3)连接 AD 、 BC ，并擦去 x 轴与 y 轴及其他一些辅助线，如图 c 所示，则四边形 ABCD 就是所求作的直观图 12解 先画出正三角形 然后再画出它的水平放置的直观图， 如图所示由斜二测画法规则知 BC a， OA 34 a 过 A 引 AMx 轴， 垂足为 M， 则 AM OA 5 34 a 22 68 a S ABC 12BCAM 12a 68 a 6 616 13 解 四边形 真实图形如图所示， AC 在水平位置， ABCD 为正方形， DAC ACB 45 ， 在原四边形 ， C ， C ， 2DA 2， AC 2， S 四边形 D 2 2 1 体、锥体、台体的表面积与体积 【课时目标】 1了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式 2会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题 1旋转体的表面积 名称 图形 公式 圆柱 底面积： S 底 _ 侧面积： S 侧 _ 表面积： S 2 r(r l) 圆锥 底面积： S 底 _ 侧面积： S 侧 _ 表面积： S _ 圆台 上底面面积： S 上底 _ 下底面面积： S 下底 _ 侧面积： S 侧 _ 表面积： S _ 2体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V _ (2)锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V _ (3)台体：台体的上、下底面面积分别为 S 、 S，高为 h，则 V 13(S S S S)h 一、选择题 1用长为 4、宽为 2的矩形做侧面围成一个高为 2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为 ( ) A 8 B 8 C 4 D 2 2一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为 ( ) A 1 22 B 1 44 C 1 2 D 1 42 3中心角为 135 ，面积为 B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为 A，则 A B 等于 ( ) A 11 8 B 3 8 C 8 3 D 13 8 4已知直角三角形的两直角边长为 a、 b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为 ( ) A a b B b a C D 有一个几何体的三视图及其尺寸如图 (单位： 则该几何体的表面积和体积分别为 ( ) 2 A 24 ,12 B 15 ,12 C 24 ,36 D以上都不正确 6三视图如图所示的几何体的全面积是 ( ) A 7 2 B 112 2 C 7 3 D 32 二、填空题 7一个长方体的长、宽、高分别为 9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为 _ 8圆柱的侧面展开图是长 12 8 这个圆柱的体积为 _ 9已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸 (单位： 可得这个几何体的体积是 _ 三、解答题 10圆台的上、下底面半径 分别为 10 0 的侧面展开图扇环的圆心角为 180 ，那么圆台的表面积和体积分别是多少？ (结果中保留 ) 11已知正四棱台 (上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心 ) 3 上底面边长为 6，高和下底面边长都是 12，求它的侧面积 能力提升 12一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 2 2 3 B 4 2 3 C 2 2 33 D 4 2 33 13有一塔形几何体由 3 个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为 2，求该塔形的表面积 (含最底层正方体的底面面积 ) 1在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用 2有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解 3柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 4 V 柱体 S 体 13h(S S) S 0V 锥体 13 4 “ 补形 ” 是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系 1 3 空间几何体的表面积与体积 1 3 1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 答案 知识梳理 1 r(r l) r 2 (r r)l (r 2 rl 2 (1)2)13业设计 1 B 易知 2 r 4，则 2r 4 ， 所以轴截面面积 4 2 8 2 A 设底面半径为 r，侧面积 4 2面积为 2 4 2比为： 1 22 3 A 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 则 2 r 34 l，则 l 83r，所以 A 83 113 B 83 AB 118 4 B 以长为 a 的 直角边所在直线旋转得到圆锥体积 V 13 长为 b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积 V 13 5 A 该几何体是底面半径为 3，母线长为 5 的圆锥，易得高为 4，表面积和体积分别为 24 2 6 A 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱直角梯形的上底为 1，下底为 2，高为 1，棱柱的高为 1可求得直角梯形的四条边的长度为 1,1,2， 2，表面积 2S 底 S 侧面 12(1 2)1 2 (1 1 2 2)1 7 2 7 3 解析 由题意知， 圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和， 即 2 r3 2 以 r 3 8 288 或 192 解析 (1)12 为底面圆周长，则 2 r 12，所以 r 6 ， 所以 V 6 28 288 ( (2)8 为底面圆周长，则 2 r 8，所以 r 4 ， 5 所以 V 4 212 192 ( 9 8 0003 析 由三视图知该几何体为四棱锥由俯视图知，底面积 S 400，高 h 20， V 138 0003 10解 如图所示，设圆台的上底面周长为 c，因为扇环的圆心角是 180 ， 故 c 2 10 ， 所以 20，同理可得 40， 所以 20， S 表面积 S 侧 S 上 S 下 ( (10 20)20 10 2 20 2 1 100 ( 故圆台的表面积为 1 100 h 202 102 10 3， V 13 h( 13 10 3(10 2 1020 202) 7 000 33 ( 即圆台的表面积为 1 100 积为 7 000 33 11 解 如图， E、 C、 O、 底面正方形的中心，则 12 连接 12 1212 6， 123 过 1H垂足为 H， 则 12， 3， 6 3 3 在 1， 122 32 324 2 32 3217 ， 所以 3 17 所以 S 侧 4 12(B 1E 1E 6 2(12 6)3 17 108 17 12 C 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为 1，高为 2，体积为 2 ，四棱锥的底面边长为 2，高为 3，所以体积为 13( 2)2 3 2 33 ，所以该几何体的体积为 2 2 33 13解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为 2， 2， 1 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍 S 表 2S 下 S 侧 22 2 42 2 ( 2)2 12 36 该几何体的表面积为 36 1 的体积和表面积 【课时目标】 1了解球的体积和表面积公式 2会用球的体积和表面积公式解决实际问题 3培养学生的空间想象能力和思维能力 1球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积 S _，即球的表面积等于它的大圆面积的_倍 2球的体积 设球的半径为 R，则球的体积 V _ 一、选择题 1一个正方体与一个球表面积相等，那么它们 的体积比是 ( ) A 66 B 2 C 22 D 3 2把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的 ( ) A 2 倍 B 2 2倍 C 2倍 D 3 2倍 3正方体的内切球和外接球的体积之比 为 ( ) A 1 3 B 1 3 C 1 3 3 D 1 9 4若三个球的表面积之比为 1 2 3，则它们的体积之比为 ( ) A 1 2 3 B 1 2 3 C 1 2 2 3 3 D 1 4 7 5长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积 为 ( ) A 25 B 50 C 125 D以上都不对 6一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的 3 倍，圆锥的高与球半径之比为 ( ) A 4 9 B 9 4 C 4 27 D 27 4 二、填空题 7毛泽东在送瘟神中写到： “ 坐地日行八万里 ” 又知地球的体积大约是火星的8 倍，则火星的大圆周长约 _万里 8将一钢球放入底面半径为 3 圆柱形玻璃容器中，水面升高 4 钢球的半径是 _ 9 (1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是 _； (2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是 _ 三、解答题 10如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子 (杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计 )，使 2 冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ 11有一个倒圆锥形容器，它的轴 截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度 能力提升 12已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则 ( ) A以上四个图形都是正确的 B只有 (2)(4)是正确的 C只有 (4)是错误的 D只 有 (1)(2)是正确的 13有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比 3 1利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算 2解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算 3解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运 用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体 1 3 2 球的体积和表面积 答案 知识梳理 1 4 2 43 业设计 1 A 先由面积相等得到棱长 a 和半径 r 的关系 a 63 r，再由体积公式求得体积比为 66 2 B 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2倍，则体积扩大到原来的 2 2倍 3 C 关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长 a，外接球的直径等于 3a 4 C 由表面积之比得到半径之比为 r1r 2r 3 1 2 3，从而得体积之比为 2V 3 12 23 3 5 B 外接球的直径 2R长方体的体对角线 c2(a、 b、 c 分别是长、宽、高 ) 6 A 设球半径为 r，圆锥的高为 h，则 13 (3r)2h 43 得 hr 49 7 4 解析 地球和火星的体积比可知地球半径 为火星半径的 2 倍，日行 8 万里指地球大圆的周长，即 2 R 地球 8，故 R 地球 4 (万里 )，所以火星的半径为 2 万里，其大圆的周长为 4万里 8 3 析 设球的半径为 r，则 36 43 得 r 3 9 (1)球 (2)球 解析 设正方体的棱长为 a，球的半径为 r (1)当 64 V 球 43 6 a3V 正方体 ； 4 (2)当 43 S 球 4 63 6 10解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须 V 圆锥 V 半球 ， V 半球 12 43 12 43 4 3， V 圆锥 1313 13 4 2h 依题意： 13 4 2h 12 43 4 3，解得 h8 即当圆锥 形杯子杯口直径为 8 大于或等于 8 ，冰淇淋融化后不会溢出杯子 又因为 S 圆锥侧 r 当圆锥高取最小值 8 时， S 圆锥侧 最小，所以高为 8 ， 制造的杯子最省材料 11解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 3r，则容器内水的体积为 V V 圆锥 V 球 13 ( 3r)23r 43 53 将球取出后，设容器内水的深度为 h，则水面圆的半径为 33 h，从而容器内水的体积是 V 13 ( 33 h)2h 19 V V ，得 h 3 15r 即容器中水的深度为 3 15r 12 C 正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆 (过球心的截面圆 ) 13解 设正方体的棱长为 a如图所示 正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有 2a， 以 4 球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面， 2a， 22 a，所以 4 2 正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面， 所以有 23a， 32 a，所以 4 3 综上可得 2S 3 123 1 面 【课时目标】 掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理 1、公理 2、公理 3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题 1公理 1：如果一条直线上的 _在一个平面内，那么 _在此平面内 符号： _ 2公理 2：过 _的三点， _一个平面 3公理 3：如果两个不重合的平面有 _公共点，那么它们有且只有 _过该点的公共直线 符号： _ 4用符号语言表示下列语句： (1)点 A 在平面 内但在平面 外： _ (2)直线 l 经过面 内一点 A， 外一点 B： _ (3)直线 l 在面 内也在面 内： _ (4)平面 内的两条直线 M、 n 相交于 A： _ 一、选择题 1下列命题： 书桌面是平面； 8 个平面重叠起来，要比 6 个平面重叠起来厚； 有一个平面的长是 50 M，宽是 20 M； 平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念 其中正确命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2若点 M 在直线 b 上， b 在平面 内，则 M、 b、 之间的关系可记作 ( ) A M b B M b C Mb D Mb 3已知平面 与平面 、 都相交，则这三个平面可能的交线有 ( ) A 1 条或 2 条 B 2 条或 3 条 C 1 条或 3 条 D 1 条或 2 条或 3 条 4已知 、 为平面， A、 B、 M、 N 为点， a 为直线，下列推理错误的是 ( ) A A a， A ， B a， B a B M ， M ， N ， N A ， A A D A、 B、 M ， A、 B、 M ，且 A、 B、 M 不共线 、 重合 5空间中可以确定一个平面的 条件是 ( ) A两条直线 B一点和一直线 C一个三角形 D三个点 6空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有 ( ) A 2 个或 3 个 B 4 个或 3 个 C 1 个或 3 个 D 1 个或 4 个 二、填空题 7把下列符号叙述所对应的图形 (如图 )
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