【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章课件（打包13套） 新人教A版必修5
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章课件（打包13套） 新人教A版必修5,步步高,学年,高中数学,第二,课件,打包,13,新人,必修
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本讲栏目开关 【学习目标】 1 灵活应用等比数列的定义及通项公式 2 熟悉等比数列的有关性质 3 系统了解判断是否成等比数列的方法 【学法指导】 1 等差数列与等比数列联系十分紧密，既有诸多相似之处，又有不同的地方，充分准确地把握它们之间的联系，会为我们解题带来诸多便利 2 等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在 本讲栏目开关 1 等比数列的通项公式： ，推广形式： ( n ， m N*) 2 如果一个数列 的通项公式为 中 a ， q 都是不为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 ，公比为 . 3 一般地，如果 m ， n ， k ， l 为正整数，且 m n k l ，则有 _ ，特别地，当 m n 2 k 时， . 4 若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，即 . 填一填 知识要点、记下疑难点 a 1q n 1 m q a m a n a k a l 1 a n 1 k 本讲栏目开关 探究点一 等比数列的单调性 探究 观察下面几个等比数列中项的变化趋势： 1,2,4,8,16 ， 1 ，12，14，18，116， 9,3,1 ，13，19， 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 16 ， 1 ，12，14，18，116， 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 通过上面的例子，可以得出下列结论： 当 q 0 时，等比数列既不是递增数列，也不是递减数列，而是 _ 数列； 当 0 ， q 1 时，等比数列是 数列； 当 0,0 q 1 时，等比数列是 数列； 当 0 ， q 1 时，等比数列是 数列； 当 0,0 q 1 时，等比数列是 数列 综上所述，等比数列单调递增 ； 等比数列单调递减 . 研一研 问题探究、课堂更高效 摆动 递增 递减 递减 递增 a 1 0q 1 或 a 1 00 q 1 a 1 00 q 1 或 a 1 0q 1 本讲栏目开关 探究点二 等比数列的性质 探究 1 在等比数列 a n 中，若 m n s t ，证明 a m a n a s a t ( m ， n ，s ， t N * ) 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 a m a 1 q m 1 ， a n a 1 q n 1 ， a m a n a 21 q m n 2 ，同理， a s a t a 21 q s t 2 ， m n s t ， a m a n a s a t . 本讲栏目开关 探究 2 在等比数列 a n 中，若 m n 2 k ，证明 a m a n a 2k ( m ， n ，k N * ) 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 a m a 1 q m 1 ， a n a 1 q n 1 ， a m a n a 21 q m n 2 ， a k a 1 q k 1 ， a 2k a 21 q 2 k 2 . m n 2 k ， a m a n a 2k . 本讲栏目开关 问题 在各项均为正数的等比数列 a n 中，若 a 3 a 5 4 ，则a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 _. 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 a 3 a 5 a 24 4 ， a n 0 ， a 4 2. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ( a 1 a 7 ) ( a 2 a 6 ) ( a 3 a 5 ) a 4 4 3 2 128. 128 本讲栏目开关 探究点三 等比数列的判断方法 探究 1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 ( 1) 定义法：a n 1a n q ( 常数 ) ； ( 2) 等比中项法： a 2n 1 a n a n 2 ( a n 0 ， n N * ) ； ( 3) 通项法： a n a 1 q n 1 ( a 1 q 0 ， n N * ) 本讲栏目开关 探究 2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到连续的三项不成等比数列即可，即存在 a ， a ， a ，且 a a . n0 10题 1 若数列 a n 为等差数列，公差为 d ， b n c ( c 0 且 c 1) ，试问数列 b n 是什么数列？并证明你的结论 研一研 问题探究、课堂更高效 答 数列 是等比数列 b n 1b n c 常数 ) b n 为等比数列 a n 1 a n 本讲栏目开关 题 2 若数列 a n 为等比数列，公比为 q ，且 a n 0 ， b n lg a n ，试问数列 b n 是什么数列？并证明你的结论 研一研 问题探究、课堂更高效 答 数列 b n 是等差数列 b n 1 b n a n 1 a n 1a n q ( 常数 ) b n 为等差数列 本讲栏目开关 问题 3 已知 a n 2 n 3 n ，判断数列 a n 是否是等比数列？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 不是等比数列 a 1 2 1 3 1 5 ， a 2 2 2 3 2 13 ， a 3 2 3 3 3 35 ， a 1 a 3 a 22 ， 数列 a n 不是等比数列 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 已知 a n 为等比数列 ( 1) 若 a n 0 ， a 2 a 4 2 a 3 a 5 a 4 a 6 25 ， 求 a 3 a 5 ； ( 2) 若 a n 0 ， a 5 a 6 9 ， 求 a 1 a 2 l a 10 的值 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) a 2 a 4 2 a 3 a 5 a 4 a 6 a 23 2 a 3 a 5 a 25 ( a 3 a 5 ) 2 25 ， a n 0 ， a 3 a 5 0 ， a 3 a 5 5. ( 2) 根据等比数列的性质 a 5 a 6 a 1 a 10 a 2 a 9 a 3 a 8 a 4 a 7 9. a 1 a 2 a 9 a 10 ( a 5 a 6 ) 5 9 5 . a 1 a 2 l a 10 ( a 1 a 2 a 9 a 10 ) 9 5 5 9 10. 本讲栏目开关 跟踪训练 1 设 a n 是由正数组成的等比数列 ， 公比 q 2 ， 且a 1 a 2 a 3 a 30 215， 求 a 2 a 5 a 8 a 29 的值 研一研 问题探究、课堂更高效 解 a 1 a 2 a 3 a 30 ( a 1 a 30 ) ( a 2 a 29 ) ( a 15 a 16 ) ( a 1 a 30 ) 15 2 15 ， a 1 a 30 2. a 2 a 5 a 8 a 29 ( a 2 a 29 ) ( a 5 a 26 ) ( a 8 a 23 ) ( a 11 a 20 ) ( a 14 a 17 ) ( a 2 a 29 ) 5 ( a 1 a 30 ) 5 2 5 32. 本讲栏目开关 例 2 已知数列 a n 满足 a 1 1 ， a n 1 2 a n 1 ， ( 1) 求证：数列 a n 1 是等比数列； ( 2) 求 a n 的通项公式 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 1) 证明 a n 1 2 a n 1 ， a n 1 1 2( a n 1) ， a n 1 1 1 2 ，且 a 1 1 2. a n 1 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 ( 2) 解 由 ( 1) 知 a n 1 是等比数列 公比为 2 ，首项为 2. a n 1 2 n . a n 2 n 1. 小结 利用等比数列的定义a n 1a n q ( q 0) 是判定一个数列是等比数列的基本方法要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如 a 22 a 1 a 3 . 本讲栏目开关 跟踪训练 2 设 a n 、 b n 是公比不相等的两个等比数列， c n a n b n ，证明数列 c n 不是等比数列 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 设 a n 、 b n 的公比分别为 p 、 q ， p 0 ， q 0 ， p q ， c n a n b n . 要证 c n 不是等比数列，只需证 c 22 c 1 c 3 成立即可 事实上， c 22 ( a 1 p b 1 q ) 2 a 21 p 2 b 21 q 2 2 a 1 b 1 c 1 c 3 ( a 1 b 1 )( a 1 p 2 b 1 q 2 ) a 21 p 2 b 21 q 2 a 1 b 1 ( p 2 q 2 ) 由于 c 1 c 3 c 22 a 1 b 1 ( p q ) 2 0 ，因此 c 22 c 1 c 3 ， 故 c n 不是等比数列 本讲栏目开关 例 3 某制糖厂 201 1 年制糖 5 万吨，如果从 201 1 年起，平均每年的产量比上一年增加 20 % ，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过 30 万吨 ( 保留到个位 ) ？ ( l g 研一研 问题探究、课堂更高效 解 记该糖厂每年制糖产量依次为 a 1 ， a 2 ， a 3 ， ， a n ， . 则依题意可得 a 1 5 ， a na n 1 1. 2( n 2 且 n N * ) ， 从而 a n 5 1. 2 n 1 ，这里 a n 30 ， 故 1. 2 n 1 6 ，即 n 1 l . 2 6 61 0. 77 80. 07 9 9. 85 . 故 n 1 1. 答 从 2021 年开始该糖厂年制糖量开始超过 30 万吨 小结 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项 a 1 ，项数 n 所对应的实际含义 本讲栏目开关 跟踪训练 3 在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是 80 台，并且从第一轮起，以后各轮的第一台计算机都可以感染下一轮的 20 台计算机，到第 5 轮可以感染到多少万台计算机？ 研一研 问题探究、课堂更高效 解 每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为 a 1 80 ，公比为 q 20 的等比数列 则 a 5 a 1 q 4 80 20 4 1 28 0 10 4 1 28 0( 万台 ) 答 到第 5 轮可以感染到 1 2 80 万台计算机 本讲栏目开关 1 已知各项均为正数的等比数列 a n 中， a 3 a 8 a 13 ) 6 ，则a 1 a 15 的值为 ( ) A 100 B 100 C 10 0 00 D 10 0 00 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 a 3 a 8 a 13 ) a 38 6 ， a 38 10 6 a 8 10 2 10 0. 又 a 1 a 15 a 28 10 0 00. C 本讲栏目开关 2 某种产品平均每两年降低价格13，目前售价为 8 100 元，则6 年后此产品的价格为 ( ) A 2 700 元 B 3 600 元 C 4 800 元 D 5 400 元 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 6 年后此产品售价为 8 1 00 (1 13 )2 8 1 00 49 3 6 00 元 B 本讲栏目开关 3 一直角三角形的三边边长成等比数列，则 ( ) A 三边边长之比为 3 4 5 B 三边边长之比为 1 3 3 C 较小锐角正弦值为5 12D 较大锐角正弦值为5 12练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 设三边为 a ， ( q 1) ， 则 ( ) 2 ( 2 a 2 ， q 2 5 12 . 较小锐角记为 ，则 1q 2 5 12 . C 本讲栏目开关 4 在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，则插入的 6 个数的积为 _ _ _ 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解析 设这 8 个数组成的等比数列为 a n ， 则 a 1 1 ， a 8 2. 插入的 6 个数的积为 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ( a 2 a 7 ) ( a 3 a 6 ) ( a 4 a 5 ) ( a 1 a 8 ) 3 2 3 8. 8 本讲栏目开关 1 等
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