【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章课件（打包13套） 新人教A版必修5
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章课件（打包13套） 新人教A版必修5,步步高,学年,高中数学,第二,课件,打包,13,新人,必修
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本讲栏目开关 【学习目标】 1 理解等差数列的意义 2 会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题 3 掌握等差中项的概念，深化认识并能运用 【学法指导】 1 要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词 “ 从第2 项起 ” ， “ 差是一个常数 ” 等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式 2 利用 1 d ( n N ) 可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列 本讲栏目开关 1 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d 表示 2 若三个数 a ， A ， b 构成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的 _ ，并且 A . 3 若等差数列的首项为 差为 d ，则其通项 _ . 4 等差数列 中，若公差 d 0 ，则数列 为 数列；若公差 d 0 ，则数列 为 数列 填一填 知识要点、记下疑难点 等差 公差 等差中项 本讲栏目开关 a (n 1)d 递增 递减 问题情境 1 1682 年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和 1531 年、 1607 年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于 76 年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是 76 年请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间 哈雷彗星的回归时间表 ( 单位：年 ) 1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061 ， . 预测它在本世纪回归的时间是 206 1 年 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 2 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行，此后每 4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数 照算这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？ 这个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究点一 等差数列的概念 问题 1 我们先看下面几组数列： ( 1) 3,4,5,6,7 ， ； ( 2) 6,3,0 ， 3 ， 6 ， ； ( 3) . 5 ， ； ( 4) 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， . 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是 _ _ _ _ _ _ 研一研 问题探究、课堂更高效 从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数 本讲栏目开关 问题 2 判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项d ；如果不是，请说明理由： ( 1) 4,7,10,1 3,16 ， ； ( 2) 31,25,19 ,13,7 ， ； ( 3) 0,0,0,0,0 ， ； ( 4) a ， a b ， a 2 b ， ； ( 5) 1,2,5,8,1 1 ， . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 解 ( 1) 是等差数列， a 1 4 ， d 3 ； 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 2) 是等差数列， a 1 31 ， d 6 ； ( 3) 是等差数列， a 1 0 ， d 0 ； ( 4) 是等差数列， a 1 a ， d b ； ( 5) 不是等差数列， a 2 a 1 1 ， a 3 a 2 3 ， a 2 a 1 a 3 a 2 . 本讲栏目开关 探究 如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解 研一研 问题探究、课堂更高效 答 ( 1) 等差数列 从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，这一点说明一个等差数列至少有 3 项 ( 2) 如果一个数列，不从第 2 项起，而是从第 3 项起或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第 2 项或第 3 项起是一个等差数列 ( 3) 一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列也 不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中 “ 同一个 ” 常数，这个 “ 同一个 ” 十分重要，切记不可丢掉 本讲栏目开关 探究点二 等差数列的通项公式 问题 如果等差数列 a n 的首项是 a 1 ，公差是 d ，你能用两种方法求其通项吗？ 探究 1 根据等差数列的定义： a n 1 a n d ，可以依次得到 a 1 ，a 2 ， a 3 ， a 4 ， ，然后观察规律，归纳概括出通项公式 a n . 研一研 问题探究、课堂更高效 答 a 2 a 1 d ， a 3 a 2 d ， a 4 a 3 d ， . 所以 a 2 a 1 d ， a 3 a 2 d ( a 1 d ) d a 1 2 d ， a 4 a 3 d ( a 1 2 d ) d a 1 3 d ， 由此得出 ： a n a 1 ( n 1) d . 本讲栏目开关 探究 2 由等差数列的定义知： a n a n 1 d ( n 2) ，可以采用叠加法得到通项公式 a n . 研一研 问题探究、课堂更高效 答 a 2 a 1 a 2 a 3 da n a n 1 d( n 1) 个 将以上 ( n 1) 个等式两边分别相加，可得 a n a 1 ( n 1) d ，即 a n a 1 ( n 1) d . 本讲栏目开关 探究点三 等差中项 问题 1 如果三个数 x ， A ， y 组成等差数列，那么 A 叫做 x和 y 的等差中项，试用 x ， y 表示 A . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 x ， A ， y 组成等差数列， A x y A ， 2 A x y ， A x 问题 2 已知 A ， B ， C 是 三个内角，且 B 是 A 、 角 B 的大小 解 A B C ，又 A C 2 B ， 3 B ， B 3 . 本讲栏目开关 探究 若数列 a n 满足： a n 1 a n a n 22 ，求证： a n 是等差 数列 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 a n 1 a n a n 22 2 a n 1 a n a n 2 a n 2 a n 1 a n 1 a n a n 1 a n a n a n 1 a 2 a 1 ( 常数 ) a n 是等差数列 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 已知 a n 为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式 ( 1) a 3 5 ， a 7 13 ； ( 2) 前三项为： a, 2 a 1,3 a . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 设首项为 a 1 ，公差为 d ，则 a 3 a 1 2 d 5 ，a 7 a 1 6 d 13 ， 解得 a 1 1 ，d 2. a n a 1 ( n 1) d 1 ( n 1) 2 2 n 1. 通项公式为 a n 2 n 1. 本讲栏目开关 ( 2) 由等差中项公式得 2 (2 a 1) a (3 a ) ， a 54 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 首项为 a 54 ，公差为 2 a 1 a a 1 54 1 14 ， a n 54 ( n 1) 14 1. 通项公式为 a n 1. 小结 在等差数列 a n 中，首项 a 1 与公差 d 是两个最基本的元素；有关等差数列的 问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关 a 1 、 d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量 本讲栏目开关 跟踪训练 1 若 a n 是等差数列， a 15 8 ， a 60 20 ，求 a 75 . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设 a n 的公差为 d . 由题意知 a 15 a 1 14 d 8 ，a 60 a 1 59 d 20 ，解得a 1 6415 ，d 415 a 75 a 1 74 d 6415 74 415 24. 本讲栏目开关 例 2 已知1a，1b，1证：b ca，a cb，a 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 1a ， 1b ， 1c 成等差数列， 2b 1a 1c ，即 2 b ( a c ) b a c b c a a b c 2 a 2 b a c a 2 c 2 2 2 a c 2b a c 2 a c b . b a a 等差数列 小结 一般地，一个数列至少有三项若 x ， y ， z 成等差数列，则 x z 2 y ，反之亦然此时， y 就是 x 与 z 的等差中项 本讲栏目开关 跟踪训练 2 已知 a ， b ， c 成等差数列，那么 a 2 ( b c ) ， b 2 ( c a ) ， c 2 ( a b ) 是否能构成等差数列？ 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 a ， b ， c 成等差数列， a c 2 b . a 2 ( b c ) c 2 ( a b ) a 2 b a 2 c c 2 a c 2 b ( a 2 b c 2 b ) ( a 2 c c 2 a ) b ( a 2 c 2 ) a c ) b ( a 2 c 2 ) 2 b ( a 2 c 2 2 b ( a c ) 2 b ( a c ) ( a c ) 2 b 2 ( a c ) a 2 ( b c ) ， b 2 ( c a ) ， c 2 ( a b ) 能构成等差数列 本讲栏目开关 例 3 梯子的最高一级宽 3 3 最低一级宽 1 1 0 中间还有10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度 研一研 问题探究、课堂更高效 解 用 a n 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得 a 1 33 ， a 12 1 1 0 ， n 12. 由通项公式，得 a 12 a 1 ( 1 2 1) d ，即 1 1 0 33 11 d . 解得 d 7. 因此， a 2 33 7 40 ， a 3 40 7 47 ， a 4 54 ， a 5 61 ，a 6 68 ， a 7 75 ， a 8 82 ， a 9 89 ， a 10 96 ， a 11 1 0 3 . 所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是 4 0 c m ,4 7 5 4 c m ,6 1 6 8 c m ,7 5 8 2 c m ,8 9 9 6 c m , 1 0 3 c m . 小结 在实际问题中，若一组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题 本讲栏目开关 跟踪训练 3 在通常情况下，从地面到 1 0 k m 高空，高度每增加 1 k m ，气温就下降某一个固定数值 . 如果 1 k m 高度的气温是 8 . 5 , 5 k m 高度的气温是 - 1 7 . 5 ，求 2 k m ， 4 k m ， 8 k 研一研 问题探究、课堂更高效 解 用 a n 表示自下而上各高度气温组成的等差数列， 则 a 1 8 . 5 ， a 5 1 7 由 a 5 a 1 4 d 8 . 5 4 d 1 7 . 5 ，解得 d 6 . 5 ， a n 15 6 .5 n . a 2 2 ， a 4 11 ， a 8 37 ， 即 2 k m , 4 k m , 8 k m 高度的气温分别为 2 ， 11 ， 37 . 本讲栏目开关 1 若数列 a n 满足 3 a n 1 3 a n 1 ，则数列是 ( ) A 公差为 1 的等差数列 B 公差为13的等差数列 C 公差为13的等差数列 D 不是等差数列 练一练 当堂检测、目标达成落实处 B 2 若 a b ，则等差数列 a ， x 1 ， x 2 ， b 的公差是 ( ) A b a C 本讲栏目开关 3 在等差数列 a n 中， ( 1 ) 已知 a 1 2 ， d 3 ， n 10 ，则 a n _ _ ； ( 2 ) 已知 a 1 3 ， d 2 ， a n 21 ，则 n _ _ _ ； ( 3 ) 已知 a 1 12 ， a 6 27 ，则 d _ _ ； ( 4 ) 已知 d 13， a 7 8 ，则 a 1 _ _. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 29 10 3 10 本讲栏目开关 4 甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度： 时间 t ( s) 1 2 3 ？ 60 距离 s ( c m ) 9 . 8 1 9 . 6 2 9 . 4 49 ？ ( 1 ) 你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ ( 2 ) 利用建立的模型计算，甲虫 1 m i n 能爬多远？它爬行4 9 c m 需要多长时间？ 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 ( 2 ) 当 t 1 m i n 6 0 s 时， s 9 .8 t 9 60 5 8 8 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解 ( 1 ) 由题目表中数据可知，该数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都是常数 9 . 8 ，所以是一个等差数列模型因为 a 1 9 . 8 ， d 9 . 8 ，所以
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