【步步高】2011届高考数学一轮复习 第二章 函 数 文 课件（打包12套）人教大纲版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第二章 函 数 文 课件（打包12套）人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第二,课件,打包,12,十二,大纲
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备课资讯 3 求函数最值问题常用的 10 种方法 函数最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面， 同时在我们的生活实践中也有着广泛的应用，是中学 数学的重要内容之一由于利用中学数学的思想方法 去解决函数最值问题，涉及数学许多知识与方法，要 求考生要有扎实的数学基本功及良好的数学思维能 力，因此，函数最值问题一直是新课标高考的一个重 要的热点问题，在新课标高考中占有极其重要的地 位为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值 问题的解决方法，下面就该问题的常用解法，分类浅 析如下，供参考 一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数 y f( x ) 的定义 域为 I ，如果存在实数 M ，满足： 对任意 x I ，都 有 f( x ) M ， 存在 x 0 I ，使得 f( x 0 ) M ，则称 函数 y f( x ) 的最大值；如果存在实数 N ，满足： 对任意 x I ，都有 f( x ) N ， 存在 x 0 I ，使得 f( x 0 ) N ，则称 N 为函数 y f( x ) 的最小值 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题 【 例 1 】 设函数 f( x ) 的定义域为 R ，有下列三个命 题： 若存在常数 M ，使得对任意 x R ，有 f( x ) M ， 则 M 是函数 f( x ) 的最大值； 若存在 x 0 R ，使得对任意 x R ，且 x x 0 ，有 f( x )2 时， y mi n f( a ) 2. 点评 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量 的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置 关系如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时 要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据 不同情况分类解决 三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量 ( 或代数式 ) ，以便使问题得以解决 的一种数学方法在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值如可用三角代换解决形如 1 及部分根式函数形式的最值问题 【 例 3 】 设 a ， b R ， a 2 2 b 2 6 ，则 a b 的最小值 是 _ _ _ _ 分析 由条件 2 6 的形式知，可利用三角换元法 求 a b 的最值 解析 a ， b R ， 2 6 ， 令 a 6 ， 2 b 6 ， R . a b 6 3 3 ) a b 的最小值是 3. 故填 3. 点评 在用换元法时，要特别注意其中间变量的取值 范围如本题换元后中间变量 R ，这由条件 a ， b R 可得到 四、不等式法 利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不 等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方 法常常使用的基本不等式有以下几种： a ， b 为实数 ) ；a a 0 ， b 0) ； a a ， b 为实数 ) 【 例 4 】 设 x ， y ， z 为正实数， x 2 y 3 z 0 ，则 的最小值为 _ _ _ _ _ _ _ _ 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值 因为 x 2 y 3 z 0 ， 所以 y x 3 以9 6 又 x ， z 为正实数，所以由基本不等式， 得 6 3 , 当且仅当 x 3 z 时取 “ ” 故. 故填 3. 点评 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将 这类函数问题转化为二元函数问题加以解决在利用 均值不等式法求函数最值时，必须注意 “ 一正二定三 相等 ” ，特别是 “ 三相等 ” ，是我们易忽略的地方， 容易产生失误 五、函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调 性求函数的最值这种利用函数单调性求最值的方 法就是函数单调性法这种求解方法在高考中是必 考的，且多在解答题中的某一问中出现 【 例 5 】 设 a 1 ，函数 f( x ) l o g a x 在区间 a , 2 a 上的 最大值与最小值之差为12，则 a _ _ _ _ _ _ _ _ . 分析 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函 数的最值，然后利用条件求得参数 a 的值 解析 a 1 ， 函数 f( x ) a x 在区间 a , 2 a 上是增 函数， 函数在区间 a , 2 a 上的最大值与最小值分别为a 2 a ， a a 1. 又 它们的差为12， a 2 12， a 4. 故填 4 . 点评 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性这一点处理好了，以下的问题就容易了一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间 m ， n 上的最值：若函数 f( x ) 在 m ， n 上单调递增，则 f( x ) f( m ) ， f( x ) f( n ) ；若函数 f( x ) 在 m ， n 上单调递减，则 f( x ) f( n ) ， f( x ) m f( m ) ；若函数 f( x ) 在 m ， n 上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理 六、导数法 设函数 f( x ) 在区间 a ， b 上连续，在区间 ( a ， b ) 内 可导，则 f( x ) 在 a ， b 上的最大值和最小值应为 f( x ) 在 ( a ， b ) 内的各极值与 f( a ) 、 f( b ) 中的最大值 和最小值利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法 【 例 6 】 函数 f( x ) 3 x 1 在闭区间 3 ,0 上 的最大值、最小值分别是 _ _ _ _ _ 分析 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比 较大小，确定最值 解析 因为 f( x ) 3 3 ，所以令 f( x ) 0 ，得 x 1( 舍正 ) 又 f( 3) 17 ， f( 1) 3 ， f(0) 1 ，比较得， f( x ) 的最大值为 3 ，最小值为 1 7. 故填 3 ， 1 7. 点评 (1) 利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在 ( a ， b ) 内的极值；第二，求函数在端点的函数值 f( a ) 、 f( b ) ；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值 (2) 函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点 七、判别式法 把函数转化为 x 的二次方程 F ( x ， y ) 0 ，通过方程 有实根，判别式 0 ，从而求得函数的最值判 别式法多用于求形如 y f( a ， d 不同时为 0) 的分式函数的最值 【 例 7 】 求函数 y 3 x 43 x 4的最大值和最小值 分析 本题是分式函数的最值问题，因为分式函数的分 母恒为正，故可以应用判别式法求解 解析 3 x 4 0 的判别式 1 32 4 1 4 7 0 对一切 x R 均成立 函数的定义域为 R . 函数表达式可化为 ( y 1) (3 y 3) x 4 y 4 0. 当 y 1 时， x 0 ； 当 y 1 时，由 x R ，上面的一元二次方程必须有实 根 ， (3 y 3)2 4( y 1 )( 4 y 4) 0 ， 解得17 y 7( y 1) 综上得 y 7 ， y mi n 17. 点评 判别式法的应用，对转化的 ( y 1) (3 y 3) x 4 y 4 0 来说，应该满足二次项系数不为 0 ，对二次项系数为 0 时，要另行讨论，对本题若 y 1 0 ，即 y 1 ，有 (3 3) x 4 4 0 ，所以 x 0. 一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据 g ( y ) h ( y ) x ( y ) 0( g ( y ) 0) 的判别式 0 去求解，要注意验 证 g ( y ) 0 时 y 的值对应的 x 的值是否是函数定义域内 的值，若是，则使 g ( y ) 0 的 y 的值在函数的值域内，否则相反 八、平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方 法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知 的、易于解决的函数最值问题 【 例 8 】 已知函数 y 1 x x 3 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 ( ) 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义 域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进 而可以利用二次函数的最值解决 解析 由题意，得1 x 0 ，x 30 ，所以函数的定义域为 x | 3 x 1 又两边平方，得 4 2 1 x x 3 4 2 ( 1 x ) ( x 3 ) . 所以当 x 1 时， y 取得最大值 M 2 2 ；当 x 3 或 1 时， y 取得最小值 m 2 ， 2. 故选 C. 分 析 对于形如 y a b 的无理函数的最值问 题，可以利用平方法将问题化为函数 ( a b ) 2 ( a ( b ) 的最值问题，这只需利用二次函 数的最值即可求得 九、数形结合法 数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借 助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的 方法这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可 以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们 开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径 因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认 真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中 【 例 9 】 对 a ， b R ，记 m a x | a ， b | a ， a b ，b ， a b ，函数 f( x ) m a x | | x 1| ， | x 2 | | ( x R ) 的最小值是 _ _ _ _ _ _ _ _ 分析 本题实质上是一个分段函数的最值问题先根据条 件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解 解析 由 | x 1| x 2| ， 得 ( x +1)2 ( x - 2)2，所以 x . 1()( m 填所以 21,.,21|,2|,21|,1|)(函数有最小值时当由图形易知其图象如图所示所以用数形结合的方法求解最值问题，其关键是发 现问题条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意 义，就可以画出图形，从而借助图形直观解决问 题如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分 段求解最值的方法去解 十、线性规划法 线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函 数最值的方法线性规划法求解最值问题，一般有 以下几步： ( 1) 由条件写出约束条件； ( 2) 画出可行 域，并求最优解； ( 3) 根据目标函数及最优解，求 出最值 【 例 10 】 已知点 P ( x ， y ) 的坐标同时满足以下不等 式： x y 4 ， y x ， x 1 ，如果点 O 为坐标原点， 那么 | 的最小值等于 _ _ _ _ _ ，最大值等于 _ _ _ _ _ 分析 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时， 先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值 解析 由题意，得点 P ( x ， y ) 的坐标 满足 画出可行域，如图所示 由条件，得 A ( 2, 2) ， | =2 ； B (1 , 3) ， | = ； C (1 , 1) ， | = . 故 | 的最大值为 ，最小值为 . 410 本题求解，先要把问题化为线性
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