关 键 词：

步步高 高考 数学 一轮 复习 温习 第二 课件 打包 12 十二 大纲

资源描述：

【步步高】2011届高考数学一轮复习 第二章 函 数 文 课件（打包12套）人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第二,课件,打包,12,十二,大纲

内容简介：

第二章 函 数 映射与 函数 基础知识 自主学习 要点梳理 （ 1）定义：设 A， 果按照某种对 应关系 f，对于集合 ，在集合 的元素和它对应，那么，这样的对 应（包括集合 A， B，以及集合 的对应关 系 f）叫做 的映射，记作 f： A B. 任何一个元素 唯一集合 （ 2）象和原象：给定一个集合 的映射， 且 a A， b B，如果元素 么， 我们把元素 ，元素 . （ 1）函数的定义 设 A， 果按某个确定的对应关 系 f，使对于集合 ，在集合 都有 ，称 f： A 从集合 的一个函数 y=f(x),x 取值范围 ， 叫做函数的值域 . 象原象 任意一个数 x 唯一确定的数 f(x)和它对应 定义域 函数值的集合 f(x)|x A （ 2）函数的三要素 、 和 . （ 3）函数的表示法 表示函数的常用方法： 、 、 . （ 1）定义 函数 y=f(x)（ x A）中，设它的值域为 C，根据这 个函数中 x， y把 到 x= (y)中的 ，通过 x= (y)， 中都有 和它对应，那么 , x= (y)就表示 定义域 值域 对应法则 解析法 列表法 图象法 任何一个值 唯一的值 样的函数 x= (y)(y C)叫做函数 y=f(x)(x A)的 ，记作 ，习惯上用 它改写成 . （ 2）互为反函数的函数图象的关系 函数 y=f(x)的图象和它的反函数 y=x)的图象关于 直线 对称 . 反 函数 x=f -1(y) y=f -1(x) y=x 基础自测 =x|0 x2 ， N=y|0 y2 ，那么下面 的 4个图形中，能表示集合 的函数关系的 有 （ ） A. B. C. D. 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个 y，据此排除，选 C. D 函数是其定义域到值域的映射； f（ x） = 是函数； 函数 y=2x（ x N）的图象是一条直线； f（ x） = 与 g(x)= 其中正确的有 （ ） 解析 由函数的定义知正确 . 满足 f（ x） = 的 不正确 . 又 y=2x（ x N)的图象是一条直线上的一群孤立的 点， 不正确 . 又 f（ x）与 g（ x）的定义域不同， 也不正确 . 23 （ ） |1,1|1| 排除 A； 排除 B； 当 即 x1 时 ,y=|x|+|2除 C. 故选 D. 答案 D ,0,1,0,1|,1,1,1,1|1|,01,f(x)=3x+5,x 0,1的反函数 x)= . 解析 y=3x+5, 又 0 x1,5 y8, f(x)的反函数为 ,3 5 对换y 5)(1 ,5,3 5 f（ ） =x,则 f(x)= . 解析 )0(51 2 0(51)(),0(5115)1()(),0(1,1,0222 求函数的解析式 【 例 1】 （ 1）设二次函数 f(x)满足 f(f(且图象在 ，被 ，求 f(x)的解析式； （ 2）已知 （ 3）已知 f(x)满足 2f(x)+ =3x,求 f(x). 问题（ 1）由题设 f（ x）为二次函数， 故可先设出 f（ x）的表达式，用待定系数法求解； 问题（ 2）已知条件是一复合函数的解析式，因此 可用换元法；问题（ 3）已知条件中含 x， ，可用 解方程组法求解 . 22);(,2)1( )1( 深度剖析 思维启迪 （ 1） f（ x）为二次函数， 设 f(x)=bx+c (a0) ，且 f(x)=0的两根为 x1,由 f(f（ 得 4. 由已知得 c=1. 由、式解得 b=2,a= ,c=1, f（ x） = x+1. 2|4| 22221 又2121)(,11,1)1(112)(2)1()(),1(1)(,2)1( ,(1)2(22222法二方法一)2)(,36)(323)()1(23)1()(2,3)()1(2,1)3( 求函数解析式的常用方法有： (1)代入 法，用 g(x)代入 f(x)中的 x,即得到 f g(x)的解析 式； (2)拼凑法，对 f g(x)的解析式进行拼凑变 形，使它能用 g(x)表示出来，再用 “ g(x)” 即可； (3)换元法，设 t=g(x),解出 x,代入 f g(x)，得 f(t)的解析式即可； (4)待定系数法， 若已知 f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根 据特殊值，确定相关的系数即可； (5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式 . 知能迁移 1 （ 1）已知 f( +1)=lg x，求 f（ x）； (2)已知 f（ x）是一次函数，且满足 3f（ x+1） 2x+17，求 f（ x） . (1) （ 2）设 f（ x） =ax+b（ a0 ） ，则 3f（ x+1） =3a+3ax+b+5a=2x+17， a=2， b=7，故 f（ x） =2x+7. ,12,12,1(,12,12 分段函数 【 例 2】 设函数 f(x)= 若 f( f(0),f(关于 f(x)= ） 方程 f(x)=用待定系数法求 f（ x）的解析式，再用数形结合或解方程 . ,0,2,0,2解析 由 f(f(0),得 b=4,再由 f( c=2, x0时，显然 x=2是方程 f(x)=x0 时，方程 f（ x） =x+2=x，解得 x=x=程 f（ x） =. 答案 C 分段函数是一类重要的函数模型 键要抓住在不同的分段内研究问题 . 如本例，需分 x0时， f（ x） =x0 时，f（ x） = 探究提高 知能迁移 2 （ 2009 山东） 定义在 f(x)满足 则 f(2 009)的值为 （ ） 析 当 x 0时， f(x)=f(f( f(x+1)=f(x)-f( f(x+1)=-f(即 f(x+3)=-f(x) f(x+6)=f(x). 即当 x 0时，函数 f(x)的周期是 6. 又 f(2 009)=f(334 6+5)=f(5), 由已知得 f(=1， f(0)=0,f(1)=f(0)- f(-1,f(2)=f(1)=-1,f(3)=f(2)=0,f(4)=f(3)=0-(1,f(5)=f(4)=1. ,0),2()1(,0),1(2型三 函数的实际应用 【 例 3】 （ 12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托 车的投入成本为 1万元 /辆，出厂价为 辆，年 销售量为 1 000辆 划提高 产品档次，适度增加投入成本 加的比例为 x(00, 8分 即 0x+200, 即 3 a1) 的反函数，且 f(2)=1,则 f(x)= （ ） A. C. 析 函数 y=ax(a0,且 a1) 的反函数是 f(x)= f(2)=1,即 ，所以 a=2, 故 f(x)=.（ 2008 山东） 设函数 的值为 （ ） 解析 ,1,2,1,1)(222(1( 1(,4)2( .（ 2008 陕西） 定义在 f(x)满足 f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x,y R),f(1)=2,则 f(于（ ） 析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2 0 1 =f(0)+f(1), f(0)=0. f(0)=f()=f(f(1)+2 ( 1 =f(f(1) f(0. f(f()=f(f(1)+2 ( 1 =f(f(1) f(2. f(f()=f(f(1)+2 ( 1 =f(f(1) f(6. C f(x)=1,2上存在反函数的 充要条件是（ ） -,1 2,+) 1,2 -,1 2,+) 解析 由二次函数的对称轴为 x= D 二、填空题 的”收费标准如下： 3千米 以内为起步价 8元（即行程不超过 3千米，一律收费 8元），若超过 3千米除起步价外，超过部分再按 千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为 乘客应付的车费是 元 . 解析 车费为 8+（ 5 （元） . 15 8.（ 2009 北京） 已知函数 若 f(x)=2,则 x= . 解析 当 x1 时， 3x=2, x=当 x1时， , x=去 ). ,1,1,3)(x= 解析 ,0,1,0,0,0,1x+1)x2的解集是 . x|,31,21,020,021,0,2)(,0,1,0,0,0,1s g n)1()(三、解答题 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)=x. （ 1）求 g(x)的解析式； （ 2）解不等式 g(x) f(x)-| 解 （ 1）设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(关于原点的对称点为 P（ x， y）， .,02,020000点 Q（ x0,函数 y=f(x)的图象上， -y= y=x, 故 g(x)=x. （ 2）由 g(x) f(x)-|得 :20. 当 x1 时， 20, 此时不等式无解 . 当 x1时， 2x2+, 因此，原不等式的解集为 00辆 为 3 000元时，可全部租出 0元时，未租出的车将会增加一辆 50元，未租出的车每辆每月需要维护费 50元 . （ 1）当每辆车的月租金定为 3 600元时，能租出 多少辆车？ （ 2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司 的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 （ 1）当每辆车的月租金定为 3 600元时，未 租出的车辆数为 ，所以这时租出 了 88辆车 . （ 2）设每辆车的月租金定为 租赁公司的月 所以 ,当 x=4 050时 ,f(x)最大 ,最大值为 f(4 050)= 307 050. 即当每辆车的月租金定为 4 050元时，租赁公司的 月收益最大，最大月收益为 307 050元 . 1250 0 0 036 0 03 504(5010002116250)(50500003)150)(500003100()(22g(x)=f(x)是二次函数，当 x 时， f（ x）的最小值为 1，且 f（ x） +g（ x）为奇函数，求函数 f（ x）的表达式 . 解 设 f(x)=bx+c (a0), 则 f(x)+g(x)=(x2+bx+又 f(x)+g(x)为奇函数， a=1， c=3. f（ x） =x2+，对称轴 x= . 当 ，即 b f(x)在 2上为 减函数， f（ x）的最小值为 f（ 2） =4+2b+3=1. 2b22 ,322)(,4)1()(,2,1)(,2,12,322)(,43)2()(,24,221.i n 函数的定义域、值域 基础知识 自主学习 要点梳理 (1)函数的定义域是指 . (2)求定义域的步骤是： 写出使函数式有意义的不等式（组）； 解不等式组； 写出函数定义域 .（注意用区间或集合的形式 写出） 使函数有意义的自变量 的取值范围 (3)常见基本初等函数的定义域： 分式函数中分母不等于零 . 偶次根式函数、被开方式大于或等于 0. 一次函数、二次函数的定义域为 . y=ax,y=x,y=x,定义域均为 . y= . 函数 f(x)= . (1)在函数 y=f(x)中，与自变量 叫 ， 叫函数的值域 . R R ZR 2| 且x|x R且 x0函数值 函数值的集合 (2)基本初等函数的值域 y=kx+b(k0) 的值域是 . y=bx+c(a0) 的值域是：当 a0时，值域为 ；当 a1 ）的值域是 . y=a0且 a1) 的值域是 . y=x,y= . y= . R y|y R且 y0R R 1（ 0,+ ） ,44 2 基础自测 1.（ 2009 江西） 函数 的定 义域为 （ ） A. B. ) C.（ 0,1 D. )(0,1 解析 由题意得 x1 且 x0. 即定义域为 )(0,1 . 32 ,0,0432.（ 2008 全国 ） 函数 的 定义域为 （ ） A.x|x0 B.x|x1 C.x|x10 D.x|0 x1 解析 要使函数有意义 ,需 函数的定义域为 x|x10. )1(1,0,0)1(解得C f(x)=3x(0B.x|N=x|,求 a、 求出 f（ x）在 1， b上的值域，根 据值域已知的条件构建方程即可解 . 解题示范 解 2分 其对称轴为 x=1，即 1， b为 f（ x）的单调 递增区间 . 4分 6分 【 例 3】 221)(思维启迪 (21)( 2 21)1()( m 8分 由解得 12分 本题主要考查一元二次函数的定义域和 值域问题，主要体现了配方法求函数的值域 有字母，在分析时，要考虑字母的范围 . 基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分 析，经常考虑分母、被开方数、对数的真数等方 面，几种常见函数的定义域和值域都有必然的联系 . 2m a x 21)()( 3知能迁移 3 若函数 f(x)=x+1)(a0且 a1) 的 定义域和值域都是 0， 1，则 ） 解析 0 x1,1 x+12, 又 0a(x+1)1, a1,且 , a=2. 想方法 感悟提高 方法与技巧 决定了函数的 值域，并且它是研究函数性质的基础 们一定要树立函数定义域优先意识 . 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确 求解方程或不等式（组）；对于含有字母参数 的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对 于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义 . 坐标的变化范围 形结合 可求某些函数的值域 . 些连续函数 可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别 式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是 否成立，必要时注明“ =” 成立的条件 . 失误与防范 但要重视对应法则的作用， 而且还要特别注意定义域对值域的制约作用 . 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要 重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用 . 特别要重视实际问题的最值的求法 . 域的应用问题，首先要用“定 义域优先”的原则，同时结合不等式的性质 . 定时检测 一、选择题 1.（ 2009 陕西） 若不等式 的解集为 M，函数 f(x)=-|x|)的定义域为 N，则 M ） A. 0， 1） B.（ 0， 1） C. 0， 1 D.（ 0） 解析 不等式 的解集 M=x|0 x1, f(x)=-|x|)的定义域 N=x| 由取整函 数的定义可得值域为 ，故选 C. ,2112 2)( )(,0),0,21()(),21,0()( 当空题 的定义域为 . 解析 若使该函数有意义，则有 x x2, 其定义域为 x|x x2. 211,0201xxx|x x2 8.设 x2 ，则函数 的最小值是 . 解析 设 x+1=t， 则 t3 ，那么 在区间 2,+ ）上此函数为增函数，所以 t=3时，函 数取得最小值即 1)2)(5(1)1 (4)1(4452 的定义域为 R，则实数 . 解析 由题意，对任意实数 x R, 恒成立， 在 x 0, a0. 12)( 22 12 2 三、解答题 g)2(;c o (232解 ),(222255,0c o (2由借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为 xbc， f(1)=0. （ 1）证明：函数 f(x)与 g(x)的图象交于不同的 两点 A、 B； （ 2）若函数 F(x)=f(x)-g(x)在区间 2,3上的 最小值为 9，最大值为 21，试求 a、 （ 1） 证明 若 f(x)=g(x),则 bx+c=0, f(1)=a+b+c=0,abc, a0, f(x)=g(x)有两个不同的实根 . 即函数 f(x)与 g(x)的图象交于不同的两点 A、 B. （ 2） 解 令 F(x)=f(x)-g(x)=bx+c（ a0） , 对称轴 开口向上， abc,c=故函数 F(x)在 2,3上为增函数， F(2)=3a+3b=9,F(3)=8a+5b=21, 解得 a=2,b=1. ,2,2, 返回 函数的单调性 基础知识 自主学习 要点梳理 （ 1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f（ x）的定义域为 内某个区间 定义 当 上升的 下降的 (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 _或 _，则称 函数 f（ x）在这一区间上具有（严格的）单调性， _叫做 f（ x）的单调区间 . 增函数 减函数 区间 D 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 条件 对于任意 x I， 都有 _； 存在 I,使得 _. 对于任意 x I，都 有 _； 存在 I,使得 _. 结论 f（ x） M f（ =M f（ x） M f（ =M 基础自测 区间（ 0， 2）上为增函数的是 ( ) x+1 C.y= D. 解析 y=,y=, 分别为一次函 数、 二次函数、反比例函数 ,从它们的图象上可 以看出在（ 0， 2）上都是减函数 . y=f(x)是定义在 则 f(x)=0的 根 （ ） 个 解析 f（ x）在 对任意 x1,R,若 (f(f(0,0,. 即 f(f(0，所以 f(f( .),1(12)( 上为减函数在 1)(1()(21212)()(21122121)1)(1( )(22112 在（ + ）上为减函数 . （ 2）函数 f(x)=x+1在 1,+ ）上为减函数， 证明如下： 任取 R，且 x2, 则 f(f( =(x2+2(=(x2+ x2, ,x2+,x2+, f(f(x2+0, 即有 f(f( 12)( 2()12( 222121 2)( 212122 故函数 f(x)=x+1在 1,+ ）上是减函数 . （ 3）函数 f(x)= 在 + ）上为增函数， 证明如下： 任取 ）且 )2)( x,01 112 思维启迪 又 0,0, 于是 f(f( 故函数 f(x)在（ ）上为增函数 . ,0)1( 12112 )1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(1212211221211211221212112212 复合函数的单调性 【 例 2】 已知函数 f(x)=则使 f(x)为减函 数的区间是 ( ) A.(3,6) B.() C.(1,2) D.（ 1） 先求得函数的定义域，然后再结合二 次函数、对数函数的单调性进行考虑 . 解析 由 ，得 合二次函数 的对称轴直线 x=1知，在对称轴左边函数 y=减函数，所以在区间（ - ， 是减函数， 由此可得 思维启迪 D （ 1）复合函数是指由若干个函数复合而 成的函数，它的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关，其单调性的规律为 “ 同增异减 ” ， 即 f(u)与 g(x)有相同的单调性，则 fg(x)必为增函 数，若具有不同的单调性，则 fg(x)必为减函数 . （ 2）讨论复合函数单调性的步骤是： 求出复合函数的定义域； 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其 单调性； 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； 根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性 . 探究提高 知能迁移 2 函数 y= 的递减区间为 （ ） A.(1,+) B. C. D. 解析 作出 t=2的示意 图如图所示， 00时， f(x) , f（ =f（ +f(f( 又 x0时 ,f(x)0, f(则 f(f(f(f(=f(f(f(f( 又 x0时 ,f(x)0, f(时 ,f(x),则 又 当 x1时， f(x)0时， f(x)1. （ 1）求证： f(x)是 （ 2）若 f(4)=5,解不等式 f(3, f(1. f(f(f(f(=f(f(1-f(=f(10. f（ f( 即 f(x)是 解题示范 2分 5分 6分 （ 2） 解 f（ 4） =f（ 2+2） =f（ 2） +f（ 2） ， f（ 2） =3， 原不等式可化为 f(3时， f(x)0, 代入得 f(1)=f(f(0,故 f(1)=0. )(212）任取 x1,0,+) ，且 x1 由于当 x1时， f(x)9, x9或 a1 ）是 的减函数，则 （ ） A.（ 0， 1） B. C. D. 解析 据单调性定义， f（ x）为减函数应满足： 0,0,3)(,3131,0( 32,0(,100 B 在 (0,1)上为增函数的是（ ） A.y=x . D. 解析 y= 上是增函数， y=0， 1）上是增函数 . 21( 21 ,2 A 4.(2009 天津 )已知函数 若 f(2f(a)，则实数 a 的取值范围是 （ ） A.（ -, (2,+) B.( ) C.() D.(-, (1,+) 解析 由 f(x)的图象 可知 f(x)在 (-,+) 上是单调递增函数 ,由 f(2f(a)得 2a,即 a2+ 函数 f(x)的单调减区间为 23,( ),23 23,1( )4,23425)23( 2 x ),4,23)3D 二、填空题 y=f(x)是定义在（ 2）上的增函数，若 f(f( f(x)在（ - ， 0） （ 0， + ）上不是增函数 . f（ x）在（ - ， 0） (0,+) 上不具有单调性 . （ 1）若 a=证 f(x)在（ -, 单调递增； （ 2）若 a0且 f(x)在（ 1,+ ）内单调递减，求 取值范围 . （ 1） 证明 任设 , 要使 f(f(0,只需 (0恒成立， a1. 综上所述知 00及 得 x0, 由 f(6)=1及 得 fx(x+3)2f(6),即 fx(x+3)f(6), 亦即 因为 f(x)在 (0,+) 上是增函数 ,所以 解得 综上所述，不等式的解集是 ,01 x)6)3( ()3( 6)3( x 要点梳理 函数的概念 一般地 ,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都 有 _，那么函数 f（ x）就叫做偶函数 . 一般地 ,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都 有 _，那么函数 f（ x）就叫做奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 对称 . 函数的奇偶性 基础知识 自主学习 f（ =f（ x） f（ =x） 判断函数的奇偶性 ,一般都按照定义严格进行 ,一般 步骤是 : （ 1）考查定义域是否关于 _； （ 2）考查表达式 f（ 否等于 f（ x）或 x）： 若 f（ =_，则 f（ x）为奇函数； 若 f（ =_，则 f（ x）为偶函数； 若 f（ =_且 f（ =_,则 f(x)既是 奇函数又是偶函数； 若 f（ x）且 f（ f（ x），则 f（ x）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数 . 原点对称 x） f（ x） x） f（ x） 函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 _, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 _(填 “相同”、“相反”） . (2)在公共定义域内， 两个奇函数的和是 _,两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是 _； 一个奇函数，一个偶函数的积是 _. 奇函数 偶函数 奇函数 相同 相反 基础自测 x,下列函数为奇函数的是 （ ） 3.y=x |x|x 解析 B、 数 .设 y=f(x)=x=, f（ = x） . C 2.（ 2008 全国 ） 函数 的图象关于 （ ） y= y=解析 f（ x）是奇函数 . f（ x）的图象关于原点对称 . 1)(,1)( ).()1(1)( C 又在区间 上单调递减 的函数是（ ） A.f(x)=x B.f(x)=-|C. D. 解析 函数是奇函数 ,排除 B、 C（ 非偶函数， 1 f（ x） =上是增函数 ,排除 A,故选 D. )(21)( xx 22,2,2 D f(x） =2a上的偶函数 , 那么 a+ （ ） A. B. C. D. 解析 依题意得 31312121,031,021 .（ 2008 福建） 函数 f（ x） =x3+x+1 (x R), 若 f（ a） =2，则 f（ 值为 （ ） 析 设 g(x)=x3+x,很明显 g(x)是一个奇函数 . f（ x） =g（ x） +1. f（ a） =g（ a） +1=2， g（ a） =1， g（ = f（ =g（ +1=0. B 题型一 函数奇偶性的判断 【 例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3) 判断函数的奇偶性 ,应先检查定义域是 否关于原点对称 ,然后再比较 f(x)与 f(间是否 相等或相反 . 题型分类 深度剖析 思维启迪 ;11 ;11)1()(),0()(22 (1) 定义域关于原点对称 . 故原函数是奇函数 . (2) 0 且 1 f(x)=x2+x,则当 故 f(f(x); 当 f(-(2=x+2=f(x). 当 x1时 ,f(x)=, f(x)在（ 0， + ）上是减函数 . 又 f（ x）为奇函数， f（ 0） =0， f（ x）在（ -,+ ）上是减函数 . f（ 最大值， f(6)为最小值 . f(1)= f()=)=1, f(6)=2f(3)=2f（ 1） +f（ 2） = 所求 f(x)在区间 6上的最大值为 1，最小值 为 ,21方法二 设 f(1,故有 f(3)0时， f(x)=1不等式 f(x)0时， 1 0与题意不符， 当 f（ =1 又 f（ x）为 f（ =x）， x） =1 f（ x） =2 f（ x） =2. f(x)= 即 f(x)=+|x|) (x R). )2),0()2 (x0, 常数 a R). (1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； （ 2）若函数 f(x)在 2， + ）上为增函数，求实数 2)(解 （ 1）当 a=0时， f（ x） =x( -,0)(0,+) ， 有 f(=x2=f(x), f(x)为偶函数 . 当 a0 时， (x0, 常数 a R)， 若 x= 1，则 f(f(1)=20 ； f( ),f( f(1). 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 . 综上所述，当 a=0时， f(x)为偶函数； 当 a0 时， f（ x)为非奇非偶函数 . 2)(（ 2）设 2 即 x1+16, - ， 16 . ,)()()(2121212122212121返回 要点梳理 (1)一般式： f（ x） = . (2)顶点式： f(x)= . (3)零点式： f(x)= . 求二次函数解析式的方法：待定系数法 给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式 中的一种来求 . 二次函数 基础知识 自主学习 bx+c(a0) a(+n(a0) a(a0) 已知三个点的坐标时，宜用一般式 . 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 （小）值有关时，常使用顶点式 . 已知抛物线与 横坐标已知时， 选用零点式求 f(x)更方便 . 图象 函数性质 a 0 定 义 域 x R（个别题目有限制的，由解 析式确定） 值 域 a0 图象与 1(0)、 M2(0)， 次函数、一元二次方程、一元二 次不等式） . 在高考中三个二次不仅是各种问题转化的最后 的落脚点，而且单纯的三个二次问题间的相互 转化有时技巧性也会很强 . .| 2121基础自测 y=x2+bx+c（ x 0， + ）是单调函数的 充要条件是 （ ） 0 0 解析 b0. 故选 A. 02 (|x|1) 有解，则 （ ） A.|a|1 B.| a|2 C.|a|1 D. a R 解析 原方程可分解为 ()(0, 2或 ,则有 |a|2 或 |a|1. 即 |a|1. A y=ax+y=bx+ 系中的图象大致是 （ ） 解析 选项 一次函数的斜率 a0,而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除 , y=bx+当 a0,b0时， 排除 B. 当 ) )f(2) )=f(2) )与 f(2)的大小关系不能确定 解析 f(4)=f(1), 选 C. ),2()3252()3(,25 对称轴为C f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1, 则 f(x)的表达式为（ ） A.f(x)=.f(x)=.f(x)=.f(x)= 解析 方法一 由 f(0)=1,可得 f(x)= (a0) ，用排除法可选 D. 方法二 由 f(0)=1,可得 f(x)= (a0), 故 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1. f(x+1)-f(x)=2ax+a+b, 由已知： f(x+1)-f(x)=2x,即 2ax+a+b=2x. ,11,022 2 D 题型一 二次函数的解析式的求法 【 例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(且 f(x)的最大值是 8，求此二次函数的解析式 . 确定二次函数采用待定系数法，有三 种形式，可根据条件灵活运用 . 题型分类 深度剖析 思维启迪 解 方法一 设 f(x)=bx+c (a0), 依题意有 所求二次函数为 y=x+7. 方法二 设 f(x)=a(+n. f(2)=f( 抛物线对称轴为 m= ,7,4,4,844,1,(2 n=8， y=f（ x） = f（ 2） = 解之，得 a=方法三 依题意知： f(x)+1=0的两根为 ,1, 故可设 f(x)+1=a(x+1), 即 f(x)=又函数有最大值 ,即 1( 2 8)212( 2 1(4)( 22 4)12(4 2 a=a=0(舍去） . 函数解析式为 f(x)=x+7. 二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式： f(x)=bx+c (a0) (2)顶点式： f(x)=a(+k (a0) (3)两点式： f(x)=a(a0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定 . 探究提高 知能迁移 1 设二次函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2且 f（ x） =0的两实数根平方和为 10，图象过点 (0,3), 求 f（ x）的解析式 . 解 设 f(x)=bx+c (a0). 由 f(x+2)=f(2，该函数图象关于直线 x=2对称 , 即 b= 又 图象过（ 0， 3）点， c=3. ,22 0 由得 a=1,b=-4,c=3. 故 f（ x） =. 102)(2)(2212212221型二 二次函数的图象与性质 【 例 2】 已知函数 在区间 0,1 上的最大值是 2，求实数 研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系 . 解 对称轴为 2142 2(41)2( 22 思维启迪 (1)当 0 1 ，即 0 a2 时， 得 a=3或 a= 0 a2 矛盾 (2)当 1，即 a2时， 0， 1上单调递增， 有 f(1),f(1)=2 综上，得 a=a= 2a,2)2(41),2(41 22m a x (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对 函数最值的影响 . (2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为 y=a(+顶点（ m， n）或 对称轴方程 x=m，分三个类型： 顶点固定，区间固定； 顶点含参数，区间固定； 顶点固定，区间变动 . 知能迁移 2 已知函数 f(x)=x,求函数 f(x)在区间 t,t+1上的最大值 h(t). 解 f（ x） =x=-(+16 当 t+14时， f(x)在 t,t+1上单调递减 . 此时 h(t)=f(t)=t. 综上可知 .)4(8)43(16)3(76)(22 二次函数的综合应用 【 例 3】 （ 14分）已知二次函数 y=f(x)的图象与 交于 A， 它在 为 4,又对任意的 f(x+1)=f(1 （ 1）求二次函数的表达式； （ 2）若二次函数的图象都在直线 l:y=x+ 求 先根据性质特征：关于 x=1对称，可设 为顶点式再待定系数 . ,32| 解题示范 解 （ 1） 方法一 f（ x+1） =f（ 1 y=f（ x）的对称轴为 x=1， 2分 又 f(x)为二次函数， 可设 f(x)=a(+k (a0), 又当 x=0时， y=4, a+k=4,得 f(x)=a(, 令 f(x)=0,得 a(= 6分 即 f(x)=-2(+6=x+4. 8分 ,412| 法二 令二次函数 y=f(x)的图象与 A（ 0）， B（ 0），（ x2, f（ x+1） =f（ 1 x1+， ，得 3分 设二次函数 又 f(0)=4,则 a=即 f(x)=-2(+6=x+4. 8分 (2)由条件知 x+40对 x 12分 14分 ,32| 31,31 21 31()( 41,0)4(89 ).,841( 的取值范围是 （ 1）求二次函数的解析式问题，一般都 采用待定系数法，就是根据条件先确定什么形式 一般式、顶点式、两点式等 . （ 2）在研究二次函数图象在直线上方或下方，通常 是构造不等式，这也是数形结合的一个重要方面 . 知能迁移 3 已知二次函数 f(x)=bx(a、 数且 a0) 满足条件： f()=f(且方程 f(x)= （ 1）求 f(x)的解析式； （ 2）设 g(x)=f(x)+tx(t R)，试求 g(x)在区间 上的最小值； （ 3）是否存在实数 m、 n( m=0符合题意 . 若 x0 时， g(x)0, 需要 f(x)=24-m)x+4在 0， + ）上 恒成立 . x0时， g(x)0;在 x0 时， g(x)0, 需使 f(x)=24-m)x+4在（ - ， 0上恒 成立， 综上可知， 0,b R,c R). （ 1）若函数 f(x)的最小值 f(0,且 c=1, （ 2）若 a=1,c=0,且 |f(x)|1 在区间 (0,1恒成 立，试求 解 （ 1）由已知 c=1,c=0,且 解得 a=1,b=2. f(x)=(x+1)2. ;)2()2(,0),(,0),()( 的值求 2 1(,0,)1()(22F(2)+F(2+1)2+ -()2 =8. （ 2） f(x)=x2+命题等价于 x2+ 在 (0,1上恒成立， 1,01.1,0(11a、 b、 c、 数 f(x)=cx+d,g(x)=cx+d,方程 f(x)=0有实 数根，且 f(x)=0的实数根都是 g(f(x)=0的根，反 之， g(f(x)=0的实数根都是 f(x)=0的根 . （ 1）求 （ 2）若 a=0，求 解 （ 1）设 r为 f(x)=0的一个根，即 f(r)=0, 则由题意得 g(f(r)=0，于是 ,g(0)=g(f(r)=0, 即 g(0)=d=d=0. （ 2）由题意及 (1)知 f(x)=g(x)=由 a=0得 b, 且 g(x)=cx=x(bx+c), 则 g(f(x)=x(bx+c) bx(bx+c)+c =x(bx+c)(c). 方程 f(x)=0就是 x(bx+c)=0. 方程 g(f(x)=0就是 x(bx+c)(c)=0. () 当 c=0， b0 时，方程的根都是 x=0符合 题意 . () 当 c0, b=0时，方程的根都是 x=0符合 题意 . () 当 c0, b0 时，方程的根为 也都是的根，但不是方程 c=0的实数根 . 由题意方程 c=0无实数根， =( (2)F（ x） = =5 当 0 ，即 时，则必需 当 0,即 时 ,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1 552552 若 1,则 , 若 0,则 , 综上所述： m0 或 m2. 2m;201)0(12252101)0(022 要点梳理 （ 1）根式的概念 如果一个数的 a（ n 1且 n N*），那么这 个数叫做 a的 也就是，若 xn=a，则 _,其中 n 1且 n N* 叫做 _, 这里 _， _. 指数与指数函数 基础知识 自主学习 a的 n a 根式 根指数 被开方数 （ 2）根式的性质 当 正数的 数的 时， a的 _ 表示 . 当 数的 们互为 相反数 ,这时，正数的正的 _表示 , 负的 _表示 可以合写为 _（ a 0） . =_. n an an an a)(a 当 =_; 当 =_. 负数没有偶次方根 . (1)幂的有关概念 正整数指数幂： （ n N*）； 零指数幂： _（ a0 ）； 负整数指数幂： _（ a0 ， p N*）； n n )0()0( 个nn 1 正分数指数幂： =_（ a0， m、 n N*， 且 n1）； 负分数指数幂： = = (a0,m、 n N*,且 n1). 0的正分数指数幂等于 _， 0的负分数指数幂 _. （ 2）有理数指数幂的性质 _(a0,r、 s Q); (ar)s= _(a0,r、 s Q); (ab)r= _(a0,b0,r Q). n s 没有意义 y=ax a1 00时 ,_; _; x1 y1 0d1a1 a1 解析 a=2. 0,133,1022 且C 题型一 指数幂的化简与求值 【 例 1】 计算下列各式： 题型分类 深度剖析 .)12(248)4();3()6)(2)(3(;549)13(251)2(;)972()12527()1( 先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运 算性质进行计算 . 解 3()6(2)3(5(1)25()25(125)2(7125()1(06531216121322312原式原式原式思维启迪 根式运算或根式与指数式混合运算时 ,将 根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不 强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根 据要求写出结果 数，也不能既有分母又含有负指数 .