【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章课件（打包13套） 新人教A版必修5
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章课件（打包13套） 新人教A版必修5,步步高,学年,高中数学,第二,课件,打包,13,新人,必修
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本讲栏目开关 【学习目标】 1 理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学 模型 2 探索并掌握数列的几种简单表示法 3 能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 【学法指导】 1 在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念 2 类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法 3 由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式 本讲栏目开关 1 按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 ( 通常也叫做 _ 项 ) ，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项， ，排在第 n 位的数称为这个数列的第 项 2 数列的一般形式可以写成 , , 简记为 3 项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做 _ 数列 4 如果数列 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式 填一填 知识要点、记下疑难点 数列 项 首 n 有穷 无穷 通项 本讲栏目开关 探究点一 数列的概念 问题 先看下面的几组例子： (1) 全体自然数按从小到大排成一列数： 0,1,2,3,4 ， ； (2) 正整数 1,2,3,4,5 的倒数排成一列数： 1 ，12，13，14，15； (3) 精确到 1,. 001 ， 的不足近似值排成一列数： 3, ； 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 ( 4) 无穷多个 1 排成一列数： 1,1,1,1,1 ， ； ( 5) 当 n 分别取 1,2,3,4,5 ， 时， ( 1) 1,1 ， 1,1 ， 1 ， . 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义 研一研 问题探究、课堂更高效 答案 按照一定顺序排列的一列数叫做数列数列中的每一个数叫做这个数列的项，依次称为数列的第 1 项 ( 也叫首项 ) ，第 2 项， . 本讲栏目开关 探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 ( 1) 确定性：一个数是或不是某一数列 中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； ( 2) 可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现 ( 即互异性 ) ； ( 3) 有序性：一个数列不仅与构成数列的 “ 数 ” 有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素没有顺序 ( 即无序性 ) ； ( 4) 数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物 本讲栏目开关 探究点二 数列的几种表示方法 问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 数列的一般形式可以写成： a 1 ， a 2 ， a 3 ， ， a n ， . 除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示 本讲栏目开关 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整 ( 1) 数列： 1,3,5,7,9 ， 用公式法表示： a n ； 用列表法表示： 研一研 问题探究、课堂更高效 2 n 1 ， n N * n 1 2 3 4 5 3 5 7 9 本讲栏目开关 用图象法表示为 ( 在下面坐标系中绘出 ) ： 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 ( 2) 数列： 1 ，12，13，14，15， 用公式法表示 ： . 用列表法表示： 用图象法表示为 ( 在下面坐标系中绘出 ) ： 研一研 问题探究、课堂更高效 1n ， n N * n 1 2 3 4 5 a n 1 12131415 本讲栏目开关 探究点三 数列的通项公式 问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 如果数列 a n 的第 n 项 a n 与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做数列 a n 的通项公式和函数不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的表现形式， a n ( 1)n 1可以写成 a n ( 1)n 1，还可以写成a n 1 n 为奇数 ， 1 n 为偶数 究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？ 数列 通项公式 1,1 ， 1,1 ， 1,2,3,4 ， 1,3,5,7 ， 2,4,6,8 ， 1,2,4,8 ， 1,4,9,16 ， 1 ，12，13，14， 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 1) n n 2 n 1 2 n 2 n 1 n 2 1n 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前 5 项与第 2 012 项 ( 1) a n c os n 2； ( 2) b n 11 212 313 4 1n n 1 . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) a 1 c 2 0 ， a 2 c 1 ， a 3 c 32 0 ， a 4 c 2 1 ， a 5 c 2 0 ， a 2 0 1 2 c 2 0 12 2 c 1 0 06 1. 本讲栏目开关 ( 2) b 1 11 2 12 ， b 2 11 2 12 3 1 12 12 13 1 13 23 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 b 3 11 2 12 3 13 4 1 12 12 13 13 14 34 ， 同理 b 4 45 ， b 5 56 ， b 2 0 1 2 2 0122 013 . 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意 n 1,2,3 ， . 如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值 本讲栏目开关 跟踪训练 1 根据下面数列的通项公式，写出它的前 4 项 ( 1) a n 2 n 1 ； ( 2) b n 1 1 研一研 问题探究、课堂更高效 答案 ( 1) a 1 3 ， a 2 5 ， a 3 9 ， a 4 17 ； ( 2) b 1 1 ， b 2 0 ， b 3 1 ， b 4 0. 本讲栏目开关 例 2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： ( 1) 1 ， 3,5 ， 7,9 ， ； ( 2)12， 2 ，92， 8 ，252， ； ( 3) 9,99,999 ,9 999 ， ； ( 4) 0,1,0,1 ， . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9 ， ，是连续的正奇数，考虑 ( 1) n 1 具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为 a n ( 1) n 1 (2 n 1) ， n N * . ( 2) 数列的项，有的是分数， 有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252， ，所以，它的一个通项公式为 a n n N*. 本讲栏目开关 ( 3) 各项加 1 后，变为 1 0,10 0,1 000, 10 000 ， ，此数列的通项公式为 10n，可得原数列的一个通项公式为 a n 10n 1 ，n N*. 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 4) a n 0 n 为奇数 1 n 为偶数 或 a n 1 1 n N*) 或 a n 1 c os n 2( n N*) 小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳 本讲栏目开关 跟踪训练 2 写出下列数列的一个通项公式： ( 1) 212， 414， 618， 8116， ； ( 2) 9 ， ； ( 3) 12，16，112，120， . 研一研 问题探究、课堂更高效 答案 ( 1) a n 2 n 12n ； ( 2) a n 1 ( 3) a n 1 n 1 . 本讲栏目开关 例 3 已知数列 a n 的通项公式 a n 1 n n 1 2 n 1 2 n 1 . ( 1) 写出它的第 10 项； ( 2) 判断233是不是该数列中的项 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) a 10 1 10 1119 21 11399 . ( 2) 令 n 1 2 n 1 2 n 1 233 ，化简得： 8 n 2 33 n 35 0 ， 解得 n 5. 当 n 5 时， a 5 233 233 . 233 不是该数列中的项 小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求 n 的值，若存在正整数 n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项 本讲栏目开关 跟踪训练 3 已知数列 a n 的通项公式为 a n 1n n 2 ( n N * ) ，那么1120是这个数列的第 _ _ 项 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 1n n 2 1120 ， n ( n 2) 10 12 ， n 10. 10 本讲栏目开关 1 下列叙述正确的是 ( ) A 数列 1,3,5,7 与 7,5, 3,1 是相同的数列 B 数列 0,1,2,3 ， 可以表示为 n C 数列 0,1,0,1 ， 是常数列 D 数列 1 是递增数列 练一练 当堂检测、目标达成落实处 D 2 观察下列数列的特点，用适当的一个数填空： 1 ， 3 ， 5 ，7 ， _ ， 11 ， . 3 本讲栏目开关 3 已知下列数列： ( 1) 2 000,2 004,2 00 8,2 012 ； ( 2) 0 ，12，23， ，n 1n， ； ( 3) 1 ，12，14， ，12n 1， ； ( 4) 1 ，23，35， ， 1 n 1 n2 n 1， ； ( 5) 1,0 ， 1 ， ， n 2， ； ( 6) 6,6,6,6,6 ,6. 其中，有穷数列是 _ _ ，无穷数列是 _ _ ，递增数列是 _ ，递减数列是 _ _ ，常数列是_ ，摆动数列是 _ _ ，周期数列是 _ _ ( 将合理的序号填在横线上 ) 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 解析 ( 1 ) 是有穷递增数列； 练一练 当堂检测、目标达成落实处 ( 2) 是无穷递增数列 ( 因为 n 1n 1 1n ) ； ( 3) 是无穷递减数列； ( 4) 是摆动数列，也是无穷数列； ( 5) 是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为 4 ； ( 6) 是常数列，是有穷数列 答案 ( 1 ) ( 6 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 6 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 5 ) 本讲栏目开关 4 写出下列数列的一个通项公式： ( 1) a ， b ， a ， b ， ； ( 2) 1 ，85，157，249， . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 答案 ( 1) a n a ( 1)n 1 a ( 2) a n ( 1) n n 2 2 n2 n 1. 本讲栏目开关 1 与 表示数列 ， ，是数列的一种简记形式而 的第 n 项， 是 “ 个体 ” 与 “ 整体 ” 的从属关系 2 数列的表示方法： 图象法； 列表法； 通项公式法； 递推公式法 3 由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 【学习目标】 1 理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项 2 能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质 【学法指导】 1 数列的递推公式是给出数列的另一重要形式一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项 2 由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质 本讲栏目开关 1 如果数列 a n 的第 1 项或前几项已知，并且数列 a n 的任一项 a n 与它的前一项 a n 1 ( 或前几项 ) 间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式 2 数列可以看作是一个定义域为 ( 或它的有限子集 1,2,3 ， ， n ) 的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 填一填 知识要点、记下疑难点 递推 本讲栏目开关 正整数集 N* 函数值 3 一般地，一个数列 ，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列如果从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列如果数列 的各项都 ，那么这个数列叫做常数列 4 已知数列 满足： 1 ， 1 1 ，则 ，从单调性来看，数列是单调 数列 填一填 知识要点、记下疑难点 第 2项 递增 递减 相等 n 递增 本讲栏目开关 问题情境 公元前 13 世纪意大利数学家斐波那契的名著算盘全书中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有 3 对 兔 子到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有 5 对兔子继续推下去，第 12 个月时最 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 终共有 144 对兔子书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得据载首先是由 19 世纪法国数学家吕卡将级数 a n ： 1,1,2,3,5 ,8,13,21,34 ， ， a n 1 a n a n 1 命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究点一 数列的函数特性 问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识 研一研 问题探究、课堂更高效 答案 数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面： 数列的定义域是正整数集 N 或它的有限子集 1,2,3 ， ， n ； 数列中的项是对应序号 1,2,3 ， 的一列函数值； 数列的图象是一些孤立的点，这些点的横坐标按从小到大依次是 1,2,3 ， . 本讲栏目开关 探究 1 数列的单调性 下面给出了一些数列的图象： 2 n 1 ( 1) 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整一般地，一个数列 ，如果从第 2 项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第 2 项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列 因此，要证明数列 是单调递增数列，只需证明 1 要证明数列 是单调递减数列，只需证明 1 研一研 问题探究、课堂更高效 a n 1 a n a n 1 a n 0 ，即 a n 1 a n . 数列 a n 为递增数列 小结 数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性 本讲栏目开关 跟踪训练 2 已知数列 a n 的通项公式是 a n 1，其中 a 、 么 a n 与 a n 1 的大小关系是 ( ) A a n a n 1 B a n 0 ， 当 n 8 时， 910 n 1 8 0 ， 当 n 9 时， 910 n 1 8 a 10 a 11 a 12 ， 故数列 a n 存在最大项，最大项为 a 8 a 9 9910 8 . 本讲栏目开关 小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项 a n ， n 的值可通过解不等式组a n a n 1a n a n 1来确定；若求最小项 a n ， n 的值可通过解不等式组a n a n 1a n a n 1来确定 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 3 在数列 a n 中， a n n 3 若数列 a n 为递增数列，试确定实数 a 的取值范围 研一研 问题探究、课堂更高效 解 若 a n 为递增数列，则 a n 1 a n 0. 即 ( n 1) 3 a ( n 1) n 3 0 恒成立 即 a 1) ，则图象呈上升趋势，即数列递增，即 递增 1 n ( n N*) 都成立类似地，有 递减 1 n ( n N*) 都成立 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 本讲栏目开关 【学习目标】 1 理解等差数列的意义 2 会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题 3 掌握等差中项的概念，深化认识并能运用 【学法指导】 1 要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词 “ 从第2 项起 ” ， “ 差是一个常数 ” 等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式 2 利用 1 d ( n N ) 可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列 本讲栏目开关 1 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d 表示 2 若三个数 a ， A ， b 构成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的 _ ，并且 A . 3 若等差数列的首项为 差为 d ，则其通项 _ . 4 等差数列 中，若公差 d 0 ，则数列 为 数列；若公差 d 0 ，则数列 为 数列 填一填 知识要点、记下疑难点 等差 公差 等差中项 本讲栏目开关 a (n 1)d 递增 递减 问题情境 1 1682 年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和 1531 年、 1607 年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于 76 年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是 76 年请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间 哈雷彗星的回归时间表 ( 单位：年 ) 1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061 ， . 预测它在本世纪回归的时间是 206 1 年 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 2 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行，此后每 4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数 照算这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？ 这个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 探究点一 等差数列的概念 问题 1 我们先看下面几组数列： ( 1) 3,4,5,6,7 ， ； ( 2) 6,3,0 ， 3 ， 6 ， ； ( 3) . 5 ， ； ( 4) 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， . 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是 _ _ _ _ _ _ 研一研 问题探究、课堂更高效 从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数 本讲栏目开关 问题 2 判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项d ；如果不是，请说明理由： ( 1) 4,7,10,1 3,16 ， ； ( 2) 31,25,19 ,13,7 ， ； ( 3) 0,0,0,0,0 ， ； ( 4) a ， a b ， a 2 b ， ； ( 5) 1,2,5,8,1 1 ， . 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 解 ( 1) 是等差数列， a 1 4 ， d 3 ； 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 2) 是等差数列， a 1 31 ， d 6 ； ( 3) 是等差数列， a 1 0 ， d 0 ； ( 4) 是等差数列， a 1 a ， d b ； ( 5) 不是等差数列， a 2 a 1 1 ， a 3 a 2 3 ， a 2 a 1 a 3 a 2 . 本讲栏目开关 探究 如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解 研一研 问题探究、课堂更高效 答 ( 1) 等差数列 从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，这一点说明一个等差数列至少有 3 项 ( 2) 如果一个数列，不从第 2 项起，而是从第 3 项起或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第 2 项或第 3 项起是一个等差数列 ( 3) 一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列也 不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中 “ 同一个 ” 常数，这个 “ 同一个 ” 十分重要，切记不可丢掉 本讲栏目开关 探究点二 等差数列的通项公式 问题 如果等差数列 a n 的首项是 a 1 ，公差是 d ，你能用两种方法求其通项吗？ 探究 1 根据等差数列的定义： a n 1 a n d ，可以依次得到 a 1 ，a 2 ， a 3 ， a 4 ， ，然后观察规律，归纳概括出通项公式 a n . 研一研 问题探究、课堂更高效 答 a 2 a 1 d ， a 3 a 2 d ， a 4 a 3 d ， . 所以 a 2 a 1 d ， a 3 a 2 d ( a 1 d ) d a 1 2 d ， a 4 a 3 d ( a 1 2 d ) d a 1 3 d ， 由此得出 ： a n a 1 ( n 1) d . 本讲栏目开关 探究 2 由等差数列的定义知： a n a n 1 d ( n 2) ，可以采用叠加法得到通项公式 a n . 研一研 问题探究、课堂更高效 答 a 2 a 1 a 2 a 3 da n a n 1 d( n 1) 个 将以上 ( n 1) 个等式两边分别相加，可得 a n a 1 ( n 1) d ，即 a n a 1 ( n 1) d . 本讲栏目开关 探究点三 等差中项 问题 1 如果三个数 x ， A ， y 组成等差数列，那么 A 叫做 x和 y 的等差中项，试用 x ， y 表示 A . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 x ， A ， y 组成等差数列， A x y A ， 2 A x y ， A x 问题 2 已知 A ， B ， C 是 三个内角，且 B 是 A 、 角 B 的大小 解 A B C ，又 A C 2 B ， 3 B ， B 3 . 本讲栏目开关 探究 若数列 a n 满足： a n 1 a n a n 22 ，求证： a n 是等差 数列 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 a n 1 a n a n 22 2 a n 1 a n a n 2 a n 2 a n 1 a n 1 a n a n 1 a n a n a n 1 a 2 a 1 ( 常数 ) a n 是等差数列 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 已知 a n 为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式 ( 1) a 3 5 ， a 7 13 ； ( 2) 前三项为： a, 2 a 1,3 a . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 设首项为 a 1 ，公差为 d ，则 a 3 a 1 2 d 5 ，a 7 a 1 6 d 13 ， 解得 a 1 1 ，d 2. a n a 1 ( n 1) d 1 ( n 1) 2 2 n 1. 通项公式为 a n 2 n 1. 本讲栏目开关 ( 2) 由等差中项公式得 2 (2 a 1) a (3 a ) ， a 54 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 首项为 a 54 ，公差为 2 a 1 a a 1 54 1 14 ， a n 54 ( n 1) 14 1. 通项公式为 a n 1. 小结 在等差数列 a n 中，首项 a 1 与公差 d 是两个最基本的元素；有关等差数列的 问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关 a 1 、 d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量 本讲栏目开关 跟踪训练 1 若 a n 是等差数列， a 15 8 ， a 60 20 ，求 a 75 . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设 a n 的公差为 d . 由题意知 a 15 a 1 14 d 8 ，a 60 a 1 59 d 20 ，解得a 1 6415 ，d 415 a 75 a 1 74 d 6415 74 415 24. 本讲栏目开关 例 2 已知1a，1b，1证：b ca，a cb，a 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 1a ， 1b ， 1c 成等差数列， 2b 1a 1c ，即 2 b ( a c ) b a c b c a a b c 2 a 2 b a c a 2 c 2 2 2 a c 2b a c 2 a c b . b a a 等差数列 小结 一般地，一个数列至少有三项若 x ， y ， z 成等差数列，则 x z 2 y ，反之亦然此时， y 就是 x 与 z 的等差中项 本讲栏目开关 跟踪训练 2 已知 a ， b ， c 成等差数列，那么 a 2 ( b c ) ， b 2 ( c a ) ， c 2 ( a b ) 是否能构成等差数列？ 研一研 问题探究、课堂更高效 证明 a ， b ， c 成等差数列， a c 2 b . a 2 ( b c ) c 2 ( a b ) a 2 b a 2 c c 2 a c 2 b ( a 2 b c 2 b ) ( a 2 c c 2 a ) b ( a 2 c 2 ) a c ) b ( a 2 c 2 ) 2 b ( a 2 c 2 2 b ( a c ) 2 b ( a c ) ( a c ) 2 b 2 ( a c ) a 2 ( b c ) ， b 2 ( c a ) ， c 2 ( a b ) 能构成等差数列 本讲栏目开关 例 3 梯子的最高一级宽 3 3 最低一级宽 1 1 0 中间还有10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度 研一研 问题探究、课堂更高效 解 用 a n 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得 a 1 33 ， a 12 1 1 0 ， n 12. 由通项公式，得 a 12 a 1 ( 1 2 1) d ，即 1 1 0 33 11 d . 解得 d 7. 因此， a 2 33 7 40 ， a 3 40 7 47 ， a 4 54 ， a 5 61 ，a 6 68 ， a 7 75 ， a 8 82 ， a 9 89 ， a 10 96 ， a 11 1 0 3 . 所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是 4 0 c m ,4 7 5 4 c m ,6 1 6 8 c m ,7 5 8 2 c m ,8 9 9 6 c m , 1 0 3 c m . 小结 在实际问题中，若一组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题 本讲栏目开关 跟踪训练 3 在通常情况下，从地面到 1 0 k m 高空，高度每增加 1 k m ，气温就下降某一个固定数值 . 如果 1 k m 高度的气温是 8 . 5 , 5 k m 高度的气温是 - 1 7 . 5 ，求 2 k m ， 4 k m ， 8 k 研一研 问题探究、课堂更高效 解 用 a n 表示自下而上各高度气温组成的等差数列， 则 a 1 8 . 5 ， a 5 1 7 由 a 5 a 1 4 d 8 . 5 4 d 1 7 . 5 ，解得 d 6 . 5 ， a n 15 6 .5 n . a 2 2 ， a 4 11 ， a 8 37 ， 即 2 k m , 4 k m , 8 k m 高度的气温分别为 2 ， 11 ， 37 . 本讲栏目开关 1 若数列 a n 满足 3 a n 1 3 a n 1 ，则数列是 ( ) A 公差为 1 的等差数列 B 公差为13的等差数列 C 公差为13的等差数列 D 不是等差数列 练一练 当堂检测、目标达成落实处 B 2 若 a b ，则等差数列 a ， x 1 ， x 2 ， b 的公差是 ( ) A b a C 本讲栏目开关 3 在等差数列 a n 中， ( 1 ) 已知 a 1 2 ， d 3 ， n 10 ，则 a n _ _ ； ( 2 ) 已知 a 1 3 ， d 2 ， a n 21 ，则 n _ _ _ ； ( 3 ) 已知 a 1 12 ， a 6 27 ，则 d _ _ ； ( 4 ) 已知 d 13， a 7 8 ，则 a 1 _ _. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 29 10 3 10 本讲栏目开关 4 甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度： 时间 t ( s) 1 2 3 ？ 60 距离 s ( c m ) 9 . 8 1 9 . 6 2 9 . 4 49 ？ ( 1 ) 你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ ( 2 ) 利用建立的模型计算，甲虫 1 m i n 能爬多远？它爬行4 9 c m 需要多长时间？ 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 ( 2 ) 当 t 1 m i n 6 0 s 时， s 9 .8 t 9 60 5 8 8 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解 ( 1 ) 由题目表中数据可知，该数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都是常数 9 . 8 ，所以是一个等差数列模型因为 a 1 9 . 8 ， d 9 . 8 ，所以甲虫的爬行距离 s 与时间 t 的关系是 s 9 . 8 t . 当 s 4 9 c m 时， t 8 499 . 8 5 s. 本讲栏目开关 1 等差数列的判定关键要看 1 n N*) 是否为一个与 于 1 2 1 2 1 2，所以也可以利用 2 1 2( n N*) 来判定等差数列注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论 2 等差数列的通项公式及其变形 ( n 1) d ( n m ) d 的应用极其灵活，公式中的四个量 n ， 分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷 3 数列的应用题在数列中占有很重要的地位 练一练 当堂检测、目标达成落实处 本讲栏目开关 本讲栏目开关 【学习目标】 1 能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质 2 能运用等差数列的性质解决有关问题 【学法指导】 1 灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟 练掌握等差数列的有关性质 2 掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的 角度整体把握等差数列的内涵和本质 本讲栏目开关 1 等差数列的通项公式： a n . 2 等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“ 等距离 ” 的两项之和等于首末两项的和，即： a 1 a n a 2 a k . 填一填 知识要点、记下疑难点 a 1 ( n 1) d a n 1 a n 1 k 本讲栏目开关 3 等差数列的性质 ( 1 ) 若 是等差数列，且 k l m n ( k 、 l 、 m 、 n N*) ，则 . ( 2 ) 若 是等差数列，且公差为 d ，则 a2 n 1 和 a2 n 都是等差数列，且公差为 . ( 3 ) 若 ， 分别是公差为 数列 p 、 q 是常数 ) 是公差为 的等差数列 填一填 知识要点、记下疑难点 a k a l a m a n 2 d 本讲栏目开关 探究点一 等差数列的常用性质 问题 设等差数列 的首项 为 差为 d ，则有下列 性质： ( 1 ) 若 m n p q ( m ， n ， p ， q N*) ， 则 ( 2 ) 若 m n 2 k ( m ， n ， k N*) ， 则 2 请你给出证明 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 证明 ( 1 ) a m a 1 ( m 1) d ， a n a 1 ( n 1) d . 研一研 问题探究、课堂更高效 a m a n 2 a 1 ( m n 2) d . 同理， a p a q 2 a 1 ( p q 2) d ， m n p q ， a m a n a p a q . ( 2 ) a m a n a 1 ( m 1) d a 1 ( n 1) d 2 a 1 ( m n 2) d ， 2 a k 2 a 1 ( k 1) d 2 a 1 (2 k 2) d ， 又 m n 2 k ， a m a n 2 a k . 本讲栏目开关 探究 已知等差数列 、 分别是公差为 d 和 d ，则由 生成的 “ 新数列 ” 具有以下性质，请你补充完整 是等差数列，则 仍成等差数列 ( 首项不一定选 ，公差为 ； 下标成等差数列且公差为 m 的项 m， 2 m， ( k ，m N ) 组成公差为 的等差数列； 数列 b ( ， b 是常数 ) 是公差为 的等差数列； 数列 仍是等差数列，公差为 ； 数列 , 是常数 ) 仍是等差数列 , 公差为 . 研一研 问题探究、课堂更高效 2d 本讲栏目开关 d d d d d 探究点二 等差数列与一次函数的联系 探究 由于等差数列 a n 的通项公式 a n ( a 1 d ) ，与一次函数对比可知，公差 d 本质上是相应直线的斜率如a m ， a n 是等差数列 a n 中的任意两项，由 a n a m ( n m ) d ，可知点 ( n ， a n ) 分布以 为斜率，以 为纵截距的直线上 研一研 问题探究、课堂更高效 d d 本讲栏目开关 请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表 . d 0 a n 为 数列 d 0 为 数列 d 0 a n 为 数列 研一研 问题探究、课堂更高效 递增 常 递减 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 在等差数列 a n 中，已知 a 1 a 4 a 7 39 ， a 2 a 5 a 8 33 ，求 a 3 a 6 a 9 的值 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 a 1 a 4 a 7 ( a 1 a 7 ) a 4 3 a 4 39 ， a 4 13 ， a 2 a 5 a 8 ( a 2 a 8 ) a 5 3 a 5 3 3 . a 5 11 ， d a 5 a 4 2. a 3 a 6 a 9 ( a 3 a 9 ) a 6 2 a 6 a 6 3 a 6 3( a 5 d ) 3 ( 1 1 2) 2 7 . 本讲栏目开关 方法二 a 1 a 4 a 7 a 1 ( a 1 3 d ) ( a 1 6 d ) 3 a 1 9 d 39 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 a 1 3 d 13 ， a 2 a 5 a 8 ( a 1 d ) ( a 1 4 d ) ( a 1 7 d ) 3 a 1 12 d 3 3 . a 1 4 d 11 ， 由 联立 a 1 3 d 13a 1 4 d 11 ， 得 d 2a 1 19 . a 3 a 6 a 9 ( a 1 2 d ) ( a 1 5 d ) ( a 1 8 d ) 3 a 1 15 d 3 19 15 ( 2) 2 7 . 本讲栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列 a n 的性质：若 m n p q 2 w ，则 a m a n a p a q 2 a w ( m ，n ， p ， q ， w 都是正整数 ) ；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想 本讲栏目开关 跟踪训练 1 已知等差数列 a n 中， a 1 a 4 a 7 15 ， a 2 a 4 a 6 45 ，求此数列的通项公式 研一研 问题探究、课堂更高效 解 因为 a 1 a 7 2 a 4 ， a 1 a 4 a 7 3 a 4 15 ， 所以 a 4 5. 又因为 a 2 a 4 a 6 45 ，所以 a 2 a 6 9 ， 即 ( a 4 2 d )( a 4 2 d ) 9 ， (5 2 d )(5 2 d ) 9 ， 解得 d 2 . 若 d 2 ， a n a 4 ( n 4) d 2 n 3 ； 若 d 2 ， a n a 4 ( n 4) d 13 2 n . 本讲栏目开关 例 2 三个数成等差数列，和为 6 ，积为 24 ，求这三个数 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 设等差数列的等差中项为 a ，公差为 d ，则这三个数分别为 a d ， a ， a d ， 依题 意 得， 3 a 6 且 a ( a d )( a d ) 24 ， 所以 a 2 ，代入 a ( a d )( a d ) 24 ， 化简得 d 2 16 ，于是 d 4 ， 故三个数为 2 , 2 , 6 或 6 ,2 ， 2. 本讲栏目开关 方法二 设首项为 a ，公差为 d ，这三个数分别为 a ， a d ， a 2 d ， 研一研 问题探究、课堂更高效 依题 意 得， 3 a 3 d 6 且 a ( a d )( a 2 d ) 24 ， 所以 a 2 d ，代入 a ( a d )( a 2 d ) 24 ， 得 2( 2 d )(2 d ) 2 4, 4 d 2 12 ， 即 d 2 16 ，于是 d 4 ，三个数为 2, 2, 6 或 6 , 2 ， 2. 小结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算一般地有如下规律：当等差数列 a n 的项数 n 为奇数时，可设中间一项为 a ，再用公差为 d 向两边分别设项： a 2 d ， a d ， a ， a d ， a 2 d ， ；当项数为偶数项时，可设中间两项为 a d ， a d ，再以公差为 2 d 向两边分别设项： a 3 d ，a d ， a d ， a 3 d ， ，这样可减少计算量 本讲栏目开关 跟踪训练 2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2 ，首末两数的积为 8 ，求这四个数 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 设这四个数为 a 3 d ， a d ， a d ， a 3 d ( 公差为 2 d ) 依题意， 2 a 2 ，且 ( a 3 d )( a 3 d ) 8 ， 即 a 1 ， a 2 9 d 2 8 ， d 2 1 ， d 1 或 d 1. 又四个数成递增等差数列，所以 d 0 ， d
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