2008年高考数学详细解析[20套](修改版)
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2008年高考数学详细解析[20套](修改版),年高,数学,详细,解析,20,修改
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用心 爱心 专心 绝密使用完毕前 2008 年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据 x1, ,标准参 锥体体积公式 s= 22221 )()()/1 V= 31中 x 为样本平均数 其中 S 为底面积， h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V= S=4 V= 34 中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径 第卷 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 . （ 1）已知函数 y=20)( x )在区间 图像如下： 那么 （ A） 1 （ B） 2 （ C）21(D) 311 【 解析 】 由图像可知函数的周期 T ，故 2 2 ； 选 (2)已知复数 z=1122z (A)2i (B) (C)2 (D).【 解析 】 将 1 22 1 2 12 2 2 21 1 1iz i i i ，选 (3)如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为 （ A）185(B) 43(C) 23(D) 87 用心 爱心 专心 3.【 解析 】 设底边边长为 a ，则由题意知 等腰三角形 的腰为 2a,故 顶角的 余弦值为2 2 24 4 7c o 2 8a a ，故选； (4)设等比数列（ 公比 q=2，前 n 项和为 24(A)2 (B)4 (C) 215(D) 2174 【 解析 】 由于 4141122 , 1 512 a 412115 1522；选； (5)右面的程序框图，如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数 ，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 （ A） cx （ B） xc （ C） cb （ D） bc 5. 【 解析 】 有流程图可知第一个选择框作用是比较 x与 第二个选择框的作用应该是比较 x与 应选； （ 6）已知 0,则使得（ 1- 2 1（ i=1,2,3）都成立的 x 取值范围是 （ A）（ 0，11a ） （ B）（ 0，12a ） （ C）（ 0，31a ） （ D）（ 0，32a ） 6. 【 解析 】 由 211，得： 221 2 1x a x ，即 2 20a x a，解之得 200 ，由于 1 2 3 0a a a ，故120 x a ；选 （ 7）23 02 co s 1 0 （ A） 12（ B） 22（ C） 2 （ D） 327. 【 解析 】 000202 3 c o s 2 03 s i n 7 0 3 c o s 2 0 21 c o s 2 02 c o s 1 0 3 c o s 2 022 ,选； 用心 爱心 专心 （ 8）平面向量 a,b 共线的充要条件是 （ A） a,b 方向相同 （ B） a,b 两向量中至 少有一个为零向量 （ C） R， b= a （ D）存在不全为零的实数 1， 2， 1a+ 2b=0 【 解析 】 若 ,显然符合题意，且存在不全为零的实数12,使得120 ； 若 0a ，则由两向量共线知，存在 0 ，使得 ，即 0 ，符合题意，故选 (9)甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面 （ A） 20 种 （ B） 30 种 （ C） 40 种 （ D） 60 种 9.【 解析 】 根据题意，可先确定三天的位置，再将甲安排在第一天，其余两人安排在另外两天，故不同的方 法共有 3252 20N C A ，故选； （ 10）由直线 x=12,x=2,曲线 1 x 轴所围图形的面积为 （ A） 154（ B） 174（ C） 1D） 20.【 解析 】 所围图形的面积为 212 11l n 2 l n 2 l n 22S d ； 故选； （ 11）已知点 4上，那么点 （ 2， 距离与点 （ A）（ 14， （ B）（ 14， 1） （ C）（ 1， 2） （ D）（ 1， 11.【解析】 将点到 抛物线焦 点距离转化为点到准线距离，容易求得当 x 轴 时 ， P 到点 Q（ 2， 距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小，令 1y ，得 14x，故点为 （ 14， 选 ； （ 12）某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为 （ A） 2 2 （ B） 2 3 （ C） 4 （ D） 2 5 【 解析 】 : 由棱长的两端点和某一端点的射影点可构成一个长方体 ,则 2 2 2 2( 6 ) 2 ( 7 ) ,即228,则 2222a b a b ,得 4 . 用心 爱心 专心 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）已知向量 a=(0, ),b=(4,1,0)， 29 且 0 ，则 . 【 解析 】 ( 0 , 1 , 1 ) ( 4 , 1 , 0 ) ( 4 , 1 , ) ,则 由 2 2 2| | | ( 4 , 1 , ) | 4 ( 1 ) 2 9 ,得 3 . （ 14）设双曲线 2219 16的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则 面积为 . 【 解析 】 容易求得： 3, 4,则 225c a b , A(3,0),F(5,0). 双曲线的渐近线方程是 43 ,则过 F(5,0),且与渐近线 43平行的直线方程是 4 ( 5)3,解方程组221,9 1 64 ( 5 ),3 得 B 17 32( , )5 15. 1 1 3 2 3 2| | | | 22 2 1 5 1 5A F B B y . （ 15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为 3，则这个球的体积为 . 15. 【 解析 】 正六边形周长为，得边长为 12，故其主对角线为，从而球的直径 2 22 3 1 2R 1R 球的体积 43V （ 16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位： 结果如下： 甲品种： 271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352 乙品种： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由 以上数据设计了如下茎叶图 用心 爱心 专心 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ； . 【 解析 】参考答案（）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度； （ ）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中）。 （）甲品种棉花的纤维长度的中位数为 品种棉花的纤维长度的中位数为 （）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（）外，也大致对称，其分布较均匀； 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 已知 一个等差数列，且 ,5. （）求 通项 （）求 n 项和 最大值 . 17 【 解析 】 :（ 1）设 1 ( 1)na a n d ，则 21 1511, 3,4 5 , 2.a a d aa a d d 3 ( 1 ) ( 2 ) ， 52 . (2) 5 2 0 , 52n. 2n . 要使只有使 所以 ,当 2n 时 , m a x 2 1 2( ) 3 1 4 a a . （ 18）（本小题满分 12 分） 如图，已知点 P 在正方体 的对角线 上， 60 . （）求 所成角的大小； （）求 平面 所成角的大小 . 用心 爱心 专心 18 【 解析 】 :如图 ,以 则 ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 )D A C C. 连结 , D ,延长 H. 设 ( , , 1 ) ( 0 )D H m m m,由已知 , 6 0D H D A , 由 | | | | c o s ,D H D A D H D A D H D A 可得 22 2 12m. 所以 22( , , 1 )22. (I)因为220 0 1 12,212c o s D H C C , 所以 , 4 5D H C C . 即 成的角为 45 . (面 一个法向量是 (0,1, 0) . 因为 220 1 1 0 1, 212c o s D H D C , 所以 , 6 0D H D C . 可得 成的角为 30 . 用心 爱心 专心 （ 19）（本小题满分 12 分） A， B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 2 的分布列分别为 10 P )在 A、 B 两个项目上各投资 100 万元， 2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 （）将 x(0 x 100)万元投资 A 项目， 100元投资 B 项目， f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得到利润的方差的和 .求 f(x)的最小值，并指出 x 为何值时， f(x)取到最小值 . （注： D( b)= 19 【 解析 】 : (I)由题设可知 , 2的分布 列分别为 E 0 , D 5 10 , 2 , D 2 8 12 2. (2100( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0x D Y D Y2212100( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0 D Y2224 3 (1 0 0 ) 100 2224 ( 4 6 0 0 3 1 0 0 )100 当 600 7524x 时， ( ) 3为 最小值 . (20)（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 ，椭圆 222=1（ a b 0）的左、右焦点分别为 2:x 的焦点，点 M 为 2 在第一象限的交点，且 =35. ( )求 方程 ； （）平面上的点 N 满足 21 ，直线 l 与 于 A、 B 两点，若=0，求直线 l 的方程 . 20. 【 解析 】 : (I)由 2 4知 1,0). 8 12 P 1 5 10 P 2 2 8 12 P 用心 爱心 专心 设 , ) 在 ,因为2 5|3所以1 51 3x ,得112 2 6,33. M 在 ,且椭圆 半焦距 1c ,于是 2222481,1,消去 2b 并整理得 429 3 7 4 0 , 解得 12(3不合题意 ,舍去 ) 故椭圆 方程是 22143. (12M N M F M F知四边形12其中心为原点 O, 因为 l 以 故 l 的斜率263 623k . 故 直线 l 的方程为 6 ( )y x m. 由 223 4 1 2 ,6 ( ),x m 消去 y 并化简得 229 1 6 8 4 0x m x m , 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y, 21 2 1 21 6 8 4,99x x x . 因为 所以1 2 1 2 0x x y y, 1 2 1 2 1 2 1 26 ( ) ( )x x y y x x x m x m 21 2 1 27 6 ( ) 6x x m x x m 2 228 4 1 6 17 6 6 ( 1 4 2 8 ) 09 9 9mm m m m . 所以 2m . 此时 , 22(1 6 ) 4 9 ( 8 4 ) 0 , 故所求直线 l 的方程为 6 2 3,或 6 2 3. （ 21）（本小题满分 12 分） 用心 爱心 专心 设函数 f(x)=ax+(a,b Z)，曲线 y=f(x)在点（ 2， f(2)）处的切线方程为 y=3. （）求 f(x)的解析式： （）证明：函数 y=f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （）证明：曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值 . 21 【 解析 】 :（）21() ()f x a ， 于是212 3 ,21 0.() 解得 1,1,或9 , 因 ,a b Z ，故 1()1f x x x (明：已知函数121,y x y x都是奇函数， 所以函数 1()g x 也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。 而函数 1( ) 1 11f x x x 。 可知，函数 ()图像按向量 a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数 ()y f x 的图像是以点（ 1，1）为中心的中心对称图形。 （ 明：在曲线上任一点00 01( , )1xx x . 由 0 201()1 ( 1 )fx x 知 ,过此点的切线方程为 200 02001 1 1 ( )1 ( 1 )x . 令 1x 得0011xy x ,切线与直线 1x 交点为 001(1, )1 . 令 得021,切线与直线 交点为00( 2 1, 2 1). 直线 1x 与直线 的交点为 (1,1). 从而所围三角形的面积为0 000011 1 2| 1 | | 2 1 1 | | 1 | | 2 2 | 22 1 2 1x . 用心 爱心 专心 所以 , 所围三角形的面积为定值 2. 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、（本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图，过圆 O 外 一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 作直线 直直线 足为 P。 （ 1）证明： （ 2） N 为线段 一点，直线 直直线 交 圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交直线 K。 证明： 90。 22 【 解析 】 (I)证明 :因为 的切线 ,所以 M . 又因为 M ,在 中 ,由射影定理知 , 2O A O M O P. (明 :因为 的切线 ,
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