高中数学备课精品函数模型及其应用课件新人教A版必修一
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函数模型及其应用 类不同增长的函数模型 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋 1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来， 75亿只兔子吃掉了相当于 75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气 材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 例 1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报 40元； 方案二、第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报 10元； 方案三、第一天回报 后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 下面我们先来看两个具体问题。 解：设第 方案一可以用函数 进行描述； 方案二可以用函数 进行描述； 方案三可以用函数 进行描述 . 例、 1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报 40元； 方案二、第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报 10元； 方案三、第一天回报 后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析： 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？ 1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？ 4 0 ( )y x N *1 0 ( )y x x N1*0 . 4 2 ( )xy x N 分析： 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？ 1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？ 解：设第 方案一可以用函数 进行描述； 方案二可以用函数 进行描述； 方案三可以用函数 进行描述 . 4 0 ( )y x N *1 0 ( )xy x N1*0 . 4 2 ( )xy x N 3、三个函数模型的增减性如何？ 4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？ 表 1y(元) 增加量 ( 元 ) y(元) 增加量 ( 元 ) y(元) 增加量 ( 元 )1 40 10 0 0 20 10 0 0 30 10 0 0 40 10 0 0 50 10 0 0 60 10 0 0 70 10 0 0 80 10 0 0 90 10 0 0 100 10 x ( 天)方案一 方案二 方案三图 们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？ 函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。 根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资 5天以下先方案一，投资 58天先方案二，投资 8天以上先方案三？ 由表 1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第 1天所得回报分别是方案三的 100倍和 25倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第 7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第 14天，方案一最多，在 58天，方案二最多；第 9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30天，所得回报已超过 2亿元。 01002003004005006000 5 10 15方案一 回报(元)方案二 回报(元)方案三 回报(元)线性 (方 案一回报(元 )多项式 (方案二 回报 (元)指数 (方 案三回报(元 )因此，投资 8天以下 (不含8天 )，应选择第一种投资方案；投资 810天，应选择第二种投资方案；投资 11天 (含11 天 )以上，刚应选择第三种投资方案。 表- 2累计回报效益回报( 元) 回报( 元) 回报( 元)1 40 10 0 30 20 60 60 100 65 200 150 40 210 80 280 20 360 1029 360 450 00 550 40 660 天）方案二 方案三方案一 例 2、 某公司为了实现 1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售 利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖 金 y (单位：万元 )随销售利润 （单位：万元）的 增加而增加，但资金总数不超过 5万元，同时奖金 总数不超过利润的 25%,现有三个奖励模型： 其中 哪个模型能符合公司的要求？ ,0 0 1l o g ， 2、某公司为了实现 1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元 )随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过 5万元，同时奖金总数不超过利润的 25%,现有三个奖励模型： 其中哪个模型能符合公司的要求？ ,0 0 1l o g ，分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时， 万元， 由于公司总的利润目标为 1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。 同时奖金不超过利润的 25%， 于是，只需在区间 10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。 不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。 (图略） 思考： 函数的定义域 要满足哪些条件？ 通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？ 解： 借助计算机作出函数 的图象 (图 5 , 0 . 2 5 , y y x1 2 7l o g 1 , 观察图象发现，在区间 10 ,1000上，模型 的图象都有一部分在直线 的上方，只有模型 的图象始终在 的下方，这说明只有按模型 进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。 ,25.0 5g 7 g 7 首选计算哪个模型的奖金总数不超过 5万。 对于模型 ， 对于模型 ， lo g 7 0 0 0,20(x 5 y)806,805( 5 x ,g 10007 ， 它在区间 10 ,1000上递增，当 时， 因此该模型不符合要求； ，由函数图象，并利用计算器，可知在区间 内有一个点 满足 ，由于它在区间 10 ,1000上递增，因此当 时， 因此该模型也不符合要求； 它在区间 10 ,1000 上递增，而且当 时 ， ，所以它符合奖金总数不超过 5万元的要求。 令 。 利用计算机作出函数 的图象 （ 图），由图象可知它是递减的，因此 即 所以当 时， 。 说明按模型 奖金不会超过利润的 25%。 再计算按模型 奖励时，奖金是否不超过利润的 25%，即当 时，是否有 成立。 1lo g 7 0 0 0,10g 7 0 0 0,10,o g)( 7 0()( g 7 g 7 0 0 0,10g 7 型 确实能很符合公司要求。 1lo 小结与反思： 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美 1、 四个变量 随变量 变化的数据如下表： 43,21 , 155 130 105 80 55 30 5 33733 4505 3130 2005 1130 505
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