高中数学备课精品函数模型及其应用课件新人教A版必修一
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函数模型及其应用 类不同增长的函数模型 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋 1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来， 75亿只兔子吃掉了相当于 75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气 材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 例 1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报 40元； 方案二、第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报 10元； 方案三、第一天回报 后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 下面我们先来看两个具体问题。 解：设第 方案一可以用函数 进行描述； 方案二可以用函数 进行描述； 方案三可以用函数 进行描述 . 例、 1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报 40元； 方案二、第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报 10元； 方案三、第一天回报 后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析： 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？ 1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？ 4 0 ( )y x N *1 0 ( )y x x N1*0 . 4 2 ( )xy x N 分析： 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？ 1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？ 解：设第 方案一可以用函数 进行描述； 方案二可以用函数 进行描述； 方案三可以用函数 进行描述 . 4 0 ( )y x N *1 0 ( )xy x N1*0 . 4 2 ( )xy x N 3、三个函数模型的增减性如何？ 4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？ 表 1y(元) 增加量 ( 元 ) y(元) 增加量 ( 元 ) y(元) 增加量 ( 元 )1 40 10 0 0 20 10 0 0 30 10 0 0 40 10 0 0 50 10 0 0 60 10 0 0 70 10 0 0 80 10 0 0 90 10 0 0 100 10 x ( 天)方案一 方案二 方案三图 们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？ 函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。 根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资 5天以下先方案一，投资 58天先方案二，投资 8天以上先方案三？ 由表 1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第 1天所得回报分别是方案三的 100倍和 25倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第 7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第 14天，方案一最多，在 58天，方案二最多；第 9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30天，所得回报已超过 2亿元。 01002003004005006000 5 10 15方案一 回报(元)方案二 回报(元)方案三 回报(元)线性 (方 案一回报(元 )多项式 (方案二 回报 (元)指数 (方 案三回报(元 )因此，投资 8天以下 (不含8天 )，应选择第一种投资方案；投资 810天，应选择第二种投资方案；投资 11天 (含11 天 )以上，刚应选择第三种投资方案。 表- 2累计回报效益回报( 元) 回报( 元) 回报( 元)1 40 10 0 30 20 60 60 100 65 200 150 40 210 80 280 20 360 1029 360 450 00 550 40 660 天）方案二 方案三方案一 例 2、 某公司为了实现 1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售 利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖 金 y (单位：万元 )随销售利润 （单位：万元）的 增加而增加，但资金总数不超过 5万元，同时奖金 总数不超过利润的 25%,现有三个奖励模型： 其中 哪个模型能符合公司的要求？ ,0 0 1l o g ， 2、某公司为了实现 1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元 )随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过 5万元，同时奖金总数不超过利润的 25%,现有三个奖励模型： 其中哪个模型能符合公司的要求？ ,0 0 1l o g ，分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时， 万元， 由于公司总的利润目标为 1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。 同时奖金不超过利润的 25%， 于是，只需在区间 10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。 不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。 (图略） 思考： 函数的定义域 要满足哪些条件？ 通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？ 解： 借助计算机作出函数 的图象 (图 5 , 0 . 2 5 , y y x1 2 7l o g 1 , 观察图象发现，在区间 10 ,1000上，模型 的图象都有一部分在直线 的上方，只有模型 的图象始终在 的下方，这说明只有按模型 进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。 ,25.0 5g 7 g 7 首选计算哪个模型的奖金总数不超过 5万。 对于模型 ， 对于模型 ， lo g 7 0 0 0,20(x 5 y)806,805( 5 x ,g 10007 ， 它在区间 10 ,1000上递增，当 时， 因此该模型不符合要求； ，由函数图象，并利用计算器，可知在区间 内有一个点 满足 ，由于它在区间 10 ,1000上递增，因此当 时， 因此该模型也不符合要求； 它在区间 10 ,1000 上递增，而且当 时 ， ，所以它符合奖金总数不超过 5万元的要求。 令 。 利用计算机作出函数 的图象 （ 图），由图象可知它是递减的，因此 即 所以当 时， 。 说明按模型 奖金不会超过利润的 25%。 再计算按模型 奖励时，奖金是否不超过利润的 25%，即当 时，是否有 成立。 1lo g 7 0 0 0,10g 7 0 0 0,10,o g)( 7 0()( g 7 g 7 0 0 0,10g 7 型 确实能很符合公司要求。 1lo 小结与反思： 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美 1、 四个变量 随变量 变化的数据如下表： 43,21 , 155 130 105 80 55 30 5 33733 4505 3130 2005 1130 505 130 5 30 25 20 15 10 5 0 关于 。 2y 2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的 20台计算机。现在 10台计算机在第 1轮病毒发作时被感染，问在第 5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？ 作业 习题 、 2 1 用心 爱心 专心 课题： 类不同增长的函数模型 教学目标 ： 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性 过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差 异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用 教学重点 ： 重点 将实际 问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题 教学程序与环节设计： 创设情境 组织探究 探索研究 巩固反思 作业回馈 课外活动 实际问题引入 ，激发学生兴趣 选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异 总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告 师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤 强化基本方法，规范基本格式 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用 用心 爱心 专心 教学过程与操作 设计 ： 环节 教学内容设计 师生双边互动 创 设 情 境 材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋 1859 年，有人从欧洲 带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只可爱的兔子变得可恶起来， 75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气 师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“ J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“ S”型可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的 组 织 探 究 例 1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40 元； 方案二：第一 天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元； 方案三：第一天回报 0 ，以后每天的回报比前一天翻一番 请问，你会选择哪种投资方案？ 探究： 1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 2）分析解答（略） 3）根据例 1 表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强 生：阅读题目，理解题意，思考探究问题 师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述 生：观察表格，获取信息，体 会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流 师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等 环节 教学内容设计 师生双边互动 用心 爱心 专心 组 织 探 究 4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？ 5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？ 师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势 生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据 师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益 生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流 例 2某公司为了实现 1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y （单位：万元）随销售利润 x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过 5 万元，同时 奖金不超过利润的 25%现有三个奖励模型： 1 问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 探究： 1） 本例涉及了哪几类函数模型？ 本例的实质是什么？ 2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况 生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异 师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出 5 万元，以及奖励比例是否超 过 25%进行分析，才能做出正确选择 环节 呈现教学材料 师生互动设计 用心 爱心 专心 组 织 探 究 3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例 2 的解答 生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求 师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程 生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答 探 究 与 发 现 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析： 你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数 )0( n 、指数函数 )1( x 、对数函数 )1( ,0( 上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告 师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析 生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告 师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示 巩 固 与 反 思 尝试练习： 1） 教材 、 2； 2） 教材 小结与反思： 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学 与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美 生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用 师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美 环节 呈现教学材料 师生互动设计 用心 爱心 专心 作 业 与 回 馈 教材 题 32（ A 组）第 15 题； （ B 组）第 1 题 课 外 活 动 收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用； 有时同一个实际问题可以建立多个函数模型 具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？ 函数模型及其应用 例题： 例 1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一 ：每天回报 40元； 方案二 ：第一天回报 10元，以后每天比前一天多 回报 10元； 方案三 ：第一天回报 后每天的回报比前 一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？ 投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优 (1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。 解：设第 方案一：每天回报 40元； y=40 (x N*) 方案二：第一天回报 10元，以后每天比前一天多回 报 10元； y=10x (x N*) 方案三：第一天回报 后每天的回报比前一天翻一番。 y=2(x N*) x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增长量 /元 y/元 增长量 /元 y/元 增长量 /元 1 40 0 10 40 0 20 10 40 0 30 10 40 0 40 10 40 0 50 10 40 0 60 10 40 0 70 10 40 0 80 10 40 0 90 10 30 40 0 300 10 112每天的回报量来看： 第 14天，方案一最多： 每 58天，方案二最多： 第 9天以后，方案三最多； 有人认为投资 14天选择方案一；58天选择方案二；9天以后选择方案三？ 画 图 累积回报表 天数 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 02 论 投资 16天，应选择第一种投资方案；投资 7天，应选择第一或二种投资方案；投资 810天，应选择第二种投资方案；投资 11天（含 11天）以上，应选择第三种投资方案。 解决实际问题的步骤： 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 演算 推理 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 例 2、某公司为了实现 1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元 )随着销售利润 x (单位：万元 )的增加而增加，但资金数不超过 5万元，同时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型：y=y=， y=中哪个模型能符合公司的要求呢？ (1)、由函数图象可以看出，它在区间 10,1000上递增，而且当 x=1000时， y=幂函数 y=n0)，通过探索可以发现： 在区间 (0,+)上，无论 n比 管在 由于 此总存在一个 x会有 ax结论 2： 一般地，对于指数函数 y=a1)和幂函数 y=n0)，通过探索可以发现： 在区间 (0,+)上，随着 象就像是渐渐地与 管在 由于 此总存在一个 x会有 y=a1)和 y=n0)都是增函数。 (2)、随着 y=a1)的增长速度越来越快，会远远大于 y=n0)的增长速度。 (3)、随着 y=a1)的增长速度越来越慢，会远远小于 y=n0)的增长速度。 总存在一个 x有 xn习： 1、 2 实际 问题 读懂问题 将问题 抽象化 数学 模型 解决 问题 基础 过程 关键 目的 几种常见函数的增长情况： 常数函数 一次函数 指数函数 没有增长 直线上升 指数爆炸 作业 :2 用心 爱心 专心 类不同增长的函数模型 一、选择题 . 1某工厂 10年来某种产品总产量 t（年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是 :前五年中产量增长的速度越来越快 前五年中产量增长的速度越来越慢 第五年后，这种产品停止生产 第五年后，这种产品的产量保持不变 A B C D 2如下图 线 l 线 y，点 x，则 y=f（ x）的图象大致为 3用长度为 24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 A 3 B 4 C 6 D 12 4已知镭经过 100年，剩留原来质量的 95 76%，设质量为 1的镭经过 y，则 y与 A y=0 957610x B y=0 9576100x C y=（x D y=1（ 0 0424） 10x 5某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了 息了一段时间，又沿原路返回 ba），再前进 此人离起点的距离 二、填空题 . 6某工厂 1992年底某种产品年产量为 a，若该产品的年平均增长率为 x， 2000年底该厂这种产品的年产量为 y，那么 y与 _ 7周长为 部为半圆形的框架（半径为 r），若矩形 底边长为 2x，此框架围成的面积为 y，则 y与 _ 8某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为 a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时 该船以速度 时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则 y与 _ 9已知某工厂生产某种产品的月产量 y=a（ 0 5） x+b，现已知该厂今年 1 月、 2 月生产该产品分别为 1 万件、 1 5 万件则此厂 3 月份该产品的产量为_ 用心 爱心 专心 10国家规定个人稿费纳税办法为：不超过 800元的不纳税，超过 800 元而不超过 4000元的按超过 800元的 14%纳税，超过 4000元的按全稿酬的 11%纳税某人出版了一本书，共纳税 420元，这个人的稿费为 _元 三、解答题 . 果月初售出可获利 100 元，再将本利都存入银行，已知银行月息为 2 4%，如果月末售出可获利 120元，但要付保管费 5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？ 月卖出 而现在每月售货总金额 定价上涨 出数量减少 货总金额变成现在的 1）用 x和 z. （ 2）若y=32x，求使售货总金额有所增加的 0 元，不加收附加税 时每年大约销售 80 万件，若政府征收附加税，每销售 100元要征税 此每年销售量将减少 203 (1) 将政府每年对该商品征收的总税金 的函数，并指出这个函数的定义域。 (2) 要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于 128万元，问税率 P%应怎样确定？ (3) 在可收税金不少于 128 万元的前提下，要让厂家获取最大销售金额，则如何确定 4m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面 积为126程条件是： (1) 建 1(2) 修 1(3) 拆去 1可得的建材建 1讨论有两种方案： 利用旧墙一段 x m（ 0 x 14）为矩形一边； 矩形厂房利用旧墙的一面边长 x 14，问如何利用旧墙建墙费用最省？ 试比较两种方案哪个更好。 用心 爱心 专心 参考答案 一、 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 二、 6 y=a（ 1+x） 8 7 y=（ +2） x2+0 x2l） 8 y=v 0） 9 1 75万件 10 3800 三、 11解：设这种货的成本费为 若月初售出，到月末共获利润为： 00+（ a+100） 2 4% 若月末售出，可获利 20 5=115（元） 024a 12 6=0 024（ a 525） 故当成本大于 525 元时，月末售出好；成本小于 525 元时，月初售出好 12解：（ 1） p（ 1+10x） n（ 110y） z=100 )10)(10( （ 2）当 y=32z=100)3210)(10( 由 z 1，得100)3210)(10( 1 x（ x 5） 0， 0 x 5 13、 (1) 设商品每年销售为 20(80 )3 p万件， 20(8 0 ) % 6 03y p p 且 2080 03 p， p 0， 0 p 12 (2) y 128， 206 0 ( 8 0 ) % 1 2 83 4 p 8 (3) 厂家销售收入为 2060(80 )3 p（ 4 p 8） 当 p 4时，销售收入最大为 3200（万元） 14、 (1) 方案：修旧墙费用为 x4旧墙造新墙费用为 (4 x)2a， 其余新墙费用： 2 1 2 6( 2 1 4 )总费用 367 ( 1)4x （ 0 x 14） 267 ( ) 3 52xy a 35a，当 x 12时， 35a 用心 爱心 专心 (2) 方案，利用旧墙费用为 142a 72a（元） 建新墙费用为 252(2 1 6 )（元） 总费用为： 1 2 6 2 12 ( )2y a x （ x 14） 函数 126 14, )上为增函数，当 x 14， 采用方案更好些。 新课导入 一张纸的厚度大约为 块砖的厚度 大约为 10同学们计算将一张纸对折 度和 出函数关系式，并 计算 n=20时它们的厚度，你的直觉与结果一致吗 ? 解：设一张纸对折 f(x),g(x),依题意可得： 0(,105)20(20 时，有当)(2*)(10)( )( *(2* x )( *应用示例 例 1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如 下 ： 方案一、每天回报 40元； 方案二、第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报 10元； 方案三、第一天回报 后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ )(40 *)(2*1 x )(10 *三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增模型，要对三个方案作出选择，就要对他们的增长情况进行分析，首先计算得到三种方案所得回报的增长情况如下表所示： 方案一可以用函数 进行描述； 方案二可以用函数 进行描述； 方案三可以用函数 进行描述 解：设第 题意得： x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增加量 /元 y/元 增加量 /元 y/元 增加量 /元 1 40 10 40 0 20 10 40 0 30 10 40 0 40 10 40 0 50 10 40 0 60 10 40 0 70 10 40 0 80 10 40 0 90 10 0 40 0 100 10 30 40 0 300 10 214 748 07 374 面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长情况： 40 80 120 160 y 10 12 x o y=40 y= 10x 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对 “ 指数爆炸 ” 的含义有什么新的理解？ 函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。 结合表格及三个函数的图像从 每天 的回报看： 第 1案一回报最多： 第 5案二回报最多： 第 9天以后，方案三回报最多。 思考：能否根据上面的分析作出这样的选择： 投资 5天以下选择方案一； 投资 5 投资 8天以上选择方案三？ x（天） 方案一 方案二 方案三 回报 (元 ) 回报 (元 ) 回报 (元 )1 40 10 2 80 30 3 120 60 4 160 100 6 5 200 150 6 240 210 7 280 280 8 320 360 102 9 360 450 10 400 550 11 440 660 12 480 780 1638 结论 投资 16天，应选择第一种投资方案；投资 7天，应选择方案一或者方案二；投资 810天，应选择第二种投资方案；投资 11天（含 11天）以上，应选择第三种投资方案。 累计的回报数： 例 2 某公司为了实现 1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的方案 ：在销售利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励且奖金 y（单位：万元）随销售利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 5万元，同时奖金不超过利润的 25%，现有三个奖励模型： ， ， ， 其中哪个模型能符合公司的要求？ 1lo g 7 xy 1）奖金总数不超过 5万元 （ 2）奖金不超过利润的 25% 分析：选择的模型需要满足的要求如下： 400 600 800 1000 1200 200 1 2 3 4 5 6 7 8 X y o y=5 y=lo g 7 ：借助于计算机先作出 y=5， y= lo g 7 1 0 0 0,10万 对于模型 ,在区间 10,1000上递增，令 ， 可得 x=20,因此当 x20时， y5，所以该模型不符合要求； 于模型 ，由函数图像，它在区间 10,1000上递增，而且当 x=1000 时 所以它符合奖金总数不超过 5万的要求。 1lo g 7 g 7 ,根据图像令 y=5，利用计算器可知在区间（ 805， 806）内有一个点 满足 ，它在区间 10,1000上递增， 故当 时， y5,所以该模型也不符合要求。 1 0 0 0,10,o g)( 7 当 时，奖金是否不超过利润的 25%呢 ? 1lo g 7 1 0 0 0,10图像可知它是递减的 , 因此有 03 1 6 0()( g 7 即：成立时，所以当 0 0 0,10 , 是否恒成立 ,1000,10o g 7 1 0 0 0,10是否有 ？ 答：模型 能符合公司的要求 1lo 1）读题理解题意 （ 2）挖掘数量关系，建立数学模型 （ 3）求解数学问题 （ 4）回归实际，进行答题 2、求解数学应用问题的一般步骤： 小结 1、几种不同增长的函数 体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同类型函数的含义与差异性 利用数据表格，函数图像确定函数模型 课后作业 1课本 、 2 2举出生活实例，并用函数模型进行分析。 例 1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一 ：每天回报 40元； 方 案二 ：第一天回报 10元，以后每天比前 一天多回报 10元； 方案三 ：第一天回报 后每天的回 报比前 一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？ 投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优 (1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。 解：设第 方案一：每天回报 40元； y=40 (x N*) 方案二：第一天回报 10元，以后每天比前一天多回 报 10元； y=10x (x N*) 方案三：第一天回报 后每天的回报比前一天翻一番。 y=2(x N*) x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增长量 /元 y/元 增长量 /元 y/元 增长量 /元 1 40 0 10 40 0 20 10 40 0 30 10 40 0 40 10 40 0 50 10 40 0 60 10 40 0 70 10 40 0 80 10 40 0 90 10 30 40 0 300 10 112每天的回报量来看： 第 14天，方案一最多： 每 58天，方案二最多： 第 9天以后，方案三最多； 有人认为投资 14天选择方案一；58天选择方案二；9天以后选择方案三？ 累计回报数： 819 409 204 102 5 12 6 660 550 450 360 280 210 150 100 60 30 10 二 440 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40 一 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 天数 回报 /元 方案 3276 1638 910 780 520 480 13 12 方案一 方案二 方案三 三种方案的累计回报表 投资 8天以下（不含 8天），应选择第一种投资方案；投资 810天，应选择第二种投资方案；投资 11天（含 11天）以上，应选择第三种投资方案。 解决实际问题的步骤： 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 演算 推理 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 例 2、某公司为了实现 1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元 )随着销售利润 x (单位：万元 )的增加而增加，但奖金数不超过 5万元，同时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型： y=y=， y=中哪个模型能符合公司的要求呢？ (1)、由函数图象可以看出， 它在区间 10,1000上递增， 而且当 x=1000时， y=幂函数 y=n0)，通过探索可以发现： 在区间 (0,+)上，无论 n比 管在 由于 此总存在一个 x会有 ax18161412108642 10 15 20h(x)= lo x = 2xf x = ： 一般地，对于对数函数y=a1)和幂函数y=n0)，通过探索可以发现： 在区间 (0,+)上，随着 象就像是渐渐地与管在 由于 此总存在一个 x会有 y=a1)和 y=n0)都是增函数。 (2)、随着 y=a1)的增长速度越来越快，会远远大于 y=n0)的增长速度。 (3)、随着 y=a1)的增长速度越来越慢，会远远小于 y=n0)的增长速度。 总存在一个 x有 xn 1 同一坐标系中，函数 y 7和 y 2如图 7与 2大小 . 50 40 30 20 10 5 10 y 7 y 2x x y O 例 2 已知函数 y y x 1)的图象 如图，试比较 x 1)的大小 . 4 3 2 1 4 x y O y x2 y x 1) （做在书上或课堂练习本上） 课后作业 组 10及 ,6（做在作业本上） ， 2.） 函数模型及其应用 类不同增长的函数模型二 我们知道，对数函数 ，指数函数 与幂函数 在区间 上都是增函数。从上述两个例子可以看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？ ）（ 1l o g a）（ 1 x ）（ 0 ,0下面 ， 我们不妨先以 函数为例进行探究 。 x 22 l o g,2 利用计算器或计算机，以一定的步长列出自变量与函数值的对应表（表 3 ，并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（图 可以看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长速度是不同的。 表 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11x y=x 2x 从图可以看到， 和 的图象有两个交点，这表明 与 在自变量不同的区间有不同的大小关系，有时 ，有时 。 下面我们在更大的范围内，观察 和 的增长情况 20 2 4 6 8 10 12 14 161 4 16 64 256 1024 4096 16384 655360 4 16 36 64 100 144 196 2562 22 22 但是 ,当自变量 要越来越大时，可以看到， 的图象就像与 轴垂直一样， 的值快速增长， 比起 来，几乎有些微不足道，如图 0 10 20 30 40 50 60 70 801 1024 6 9 2 5 8 1 40 100 400 900 1600 2500 3600 4900 64002 你能借助图象，对 和 的增长情况进行比较吗？ 2 l o g 请在图象上分别标出使不等式 成立的自变量 的取值范围 o o ),4()2,0( x)4,2(一般地，对于指数函数 和幂函数 ，通过探索可以发现，在区间 上，无论 比 大多少，尽管在 的一定变化范围内， 会小于 ，由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 。 ）（ 1 0x nx xanx（ 0 ,0 同样地，对于对数函数 和幂函数 , 在区间 上，随着 的增大， 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 轴平行一样，尽管在 的一定变化范围内， 可能会大于 ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 。 ）（ 1l o g a）（ 0 na lo g）（ ,0综上所述 ， 在区间 上 ， 尽 管 函 数 、 、 和 都是增函数 ， 但它们的增长速度不同 ， 而且不在同一个 “ 档次 ” 上 。 随着 的增大 ， 的增长速度越来越快 ， 会超过并远远大于 的增长速度 ， 而 的增长速度则会越来越慢 。 因此 ， 总会存在一个 ， 当 时 ， 就有 。 ）（ 1l o g a）（ 1 ,0l o g）（ 1 x）（ 1 x）（ 1 n）（ 1l o g 你能用同样的方法，讨论一下函数： 、 、 在区间 上的衰减情况吗？ ）（ 10l o g a）（ 0 n）（ 10 x）（ ,0练习 同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况： 。）（；）（；）（10,1 ,20 3,0 ,100 2,0 ,xxyxxyxeyx用心 爱心 专心 函数模型的应用实例 一、选择题 1、某人在 2008年 9月 1日到银行存入一年期 a 元，若每到第二年的这一天取出，再连本带利存入银行（假设银行本息为 r%），则到 2013年 9月 1日他可取出回款（ ）A、
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