【创新设计】2013-2014高中数学课件（打包15套）苏教版选修2-2
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创新
立异
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高中数学
课件
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15
苏教版
选修
- 资源描述：
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【创新设计】2013-2014高中数学课件（打包15套）苏教版选修2-2,创新,立异,设计,高中数学,课件,打包,15,苏教版,选修
- 内容简介：
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时变化率 导数 第 1课时 瞬时变化率与导数 【 课标要求 】 1 通过实例理解曲线的割线与切线的关系 2 通过对大量实例的分析 ， 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程 ， 了解导数概念的实际背景 3 理解瞬时变化率与导数间的关系 ， 掌握函数在某点处导数的定义 【 核心扫描 】 1 瞬时变化率的概念和导数的概念 (重点 ) 2 理解函数在某点处的导数 (难点 ) 自学导引 1 逼近法求曲线上一点处的切线斜率 如图，设曲线 C 上一点 P ( x ， f ( x ) ，过点 P 的一条割线交曲线 C 于另一点 Q ( x x ， f ( x x ) ，则割线 斜率为 f x x f x x x x . f x x f x x 当点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，并无限靠近点 P 时，割线 的切线 l ，从而割线的斜率逼近切线 l 的斜率，即当 x 无限趋近于 时，f x x f x ( x ， f ( x )处的 0 切线的斜率 2 瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度 (1) 如果当 t 无限趋近于 时，运动物体位移 s ( t ) 的平均变化率s t s ，那么这个 称为物体在 t 就是位移对于时间的瞬时变化率 (2) 如果当 t 无限趋近于 0 时，运动物体速度的平均变化率v t v ，那么这个 称为物体在 t 就是速度对时间的瞬时变化率 常数 常数 常数 常数 0 3 导数的概念 设函数 y f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上有定义， ( a ， b ) ，若 _ 时，比值 y xf x f ，则称 f ( x ) 在点 x 称该常数 A 为函数 f ( x ) 在点 x 作 f ( 若用符号 “” 表示 “ 无限趋近于 ” ，则 “ 当 x 无限趋近于 0 时，f x f ” 就可以表示为 “ 当 x 0 时，f x f x A ” 0 常数 A 名师点睛 1 平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率 y xf x f x，当 x 趋于 0 时，它所趋于的一个常数就是函数在 即有： x 趋于 0 是指自变量间隔 x 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为 0 ，即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致趋于零的方式，实现用割线斜率 “ 逼近 ” 切线斜率，用平均速度 “ 逼近 ” 瞬时速度一般地，可以用平均变化率 “ 逼近 ” 瞬时变化率 2 平均速度和瞬时速度的关系 平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化情况的 平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值 ， 而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度 ， 当一个时间段趋于 0时的平均速度就是瞬时速度 3 求瞬时变化率 求函数的瞬时变化率是利用平均变化率 “ 逐渐逼近 ” 的方法，求解过程较为繁琐，根据教材概括也可以按以下方法求解： ( 1) 设 x y f ( x ) f ( ； ( 2 ) 求平均变化率 y xf x f x； ( 3) 当 x 趋于 0 时， y 为函数在 题型一 求曲线上某点处的切线斜率 【例 1 】 已知 f ( x ) 13曲线 y f ( x ) 在 x 2 处的切线斜率 思路探索 为求得过点 2 ，83的切线斜率，我们从经过点2 ，83的任意一条割线入手 解 设 P2 ，83， Q2 x ，13 2 x 3，则割线 斜率为： y x13 x x 313x133 x 3 x x 2 x 3 x133 3 x x ( x )2 当 x 无限趋近于 0 时， 而曲线 y f ( x )在点 P2 ，83处的切线斜率为 4. 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当 时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率 【 变式 1】 利用割线逼近切线的方法，分别求曲线 y 2x 0， x 1， x 2处的切线斜率 解 设 P ( x 0 ， f ( x 0 ) 、 Q ( x 0 x ， f ( x 0 x ) ，则割线 斜率 k y x2 x 0 x 2 2 x x 0 4 x 0 2 x . 当 x 无限趋近于 0 时， k 限趋近于 4 x 0 ， 从而曲线 y f ( x ) 在 x 0 ， x 1 ， x 2 处的切线斜率分别为 0 ， 4,8. 思路探索 瞬时速度是平均速度在 t 0时的极限值，为此要求瞬时速度，应先求平均速度 题型二 求瞬时速度 【例 2 】 已知以初速度 v 0 ( v 0 0) 竖直上抛的物体， t 秒时的高度为 h ( t ) v 0 t 12物体在时刻 t 0 处的瞬时速度 解 在 t 的时间内，物体的平均速度为： v s t t 12g t 22 t 2g t ， 当 t 无限趋近于 0 时， v 无限趋近于 即 v 以物体在时刻 求瞬时速度时首先明确求哪个点处的瞬时速度，然后，以此点为一端点取一区间计算该区间的平均速度，当时，平均速度无限趋近于该点处的瞬时速度 【 变式 2】 有一作直线运动的物体，其位移 s 3t 此物体在 t 2时的瞬时速度 解 物体在 t 2 到 t 2 t 时间内，位移的改变量 s 3( 2 t ) (2 t )2 (3 2 22) t ( t )2. 该时间段内的平均速度 v s t 1 t ， t 0 时， s t 1 ， 此物体在 t 2 时的瞬时速度为 1. 题型三 利用定义求导数 【例 3 】 ( 14 分 ) ( 1) 求函数 y x 在 x 1 处的导数； ( 2) 求函数 y 4 x x 0 ( x 0 0) 处的导数 审题指导 按导数的定义求导数的步骤求解，先求 y ，再求 y x ，然后当 x 0 时可求函数在某点处的导数 规范解答 ( 1) y 1 x 1 ， y x1 x 1 x11 x 1， (4 分 ) 从而，当 x 0 时，11 x 112， 所以函数 f ( x ) x 在 x 1 处的导数等于12. (8 分 ) ( 2) y 4 x 2 44 x 2 x x 2 ， y x 42 x 2 ， ( 12 分 ) 从而，当 x 0 时， 42 x 2 8 所以函数 f ( x ) 在 x 0) 处的导数为814 分 ) 【题后反思】 根据导数的定义，求函数 y f ( x ) 在点 ( 1) 求函数的增量 y f ( x ) f ( ； ( 2) 求平均变化率 y xf x f x； ( 3) 得导数，当 x 0 时， y x f ( 关键是要注意在求 y 式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用 【变式 3 】 利用定义求函数 y x 1x 在 x 1 处的导数 解 y ( x x ) 1x xx 1x x x x ， y x 11x x x ， 从而，当 x 0 时， 1 1x x x 1 1 所以函数 f ( x ) 在 x 1 处的导数为 0. 错解 f(x) 误区警示 因错误理解导数定义而出错 【示例】 设 f ( x ) 在 x 处可导，则当 h 无限趋近于 0 时，f x h f x h _ 在导数的定义中，增量 x 形式有多种，但不论 应 y 中也应选择相应的形式这里函数值增量应为 f ( x h ) f ( x h ) ，则自变量增量应为 ( x h ) ( x h ) 2 h ，而不是 h . 故当 h 无限趋近于 0 时，f x h f x h h f ( x ) 正解 2f(x) f x h f x
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