2013年全国各地高考数学试题分类汇编（打包16套）
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2013年全国各地高考数学试题分类汇编（打包16套）,全国各地,高考,数学试题,分类,汇编,打包,16
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1 2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编 9：圆锥曲线 一、选择题 1 （ 2013 年高考湖北卷（文） 已知 04,则双曲线1C: 221s in c o 与2C: 221c o s s 的（ ） A实轴长相等 B虚轴 长相等 C离心率相等 D焦距相等 【答案】 D 2 （ 2013年高考四川卷（文） 从椭圆 22 1 ( 0 )xy 上一点 P 向 x 轴作垂线 ,垂足恰为左焦点1F,x 轴正半轴的交点 ,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点 ,且 /P (O 是坐标原点 ),则该椭圆的离心率是 （ ） A 24B 12C 22D 32【答案】 C 3 （ 2013年高考课标 卷（文） 设抛物线 C:,直线 且与 , 若 |3|则 （ ） A y=y= B y= ( y=- (C y= ( y=- (D y= ( y=- (【答案】 C 4 （ 2013 年高考课标 卷（文） 4 2C y x的焦点 , 若| | 4 2则面积为 （ ） A 2 B22C23D 4 【答案】 C 5 （ 2013 年高考课标 卷（文） 已知双曲线2222:1( 0, 0)的离心率为52,则（ ） A14B13C12D【答案】 C 6 （ 2013年高考福建卷（文） 双曲线122 （ ） 2 A21B22C 1 D2【答案】 B 7 （ 2013 年高考广东卷（文）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 (1,0)F ,离心率等于21,则 C 的方程是（ ） A 14322 B 13422 C 12422 D 13422 【答案】 D 8 （ 2013年高考四川卷（文） 抛物线 2 8的焦点到直线 30的距离是 （ ） A 23 B 2 C 3 D 1 【答案】 D 9 （ 2013年高考课标 卷（文） 设椭圆 22: 1 ( 0 )a 的左、右焦点分别为12,F F 上的点2 1 2 1 2, 3 0P F F F P F F ,则 C 的离心率为 （ ） A B C D 【答案】 D 10 （ 2013 年 高 考 大 纲 卷 （ 文 ） ） 已知 1 2 21, 0 , 1, 0 ,F F C F x 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 过 且 垂 直 于 轴 的 直 线 交 于两 点 ， 且 3， 则C 的方程为 （ ） A 2 2 12x yB 22132C 22143D 22154【答案】 C 11 （ 2013 年 高 考 辽 宁 卷 （ 文 ） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的 左 焦 点 为F , 过 原 点 的 直 线 相 交 于,连接了 ,F ,若 41 0 , 8 , c o s A B B F ,则C 的离心率为 （ ） A 35B 57C 45D 67【答案】 B 12（ 2013年高考重庆卷（文）设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 060 的直线111 1 2 2A B A B,其中1A、1 的交点 ,则该双 3 曲线的离心率的取值范围是 ） A 23( ,23B 23 ,2)3C 23( , )3 D 23 , )3 【答案】 A 13（ 2013年高考大纲卷（文） 已知抛物线 2:8C y x 与点 2,2M ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 ,若 0B ,则 k （ ） A 12B 22C 2 D 2 【答案】 D 14（ 2013年 高考北京卷（文） 双曲线22 1的离心率大于2的充分必要条件是 （ ） A12mB1mC1mD2m【答案】 C 15（ 2013 年上海高考数学试题（文科） 记椭圆 2214 4 1x 围成的区域 (含边界 )为 1, 2,n n,当点 ,别在12,上时 ,的最大值分别是12, （ ） A 0 B41C 2 D 22 【答案】 D 16（ 2013年高考安徽（文） 直线2 5 5 0 被圆22 2 4 0x y x y 截得的弦长为 （ ） A 1 B 2 C 4 D46【答案】 C 17（ 2013 年高考江西卷（文） 已知点 A(2,0),抛物线 C:y 的焦点为 F,射线 抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则 | （ ） A 2: B 1:2 C 1: D 1:3 【答案】 C 18（ 2013 年高考山东卷（文）抛物线)0(21: 21 2 :13的右焦点的连线交 1,若 1处的切线平行于 2则p= （ ） A163B83C332D334 4 【答案】 D 19（ 2013年高考浙江卷（文） 如图 1:与双曲线 （ ） A 四象限的公共点 ,若四边形 则 （ ） A 2 B 3 C 32 D62 【答案】 D 二、填空题 20（ 2013年高考湖南（文）设 2是双曲线 C,22221(a0,b0)的两个焦点 上存在一点 F 2,且 0, 则 C 的离心率为 _13_. 【答案】1321（ 2013年高考陕西卷（文） 双曲线 22116 9的离心率为 _. 【答案】45 22（ 2013 年高考辽宁卷（文） 已知 F 为 双曲线 22:19 1 6的左 焦点 , , 上的点 ,若 长等于虚轴长的 2倍 ,点 5,0A 在线段 ,则 的周长为 _. 【答案】 44 23（ 2013 年上海高考数学试题（文科） 设 椭圆 的长轴 ,点 C 在 上 ,且 4, 2,则 的两个焦点之间的距离为 _. 【答案】 46324（ 2013年高考北京卷（文） 若抛物线 2 2y 的焦点坐标为 (1,0)则 p =_;准线方程为 _. 【答案】 2, 1x （第 9 题图） 5 25（ 2013年高考福建卷（文） 椭圆)0(1: 2222 焦点分别为 21,3与 椭圆 的一个交点 2212 ,则该椭圆的离心率等于 _ 【答案】1326（ 2013 年高考天津卷（文）已知抛物线2 8y x的准线过双曲线2222 1( 0 , 0)xy 的一个 焦点 , 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为 _. 【答案】22 13三、解答题 27（ 2013年高考浙江卷（文） 已知抛物线 (0,0),焦点 F(0,1) () 求抛物线 () 过点 于 若直线 l:y= 求 |最小值 . 【答案】 解 :() 由已知可得抛物线的方程为 : 2 2 ( 0 )x p y p,且 122p p ,所以抛物线方程是 : 2 4; () 设 221212( , ) , ( , )44x B x,所以 12,44A O B 所以 方程是 : 14, 由 118442 ,同理由 228442 6 所以 2 121 2 1 2 1 288| | 1 1 | | 2 | | 8 2 | |4 4 1 6 4 ( ) x xx x x x x x 设 :1A B y ,由 1222 121 44 4 044y k x x x kx k , 且 221 2 1 2 1 2| | ( ) 4 4 1x x x x x x k ,代入 得到 : 224 1 1| | 8 2 | | 8 21 6 1 6 4 | 4 3 | , 设 34 3 04tk t k , 当 0t 时 222 5 6 2 5 6| | 8 2 2 2 1 2 24 ,所以此时 |最小值是 22; 当 0t 时 , 2 222 5 6 2 5 6 5 3 1 6 4 8 2| | 8 2 2 2 1 2 2 ( ) 2 24 5 2 5 5 5t ,所以此时 |最小值是 825,此时 253t , 43k; 综上所述 :|最小值是 825; 28（ 2013 年高考山东卷（文）在平面直角坐标系已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在短轴长为 2,离心率为22(I)求椭圆 (,上满足面积为64的任意两点 , 射线 与点 P,设OP 求实数 【答案】 7 将 代入椭圆方程 22 12,得 29（ 2013年高考广东卷（文）已知抛物线 C 的顶点为原点 ,其焦点 0, 0F c c 到直线 : 2 0l x y 的距离为 为直线 l 上的点 ,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 ,其中 , (1) 求抛物线 C 的方程 ; (2) 当点 00,P x l 上的定点时 ,求直线 方程 ; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时 ,求 F 的最小值 . 8 【答案】 (1)依题意 02 3222,解得 1c (负根舍去 ) 抛物线 C 的方程为 2 4; (2)设点11( , )A x y,22( , )B x y, ),(00 由 2 4,即 214得 y 12x. 抛物线 C 在点 A 处的切线 方程为 )(2 111 , 即 2111 212 . 211 41 , 112 . 点 ),(00 1010 2 . 同理 , 2020 2 . 综合 、 得 ,点1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 00 2. 经过1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 直线 的 方程为 00 2,即002 2 0x x y y ; (3)由抛物线的定义可知121, 1A F y B F y , 所以 1 2 1 2 1 21 1 1A F B F y y y y y y 联立 20042 2 0x y y ,消去 x 得 2 2 20 0 020y y x y y , 221 2 0 0 1 2 02,y y x y y y y 0020 22 2 20 0 0 0 0 02 1 = 2 2 1A F B F y y x y y y 9 220 0 0 19= 2 2 + 5 = 2 +22y y y 当0 12y 时 , F 取得最小值为 9230（ 2013年上海高考数学试题（文科）本题共有 3个小题 小题满分 3分 ,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 9分 . 如图 ,已知双曲线1C: 2 2 12x y,曲线2C:| | | | 1平面内一点 ,若存在过点 P 的直线与1C、2则称 P 为 “1C 2 ”. (1)在正确证明11C 2 时 ,要使用一条过该焦点的直线 ,试写出一条这样的直线的 方程 (不要求验证 ); (2)设直线 y 与2求证 | | 1k ,进 而证明原点不是 “1C 2 (3) 求证 : 圆 2212内 的 点 都 不 是“1C 2. 【答案】 10 31（ 2013年高考福建卷（文） 如图 ,在抛物线2:4E y x的焦点为 F,准线上 ,以设圆N. (1)若点 的纵坐标为 2,求(2)若2M ,求圆 【答案】 解 :() 抛物线2 4准线, 由点,得点,2)所以 点 到准线又| | 5 所以22| | 2 | | 2 5 4 2M N CO d . () 设200, )4圆 20000( ) ( )4 16y y y , 即22200202yx x y y y . 由1x,得22 002 1 02yy y y 设 1( 1, ) 2, ) : 22200020124 4( 1 ) 2 4 0212 由2| | | | | |M ,得 12| | 4以20 142y ,解得0 6y ,此时0所以圆心, 6)2或3( , 6)2从而2 33|432圆 2013年高考北京卷（文）直线y kx m(0m)W:2 2 14x y相交于 A, 11 (1)当点 ,1),且四边形求 (2)当点 在顶点时 ,证明四边形 【答案】 解 :(I)因为四边形 所以 所以可设 1( , )2入椭圆方程得 2 1 144t ,即 3t . 所以 |23. (设四边形 因为点 的顶点 ,且 B, 所以 0k . 由 2244kx m ,消去 y 并整理得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k m x m . 设 1()2, 2() 12242 1 4xx , 1 2 1 222 2 1 4y y x x k . 所以 中点为 M(2414 ,214). 因为 C 和 且 0m , 0k ,所以直线 斜率为 14k. 因为 1( ) 14k k ,所以 所以 与假设矛盾 . 所以当点 的顶点 时 ,四边形 33（ 2013年高考课标 卷（文） 已知圆22: ( 1) 1M x y ,圆: ( ) 9N x y,动圆 外切并且与圆圆心 () 求 ()圆 于 A, 当圆 求|请考生在第 (22)、 (23)、 (24)三题中任选一题作答 只能做所选定的题目 则按所做的第一个题目计分 ,作答时请用 2方框涂黑 . 【答案】 解 :由已知得圆 (),半径1 1r;圆 (1,0),半径2 3r . 设知 (x,y),半径为 R. (I) 因为圆 外切并且与圆 所以 1 2 1 2( ) ( ) 4P M P N R r r R r r . 有椭圆的定义可 知 ,曲线 ,右焦点 ,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆 (左定点除外 ),其方程为 22 1 ( 2 )43xy x . (对于曲线 C 上任意一点 ( , )Px y ,由于 2 2 2P M P N R ,所以 R 2,当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0)时 ,R=2,所以当圆 其方程为 22( 2 ) 4 ; 12 若 0, 则 l 与 可得 23. 若 0, 则1 设 l与 , 则1QM r,可求得 Q(),所以可设 l:y=k(x+4).由 相切得23 11, 解得 k= 24. 当 k= 24时 ,将 y= 24x+ 2 代入 22143,并整理得 27 8 8 0 , 解得 21 , 2 2 14 6 2 1 8. = 1 + B x x 所 以. 当 k= 2 1 8=47 时 ， 有 图 形 的 对 称 性 可 知. 综上 , = 2 3 187 34（ 2013年高考陕西卷（文） 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2倍 . () 求动点 的方程 ; ( ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 , 若 B 的中点 , 求直线 【答案】解 : () 点 M(x,y)到直线 x=4的距离 ,是到点 N(1,0)的距离的 2倍 ,则 134)1(2|4| 2222 所以 ,动点 椭圆 ,方程为 13422 ( ) P(0, 3), 设 21212211 3202),(B),(A ，由题知： 椭圆 ),3-,0()3,0( 和的上下顶点坐标分别是 经检验直线 m 不经过这 2 点 ,即直线 m 斜率 k 存在 . 3: 程为设直线 整理得 : 22122122 4324,43 2402424)43 （ 232924)43()24(252)(2212221212211221 kk 所以 ,直线 k 13 35（ 2013年高考大纲卷（文） 已知双曲线 2212: 1 0 , 0a b F 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ，离心率为 3， 直线 2 6 与 的 两 个 交 点 间 的 距 离 为 (I)求 ,;(F l C A 的 直 线 与 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 、 两 点 ， 且11,F证明 :22A F A B B F、 、成等比数列 【答案】 () 由题设知 3即 222 9 ,故 228. 所以 2 288x y a . 将 y=2代入上式 ,求得 , 2 12 . 由题设知 , 2 1262a ,解得 , 2 1a . 所以 1, 2 2 . () 由 () 知 ,1( 3,0)F ,2(3,0)F,288. 由题意可设 l 的方程为 ( 3)y k x,| | 2 2k ,代入 并化简得 , 2 2 2 2( 8 ) 6 9 8 0k x k x k . 设11( , )A x y,22( , )B x y,则 1 1x ,2 1x , 212 26 8k , 212 2988k . 于是 2 2 2 21 1 1 1 1 1| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 ( 3 1 )A F x y x x x , 2 2 2 21 2 2 2 2 2| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 3 1B F x y x x x 由11| | | |F得 ,12( 3 1 ) 3 1 ,即1223 . 故 226283 ,解得 2 45k ,从而12 199 . 由于 2 2 2 22 1 1 1 1 1| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 1 3A F x y x x x , 14 2 2 2 22 2 2 2 2 2| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 3 1B F x y x x x , 故2 2 1 2| | | | | | 2 3 ( ) 4A B A F B F x x , 2 2 1 2 1 2| | | | 3 ( ) 9 - 1 1 6A F B F x x x x . 因而 222| | | | | A B |A F B F,所以2|2| 36（ 2013 年高考天津卷（文）设椭圆2222 1( 0)xy 的左焦点为 F, 离心率为33, 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. ( ) 求椭圆的方程 ; ( ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆 交于 C, D 两点 . 若 8C D , 求 【答案】 37（ 2013年高考辽宁卷（文） 如图 ,抛物线 2212: 4 , : 2 0C x y C x p y p ,点 00,M x 过 M 作1切点为 , 为原点 O 时 , , )0 12x ,切线 斜率为 15 12- . (I)求 p 的值 ; ( M 在2求线段 点 N 的轨迹方程 . , , O 于 时 中 点 为 【答案】 16 38（ 2013年高考课标 卷（文） 在平面直角坐标系 己知圆 P在 ,在 段长为 2 . () 求圆心 () 若 y=求圆 【答案】 39（ 2013年高考湖北卷（文） 如图 ,已知椭圆1 ,长轴均为 在 x 轴上 ,短轴长分别 为 2m ,2 ( )n m n ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与1C,2大到小依次为 A,B,C,D.记 , 面积分别为1 17 () 当直线 l 与 y 轴重合时 ,若12,求 的值 ; () 当 变化时 ,是否存在与坐标轴不重合 的直线 l,使得12?并说明理由 . O x y B A 第 22 题图 C D M N 18 2013年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷 【答案】 依题意可设 椭圆1别为 1C: 221,2C: 221. 其中 0a m n , () 解法 1:如 图 1,若 直线 l 与 y 轴重合 ,即直线 l 的方程为 0x ,则 1 11| | | | | |22S B D O M a B D ,2 11| | | | | |22S A B O N a A B ,所以12|S B . 在 2的方程中分别令 0x ,可得, 于是 | | 1| | | | 1 m y y m n . 若12 ,则 11 ,化简得 2 2 1 0 . 由 1 ,可解得 21. 故 当直线 l 与 y 轴重合时 ,若12,则 21. 解法 2:如图 1,若 直线 l 与 y 轴重合 ,则 | | | | | |B D O B O D m n ,| | | | | |A B O A O B m n ; 1 11| | | | | |22S B D O M a B D ,2 11| | | | | |22S A B O N a A B . 所以12| | 1| | 1S B D m B m n . 若12 ,则 11 ,化简得 2 2 1 0 . 由 1 ,可解得 21. 故 当直线 l 与 y 轴重合时 ,若12,则 21. () 解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得12. 根据对称性 , 不妨设 直线 l : ( 0)y kx k, 点 ( , 0), ( , 0)直线 l 的距离分别为1d,2d,则 因为1 22| 0 |11a k a kd ,2 22| 0 |11a k a kd ,所以12 又111 |2S BD d,221 |2S AB d,所以12|S B ,即 | | | |B . 由对称性可知 | | | |D ,所以 | | | | | | ( 1 ) | |B C B D A B A B , | | | | | | ( 1 ) | |A D B D A B A B ,于是 | | 1| | 1 . 将 l 的方程分别与 2的方程联立 ,可求得 O x y B A 第 22 题解答图 1 C D M N O x y B A 第 22 题解答图 2 C D M N 19 2 2 2k m ,2 2 2k n . 根据对称性可知,于是 2 2 2 22 2 221 | | 2| | 21 | |A D x x m a k x n a k mk x x . 从而由 和 式可得 2 2 22 2 21( 1 )a k na k m . 令 1( 1)t ,则 由 ,可得 1t ,于是由 可解得 2 2 22 22( 1)(1 ) . 因为 0k ,所以 2 0k . 于是 式关于 k 有解 ,当且仅当 2 2 222( 1) 0(1 ) , 等价于22 21( 1) ( ) 0 . 由 1 ,可解得 1 1t, 即 111( 1) ,由 1 ,解得 12 ,所以 当 1 1 2 时 ,不存在 与坐标轴不重合的 直线 l,使得12; 当 12 时 ,存在 与坐标轴不重合的 直线 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得12. 根据对称性 , 不妨设 直线 l : ( 0)y kx k, 点 ( , 0), ( , 0)直线 l 的距离分别为1d,2d,则 因为1 22| 0 |11a k a kd ,2 22| 0 |11a k a kd ,所以12 又111 |2S BD d,221 |2S AB d,所以12|S B . 因为 221 | | 1 | |B D A x x x x xk x x ,所以 11 . 由 点 ( , )x ( , )x 1,可 得 2 2 2221k , 2 2 2221k ,两式相减可得 2 2 2 2 2 222() 0A B A Bx x k x , 依题意 0,所以 22 所以由上式 解得 2 2 22 2 2 2 2()x xk a x x . 因为 2 0k ,所以 由 2 2 22 2 2 2()0x xa x x ,可解得 1 . 20 从而 111 ,解得 12 ,所以 当 1 1 2 时 ,不存在 与坐标 轴不重合的 直线 l,使得12; 当 12 时 ,存在 与坐标轴不重合的 直线 . 40（ 2013年高考重庆卷（文） (本小题满分 12 分 ,() 小问 4分 ,() 小问 8分 ) 如题 (21)图 ,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上 ,离心率 22e,过左焦点1F作 x 轴的垂线交 椭圆于A 、 A 两点 , 4 . () 求该椭圆的标准方程 ;) 取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P ,过 P 、 P 作圆心为 Q 的圆 ,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外 的面积 S 的最大值 ,并写出对应的圆 Q 的标准方程 . 【答案】 21 41（ 2013 年高考湖南（文） 已知 1F, 2分别是椭圆15: 22 焦点 1F, 2关于直线 02 () 求圆 () 设过点 2和圆 所截得的弦长分别为a,求直线 【答案】解 : () 先求圆 C 关于直线 x + y 2 = 0 对称的圆 D,由题知圆 D 的直径为关于）与圆
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