【创新设计】2013-2014高中数学课件（打包15套）苏教版选修2-2
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创新
立异
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高中数学
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15
苏教版
选修
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【创新设计】2013-2014高中数学课件（打包15套）苏教版选修2-2,创新,立异,设计,高中数学,课件,打包,15,苏教版,选修
- 内容简介：
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1 4 导数在实际生活中的应用 【 课标要求 】 1 通过实例 ， 初步学会解决生活中的优化问题 (如求利润最大 、 用料最省 、 效率最高等 )； 2 体会导数的广泛应用性及实际应用价值 【 核心扫描 】 1 掌握由实际问题建立数学模型 ， 并表示为适当的函数关系式 (重点 、 难点 ) 2运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题 (重点 ) 自学导引 1 优化问题 生活中经常遇到求利润最大 、 用料最省 、 效率最高等问题 ， 这些问题通常称为 优化问题 2用导数解决优化问题的基本思路是 3 正确利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系 ， 列出实际问题的数学模型 ， 写出实际问题中变量之间的函数关系 y f(x)； (2)求函数的导数 f(x)， 解方程 f(x) 0； (3)比较函数在区间端点和使 f(x) 0的点的数值的大小 ，最大 (小 )者为最大 (小 )值 (4)写出答案 名师点睛 1解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去 2 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值 、最小值的实际问题 ， 主要有以下几个方面： (1)与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率高值问题 . 题型一 面积、容积最大、最小问题 【 例 1】 在边长为 60 图 )的四角上切去边长相等的正方形 ， 再把它的边沿虚线折起 ，做成一个无盖的方底箱子 ， 箱底的边长是多少时 ， 箱子的容积最大 ？ 最大容积是多少 ？ 思路探索 引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值 解 如 题 图 所示，设箱底边长为 x c m ，则箱高 h 60 m . 箱子容积 V ( x ) 60 x 60) V ( x ) 60 x 32 V ( x ) 0 ， 解得 x 0( 舍去 ) ， x 40. 当 0 x 40时 ， V(x) 0， 当 40 x 60时 ， V(x) 0， 由此可知 x 40是极大值点 ， 且 V(40) 16 000 由题意可知 ， 当 接近 0)或过大 (接近 60)时 ， 箱子容积很小 ， 因此 16 000是最大值 答：当箱底边长为 40 箱子容积最大 ， 最大容积是16000 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： (1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系； (2)列模型：列出实际问题的数学模型； (3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系 y f(x)； (4)利用导数求最值 ， 最后回到实际问题中去 【 变式 1】 已知矩形的两个顶点位于 两个顶点位于抛物线 y 4 这个矩形面积最大时的边长 解 设矩形的边长 2 x ，则 | y 矩形的面积为 S 2 x (4 0 x 2) 即 S 8 x 2 令 S 8 6 0 得 x 23或 x 23( 舍去 ) 当 x 23， S 0 ；当 x 23时 S 0 当 x 23时， S 取最大值 此时 S 最大值 32 39. 题型二 成本最低 (费用最省 )问题 【 例 2】 某地建一座桥 ， 两端的桥墩已建好 ， 这两墩相距 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 ， 一个桥墩的工程费用为 256万元；距离为 2 ) 假设桥墩等距离分布 ， 所有桥墩都视为点 ， 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为 (1)试写出 (2)当 m 640米时 ， 需新建多少个桥墩才能使 思路探索 解题的关键是列出函数关系式，再利用导数求最值 解 ( 1) 设需要新建 n 个桥墩，则 ( n 1) x m ，即 n 1 ， 所以 y f ( x ) 256 n ( n 1) ( 2 x ) x 2561 x ) x 256 m x 2 m 256( 0 x m ) (2) 由 (1) 知， f ( x ) 256 1212m2 512) 令 f ( x ) 0 ，得 512 ，所以 x 64. 当 0 x 64 时， f ( x ) 0 ， f ( x ) 在区间 (0,64 ) 内为减函数 当 64 x 640 时， f ( x ) 0 ， f ( x ) 在区间 (64,6 4 0 内为增函数 所以 f ( x ) 在 x 64 处取得最小值此时， n 1 6 4064 1 9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 解决最值问题时，往往用函数来解决，即转化为求函数的最值求函数的最值时，有两种策略：一是利用基本不等式求最值；二是利用导数求最值 【 变式 2】 工厂需要建一个面积为 512 一边可以利用原有的墙壁 ， 问堆料场的长和宽各为多少时 ， 才能使砌墙所用的材料最省 ？ 解 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短如图所示，设场地一边长为 x m ，则另一边长为512因此新墙总长度 L 2 x 512x( x 0) ， L 2 512 令 L 2 512 0 ，得 x 16 或 x 16. x 0 ， x 16. L 在 (0 ， ) 上只有一个极小值点， 它必是最小值点 x 16 ， 512x 32. 故当堆料场的宽为 16 m ，长为 32 m 时，可使砌墙所用的材料最省 题型三 利润最大问题 【 例 3】 (14分 )某集团为了获得更大的收益 ， 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 ， 每投入广告费 t(百万元 )， 可增加销售额约为 5t(百万元 )(0 t 5) (1)若该公司将当年广告费的投入控制在 3百万元之内 ，则应投入多少广告费 ， 才能使该公司由此获得的收益最大 ？ ( 2) 现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费 x ( 百万元 ) ，可增加的销售额约为133 x ( 百万元 ) 请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大 ( 注：收益销售额投入资金 ) 审题指导 先由题意列出函数关系式，再由导数求最值 规范解答 (1)设投入 t(百万元 )的广告费后增加的收益为f(t)(百万元 )， 则有 f(t) ( 5t) t 4t (t 2)24(00 ； 当 20 ；当 84 q 200 时， L 0 ， 所以当 q 84 时， L 取得最大值 答 产量 q 为 84 时，利润 L 最大 方法技巧 转化与化归思想在优化问题中的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用导数这一工具能够解决的一般数学问题，其解决问题的过程就体现了转化与化归的思想 【 示例 】 如图所示 ， 铁路线上 工厂 处的垂直距离 0 现在要在 ， 从 修一条直线公路 ， 已知铁路运输每吨千米与公路运输每吨千米的运费之比为 3 5， 为了使原料从的运费最省 ， 解题的关键是设出恰当的变量，将运费表示成变量的函数，然后利用导数求出函数的最值 解 设铁路运输每吨千米运费为 3 k ( k 为比例系数 ) ，则公路运输每吨千米运费为 5 k ，设 D 点距离 A 处为 x k m. 则 D 点距 B 处为 ( 100 x ) 设原料从 B 处运到 C 处的运费为y ，则 y 400 k ( 100 x ) 3 k (0 x 100) ， y 5 k 3 k (0 x 100) 令
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