【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章课件（打包13套） 新人教A版必修5
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第二章课件（打包13套） 新人教A版必修5,步步高,学年,高中数学,第二,课件,打包,13,新人,必修
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本讲栏目开关 【学习目标】 1 能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质 2 能运用等差数列的性质解决有关问题 【学法指导】 1 灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟 练掌握等差数列的有关性质 2 掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的 角度整体把握等差数列的内涵和本质 本讲栏目开关 1 等差数列的通项公式： a n . 2 等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“ 等距离 ” 的两项之和等于首末两项的和，即： a 1 a n a 2 a k . 填一填 知识要点、记下疑难点 a 1 ( n 1) d a n 1 a n 1 k 本讲栏目开关 3 等差数列的性质 ( 1 ) 若 是等差数列，且 k l m n ( k 、 l 、 m 、 n N*) ，则 . ( 2 ) 若 是等差数列，且公差为 d ，则 a2 n 1 和 a2 n 都是等差数列，且公差为 . ( 3 ) 若 ， 分别是公差为 数列 p 、 q 是常数 ) 是公差为 的等差数列 填一填 知识要点、记下疑难点 a k a l a m a n 2 d 本讲栏目开关 探究点一 等差数列的常用性质 问题 设等差数列 的首项 为 差为 d ，则有下列 性质： ( 1 ) 若 m n p q ( m ， n ， p ， q N*) ， 则 ( 2 ) 若 m n 2 k ( m ， n ， k N*) ， 则 2 请你给出证明 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 证明 ( 1 ) a m a 1 ( m 1) d ， a n a 1 ( n 1) d . 研一研 问题探究、课堂更高效 a m a n 2 a 1 ( m n 2) d . 同理， a p a q 2 a 1 ( p q 2) d ， m n p q ， a m a n a p a q . ( 2 ) a m a n a 1 ( m 1) d a 1 ( n 1) d 2 a 1 ( m n 2) d ， 2 a k 2 a 1 ( k 1) d 2 a 1 (2 k 2) d ， 又 m n 2 k ， a m a n 2 a k . 本讲栏目开关 探究 已知等差数列 、 分别是公差为 d 和 d ，则由 生成的 “ 新数列 ” 具有以下性质，请你补充完整 是等差数列，则 仍成等差数列 ( 首项不一定选 ，公差为 ； 下标成等差数列且公差为 m 的项 m， 2 m， ( k ，m N ) 组成公差为 的等差数列； 数列 b ( ， b 是常数 ) 是公差为 的等差数列； 数列 仍是等差数列，公差为 ； 数列 , 是常数 ) 仍是等差数列 , 公差为 . 研一研 问题探究、课堂更高效 2d 本讲栏目开关 d d d d d 探究点二 等差数列与一次函数的联系 探究 由于等差数列 a n 的通项公式 a n ( a 1 d ) ，与一次函数对比可知，公差 d 本质上是相应直线的斜率如a m ， a n 是等差数列 a n 中的任意两项，由 a n a m ( n m ) d ，可知点 ( n ， a n ) 分布以 为斜率，以 为纵截距的直线上 研一研 问题探究、课堂更高效 d d 本讲栏目开关 请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表 . d 0 a n 为 数列 d 0 为 数列 d 0 a n 为 数列 研一研 问题探究、课堂更高效 递增 常 递减 本讲栏目开关 【典型例题】 例 1 在等差数列 a n 中，已知 a 1 a 4 a 7 39 ， a 2 a 5 a 8 33 ，求 a 3 a 6 a 9 的值 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 a 1 a 4 a 7 ( a 1 a 7 ) a 4 3 a 4 39 ， a 4 13 ， a 2 a 5 a 8 ( a 2 a 8 ) a 5 3 a 5 3 3 . a 5 11 ， d a 5 a 4 2. a 3 a 6 a 9 ( a 3 a 9 ) a 6 2 a 6 a 6 3 a 6 3( a 5 d ) 3 ( 1 1 2) 2 7 . 本讲栏目开关 方法二 a 1 a 4 a 7 a 1 ( a 1 3 d ) ( a 1 6 d ) 3 a 1 9 d 39 ， 研一研 问题探究、课堂更高效 a 1 3 d 13 ， a 2 a 5 a 8 ( a 1 d ) ( a 1 4 d ) ( a 1 7 d ) 3 a 1 12 d 3 3 . a 1 4 d 11 ， 由 联立 a 1 3 d 13a 1 4 d 11 ， 得 d 2a 1 19 . a 3 a 6 a 9 ( a 1 2 d ) ( a 1 5 d ) ( a 1 8 d ) 3 a 1 15 d 3 19 15 ( 2) 2 7 . 本讲栏目开关 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列 a n 的性质：若 m n p q 2 w ，则 a m a n a p a q 2 a w ( m ，n ， p ， q ， w 都是正整数 ) ；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想 本讲栏目开关 跟踪训练 1 已知等差数列 a n 中， a 1 a 4 a 7 15 ， a 2 a 4 a 6 45 ，求此数列的通项公式 研一研 问题探究、课堂更高效 解 因为 a 1 a 7 2 a 4 ， a 1 a 4 a 7 3 a 4 15 ， 所以 a 4 5. 又因为 a 2 a 4 a 6 45 ，所以 a 2 a 6 9 ， 即 ( a 4 2 d )( a 4 2 d ) 9 ， (5 2 d )(5 2 d ) 9 ， 解得 d 2 . 若 d 2 ， a n a 4 ( n 4) d 2 n 3 ； 若 d 2 ， a n a 4 ( n 4) d 13 2 n . 本讲栏目开关 例 2 三个数成等差数列，和为 6 ，积为 24 ，求这三个数 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 设等差数列的等差中项为 a ，公差为 d ，则这三个数分别为 a d ， a ， a d ， 依题 意 得， 3 a 6 且 a ( a d )( a d ) 24 ， 所以 a 2 ，代入 a ( a d )( a d ) 24 ， 化简得 d 2 16 ，于是 d 4 ， 故三个数为 2 , 2 , 6 或 6 ,2 ， 2. 本讲栏目开关 方法二 设首项为 a ，公差为 d ，这三个数分别为 a ， a d ， a 2 d ， 研一研 问题探究、课堂更高效 依题 意 得， 3 a 3 d 6 且 a ( a d )( a 2 d ) 24 ， 所以 a 2 d ，代入 a ( a d )( a 2 d ) 24 ， 得 2( 2 d )(2 d ) 2 4, 4 d 2 12 ， 即 d 2 16 ，于是 d 4 ，三个数为 2, 2, 6 或 6 , 2 ， 2. 小结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算一般地有如下规律：当等差数列 a n 的项数 n 为奇数时，可设中间一项为 a ，再用公差为 d 向两边分别设项： a 2 d ， a d ， a ， a d ， a 2 d ， ；当项数为偶数项时，可设中间两项为 a d ， a d ，再以公差为 2 d 向两边分别设项： a 3 d ，a d ， a d ， a 3 d ， ，这样可减少计算量 本讲栏目开关 跟踪训练 2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2 ，首末两数的积为 8 ，求这四个数 研一研 问题探究、课堂更高效 解 方法一 设这四个数为 a 3 d ， a d ， a d ， a 3 d ( 公差为 2 d ) 依题意， 2 a 2 ，且 ( a 3 d )( a 3 d ) 8 ， 即 a 1 ， a 2 9 d 2 8 ， d 2 1 ， d 1 或 d 1. 又四个数成递增等差数列，所以 d 0 ， d 1 ，故所求的四个数为 2 , 0, 2, 4. 本讲栏目开关 方法二 设这四个数为 a ， a d ， a 2 d ， a 3 d ( 公差为 d ) ， 研一研 问题探究、课堂更高效 依题意， 2 a 3 d 2 ，且 a ( a 3 d ) 8 ， 把 a 1 32 d 代入 a ( a 3 d ) 8 ， 得 (1 32 d )(1 32 d ) 8 ，即 1 94 d 2 8 ， 化简得 d 2 4 ，所以 d 2 或 2. 又四个数成递增等差数列，所以 d 0 ，所以 d 2 ， a 2. 故所求的四个数为 2 , 0 , 2 , 4 . 本讲栏目开关 例 3 已知数列 a n ，满足 a 1 2 ， a n 1 2 a na n 2. ( 1 ) 数列 1a n 是否为等差数列？说明理由 ( 2 ) 求 a n . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1 ) 数列 1a n 是等差数列，理由如下： a 1 2 ， a n 1 2 a 2， 1 1 a n 22 a n 12 1a n ， 1 1 1a n 12 ， 即 1a n 是首项为 1a 1 12 ，公差为 d 12 的等差数列 ( 2 ) 由上述可知 1a n 1a 1 ( n 1) d a n 2n . 本讲栏目开关 小结 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：a n 1 a n d ( d 为常数 ) ，也可以用 a n 1 a n a n a n 1 ( n 2)进行判断本题属于 “ 生成数列问题 ” ，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式 研一研 问题探究、课堂更高效 本讲栏目开关 跟踪训练 3 正项数列 a n 中， a 1 1 ， a n 1 a n 1 a n a n . ( 1 ) 数列 a n 是否为等差数列？说明理由 ( 2 ) 求 a n . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1 ) a n 1 a n 1 a n a n ， a n 1 a n a n 1 a n ， ( a n 1 a n ) ( a n 1 a n ) a n 1 a n ， a n 1 a n 1 ， a n 是等差数列，公差为 1. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 a n 是等差数列，且 d 1 ， a n a 1 ( n 1) d 1 ( n 1) 1 n ， a n n 2 . 本讲栏目开关 1 等差数列 a n 中， a 4 a 5 15 ， a 7 12 ，则 a 2 等于 ( ) A 3 B 3 D 32 练一练 当堂检测、目标达成落实处 A 2 等差数列 a n 中，已知 a 3 10 ， a 8 20 ，则公差 d _ _ _ _ . 6 本讲栏目开关 3 已知等差数列 a n 中， a 2 a 3 a 10 a 11 36 ，求 a 5 a 8 . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解 a 2 a 3 a 10 a 11 ( a 2 a 11 ) ( a 3 a 10 ) ( a 5 a 8 ) ( a 5 a 8 ) 2( a 5 a 8 ) 36 ， a 5 a 8 1 8 . 本讲栏目开关 4 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为 18 ，平方和为 1 1 6 ，求这三个数 练一练 当堂检测、目标达成落实处 解 设这三个数为 a d ， a ， a d ，由已知得 a d a a d 18 a d 2 a 2 a d 2 1 1 6 由 得 a 6 ，代入 得 d 2 . 该数列是递增数列， d 0 ，即 d 2. 这三个数依次为 4 , 6 , 8 . 本讲栏目开关 1 判断一个数列
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