数学建模：高考志愿选取的层次分析

高考志愿选取的层次分析 班级：数学（2）班 学号：1207022013 姓名：刘燕 正文 摘要：本文在提取大量数据的基础上，在综合考虑每年的各高校的录取分 数线及平均分，运用概率统计和模糊数学的方法，将学校往年的录取分和 考生的原始分转化为标准分，以排除每年考试的难易程度带来分数波动的 影响。另外，运用层次分析法将各种因素纳入考虑算出权重。最后计算被 录取的概率。最后，根据我们的研究分析，对考生填报志愿给出建议。 关键词：高考志愿 概率统计 模糊数学 层次分析 标准分 权重 1 问题的提出： 高中毕业生在选报高考志愿时，通常要考虑到该学校的声誉、教学、 科研及环境条件，同时又要结合本人的兴趣，考试成绩和毕业后的出路等 因素，在每一因素中又有干扰子因素的情况下，做出最佳选择。 2 模型的假设 首先，我们确定目标为：填报高考志愿（A） ，这里考虑的主要因素 有：学校声誉（B 1） 、教学水平（B 2） 、学校环境（B 3） 、兴趣爱好（B 4） 、报 考风险（B 5） 、毕业后出路（B 6） 、地理位置（B 7） ，同时在教学水平（B2） 中我们还要同时考虑教师水平（C1） 、学生水平（C2） 、教学设备（C3）这 三个子因素。最后我们将从学生提出的四个志愿中，做出决策。 为了形象地表示出它们的关系，我们列出了它们之间的关系，如图 填 报 高 考 志 愿 A 学校 声誉 教学 水平约 束 层 1 目 标 层 约 束 层 2 方 案 层 学校 环境 兴趣 爱好 报考 风险 毕业 后出 路 地理 位置 学 校 D1 学 校 D2 学 校 D3 学 校 D4 教师 水平 学生 水平 教学 设备 C1 C2 C3 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 3 建立模型 （一）构造成对比较阵 面临的决策问题是：要比较 n 个因素 x1，x 2，x n，对目标 A 的影响， 我们要确定它们在 A 中所占的比重，即这 n 个因素对目标 A 的相对重要性。 我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。 设有因素 x1，x 2，x n每次取两个因素 xi xj，用正数 aij表示 xi与 xj 的重要性之比。由全部比较结果得到矩阵 A=（a ij） ，称作成对比较阵 A。nmnnaa,212,112 显然有 。njiijij ,10, 然后求出成对比较矩阵 A 的最大特征值及其对应的特征向量 Y=(y1,y2,yn)T， 定义标准化向量 。 Tninii YY112, 用标准化向量 Y来反应 这 n 个因素对目标 A 的相对nxx,21 重要性，Y为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性 的排序权值。 （二）权向量 对于已知的成对比较阵 A 来说，有 AY= 。由矩阵运算法则可知：Ymax 当 n 较大时，精确地计算成对比较 A=（a ij）的最大特征值 和特征向量max 比较麻烦，而又由于 A 中的元素 aij是重要性的比值，而重要性是人们根 据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出 和特征向量。因此，可以采用下述方法来近似计算 和相应的特征向max max 量。 对成对比较阵 A=（a ij） ，令 （*）),2,1(1nkaUnijijjk 称 U=（U 1，U 2，U n） T为 X=x1，x 2，x n的权向量，它反映 n 个因素对目标 A 的相对重要性。经验证，U 与 Y误差很小，所以一般都 用 U 代替 Y。 对于公式（*） ， 对于一致性矩阵， 即满足 aijajk=aik,iijyxa Uk可以简化为 ,111niknjinjkkxU 则 .),21(,112 nixxUTninii Xi代表第 i 项因素的重要性指标。 4 模型的求解 下面将调查两名学生（A 1，A 2） ，根据他们所提供的情况，建立一致性 矩阵，帮助他们填报志愿。 设七种因素学校声誉、教学水平、学校环境、兴趣爱好、报考风险、 毕业后出路、地理位置分别为 B1，B 2，B 7。 在七种因素教学水平中设有三个子因素教师水平 C1、学生水平 C2、教 学设备 C3。学生所要报考的八个志愿分别为 K1，K 2，K 8。 同时，设重要性指标为 110，其中 10 为最重要的，1 为最不重要的。 （一）考查学生 A1（目标 A1） (1)考虑 B=B1，B 2，B 7这七个因素对目标 A1的相对重要性。 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 目标 10 9 5 7 10 10 2 A1 U（x）=（0.189,0.170,0.094,0.132,0.189,0.189,0.037） T。 (2)考虑 C=C1，C 2，C 3这三个因素对目标 A1的相对重要性。 C1 C2 C3 目标 A1 8 9 6 U（y）=(0.348,0.391,0.261) T。 经调查学生 A1所要选报的八个志愿为：北大国际金融、北大临床医学、 北大生化、清华建筑、南开机电、北京体院、复旦物理、清华数学，分别 设这八个志愿为 K1，K 2，K 8。 (3)考虑对于因素 C1，C 2，C 3，比较 K1，K 2，K 8的相对差异。 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 因素 C1 10 10 10 10 10 9 10 10 因素 C2 10 10 10 10 9 6 8 10 因素 C3 9 9 10 10 9 9 9 9 Wc1（K）=（0.127,.0.127,0.127,0.127,0.127,0.111,0.127,0.127） T, Wc2(K)=(0.137,0.137,0.137,0.137,0.123,0.082.,0.110,0.137)T, Wc3(K)=(0.122,0.122,0.134,0.134,0.122,0.122,0.122,0.122)T。 (4)考虑对于因素 B1，B 3，B 4，B 7，比较 K1，K 2，K 8的相对差异。 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 因素 B1 10 9 10 10 9 6 9 10 因素 B3 10 10 10 10 10 9 9 10 因素 B4 10 9 7 5 4 7 7 3 因素 B5 1 2 1 7 8 10 10 6 因素 B6 10 10 10 10 7 5 7 7 因素 B7 10 10 10 10 9 10 8 10 WB1(K)=(0.137,0.123,0.137,0.137,0.123,0.083,0.123,0.137)T, WB3(K)=(0.128,0.128,0.128,0.128,0.128,0.116,0.116,0.128)T, WB4(K)=(0.192,0.173,0.135,0.096,0.077,0.135,0.135,0.057)T, WB5(K)=(0.022,0.044,0.022,0.156,0.178,0.222,0.222,0.134)T, WB6(K)=(0.152,0.152,0.152,0.152,0.106,0.074,0.106,0.106)T, WB7(K)=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.116,0.130,0.104,0.130)T 最后再计算学生 A1所选报的八个志愿的得分： WA1(K1)=U(x1)WB1(K1)+ 0.1890.137+0.09 73 3121 )()()()(j i iCiBjj KWyUxKWxU 40.128+0.1320.192+0.1890.022+0.1890.152+0.0370.130+0.170(0.3480.127+0.39 10.137+0.2610.122)=0.123 12. WA1(K2)=0.122 13，W A1(K3)=0.116 18，W A1(K4)=0.136 36， WA1(K5)=0.124 67，W A1(K6)=0.122 99，W A1(K7)=0.138 06， WA1(K8)=0.117 72 很显然，得分排在前四位的志愿为 K7，K 4，K 5，K 1，也就是说复旦物 理、清华建筑、南开机电、北大国际金融这四个志愿最适合 A1 报考。 5 模型的改进与推广 （1）通过上面的分析与计算，我们已经将填报高考志愿这一问题，由 不定性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为该学 生选择了四所最有希望考上的学校。但这只是在理想状况下的结果，有很 多问题还需要我们在填报志愿时进行考虑和分析。例如在填报志愿时所报 考的学校一定要拉开档次，这样即使第一志愿学校没被录取上，在档次相 差较大的第二志愿会有更大希望被录取。我们前面所做出的模型，只是将 学生所选择的八个学校定量地排了个名次，所以学生在填报志愿时不能将 得分前四名的学校全填在最前面，最终具体如何报考还要看学生当时的实 际情况和侧重点。 （2）在前面的数学模型中，我并没有直接访问高三学生每两个因素之 间的重要性之比（即 aij） ，而是分别问了他们心目中的每个因素的重要性 指标，然后再用 做出矩阵。这样做是因为直接询问高三学生每两个因素jix 之间的重要性之比比较困难（人们很难马上将两个关联不大的因素用定量 化的数字之比表示出他们之间的重要性，而用数字分别表示每个因素的重 要性比较容易） 。 如果我们直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即 aij） ， 而将其所构成的成对比较阵就可能会出现一致性问题。 下面简要说一下关于一致性问题的解决方法。 对于成对比较阵 A 来说，其中的关系应满足 这,1nkjiaikji 样的成对比较阵 A 为一致矩阵。 而由于人的思维活动的原因，人们用 构成的成对比较阵 A 往往不是ija 一致矩阵，即 ,所以在分析 X=x 1,x2,xn对目标 A 的影响时，ikjia 必须对 A 进行一致性检验。 因为 n 阶成对比较阵 A 是一致矩阵，当且仅当 A 的最大特征值 ，所以若 A 不具有一致性，则 。于是我们引入一致性指标max nmax 。1)(axnCI 将 CI 作为衡量成对比较阵 A 不致程度的标准，当 稍大于 n 时，)(maxA 称 A 具有满意的一致性。 此外，用这样的方法定义一致性是不严格的，还要给出量度。令这里 RI 为平均随机一致性指标（查表可得） ，CR 称为随机一致性比率，可以用 CR 代替 CI 作为一致性检验的临界值。当 CR0.1 时，就认为 A 有满意的 一致性，否则就必须重新调整成对比较阵 A，直到达到满意的一致性为止。 （3）关于报考风险。对于因素 B5