（安徽专用）2014届高考数学 第四章课件 文（打包5套）新人教A版
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（安徽专用）2014届高考数学 第四章课件 文（打包5套）新人教A版,安徽,专用,高考,数学,第四,课件,打包,新人
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第一节 平面向量的基本概念及线性运算 1 向量的有关概念 (1)向量：既有 _又有 _的量叫做向量 ， 向量的大小叫做向量的 _ (或模 ) (2)零向量： _的向量 ， 其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 _的向量 (4)平行向量：方向 _的非零向量 平行向量又叫 _ 规定： 0与任一向量 _ (5)相等向量：长度 _且方向 _的向量 (6)相反向量：长度 _且方向 _的向量 大小 方向 长度 长度为 0 1个单位 相同或相反 共线向量 平行 相等 相同 相等 相反 2 向量的加法和减法 (1)加法法则：服从三角形法则 ， 平行四边形法则 运算性质： a b _； (a b) c _ (2)减法与 _互为逆运算；服从三角形法则 3 实数与向量的积 (1)实数 与向量 记作 a， 规定： 长度： |a| _； 方向：当 _时 ， _时 ， a与 0时 ， a _ b a a (b c) 加法 |a| 0 0 0 (2)运算律：设 、 R， 则： (a) _； ( )a _； (a b)_ 4 平面向量共线定理 向量 b与 a(a0)共线的充要条件是 _ ()a a a a b 有且只有一个实数 ， 使得 b a 1 向量 与向量 是共线向量，则 A ， B ， C ， 种说法正确吗？ 【提示】 不正确若向量 与向量 是共线向量，则向量 与 所在的直线平行或重合，因此， A ， B ， C ，D 不一定共线 2 a b是 a b( R)的充要条件吗 ？ 【 提示 】 当 a0， b 0时 ， a a b， 但 a b， a b是 a b( R)的必要不充分条件 ， 不是充要条件 【 答案 】 D 1 ( 人教 A 版教材习题改编 ) 化简 的结果为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 ( ) ( ) . 2 下列给出的命题正确的是 ( ) A 零向量是唯一没有方向的向量 B 平面内的单位向量有且仅有一个 C a与 b与 则 a与 D 相等的向量必是共线向量 【 解析 】 零向量方向任意 ， 而不是没有方向 ， 故 面内单位向量有无数个 ， 故 b 0， b与 a、 但 a、 故 等的向量方向相同 ，必是共线向量 ， 故 【 答案 】 D 【 答案 】 B 3 ( 2 0 1 2 合肥高三质量检测 ) 如图 4 1 1 ，正方形 A B C E ， F 分别 是 中点，那么 于 ( ) 12 1212 121212解析】 12 12 ( ) ，故选 D . 【 解析 】 由题意知 a b k(b 3a) 3 【 答案 】 D 4 已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a b 与 ( b 3 a ) 共线，则 的值为 ( ) A 1 B 1 13【 答案 】 D 5 ( 2 0 1 2 四川高考 ) 设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使a| a |b| b |成立的充分条件是 ( ) A | a | | b |且 a b B a b C a b D a 2 b 【解析】 a| a |表示与 a 同向的单位向量，b| b |表示与 b 同向的单位向量 只要 a 与 b 同向就有a| a |b| b |，观察选择项易知 D 满足题意 给出下列四个命题： 若 | a | | b |，则 a b 或 a b ； 若 ，则四边形 平行四边形； 若 a 与 b 同向，且 | a | | b |，则 a b ； ， 为实数，若 a b ，则 a 与 b 共线 其 中假命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【 思路点拨 】 以概念为判断依据 ， 或通过举反例来说明其不正确 【尝试解答】 不正确 | a | | b |但 a 、 b 的方向不确定，故 a ， b 不一定相等； 不正确 因为 ， A 、 B 、 C 、 D 可能在同一直线上，所以 一定是四边形 不正确 两向量不能比较大小 不正确 当 0 时， a 与 b 可以为任意向量，满足 a b ，但 a 与 b 不一定共线 【 答案 】 D 1 (1)易忽视零向量这一特殊向量 ， 误认为 是正确的； (2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法 2 准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键 (1)相等向量具有传递性 ， 非零向量平行也具有传递性 (2)共线向量 (平行向量 )和相等向量均与向量的起点无关 3 “ 向量 ” 和 “ 有向线段 ” 是两个不同的概念 ， 向量只有两个要素：大小 、 方向；而有向线段有三个要素：起点 、 方向 、 长度 给出下列四个命题： 两个向量相等 ， 则它们的起点相同 ， 终点相同； 若 a b， b c， 则 a c； 若 a b， b c， 则 a c； a a| |b|且 a b. 其中假命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【 解析 】 不正确 两个向量起点相同 ， 终点相同 ，则两向量相等；但两个向量相等 ， 不一定有相同的起点和终点 正确 根据向量相等的定义知 不正确 若 b 0时 ， b与 a、 但 a、 不正确 a a| |b|且 a， 【 答案 】 C ( 1) 在 ，若 D 是 上一点，且 2 13 则 ( ) 13D 23( 2) 若 O 是 在平面内一点， D 为 中点，且2 0 ，那么 ( ) A. . 2 . 3 2 答案 】 (1)A (2)A 【思路点拨】 ( 1 ) D 是 上的三等分点，把 用、 表示； ( 2) 由 D 为 中点可得 2 ，代入已知条件即可求解 【尝试解答】 ( 1) 23 23( ) 1323，所以 23，故选 A. ( 2) 因为 D 为 中点， 2 ，又 2 0 ， 2 2 0 ，即 ，故选 A. 1 解答本题 ( 1) 的关键是利用向量的加法与减法把 、 表示出来解答本题 ( 2) 的关键是 2 . 2 进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加 、减法运算及数乘运算来解 ( 1 ) ( 2 0 1 3 海口模拟 ) 如图 4 1 2 所示， 向量 a ， b ， c ， A 、 B 、 C 在 一条直线上，若 3 则 ( ) A c 12a 32b B c 32a 12b C c a 2 b D c a 2 b ( 2 ) 若 | | | 2 ，则 | _ _ _ _ _ _ _ _ 【解析】 ( 1 ) 3 3( 3 3 2 3 c 12a 32b . ( 2 ) | | | | 2 ， 边长为 2 的正三角形， | 为三角形高的 2 倍，所以 | 2 3 . 【答案】 ( 1 ) A ( 2 ) 2 3 设两个非零向量 e 1 和 e 2 不共线 ( 1) 如果 e 1 e 2 ， 3 e 1 2 e 2 ， 8 e 1 2 e 2 ，求证： A 、 C 、 D 三点共线 ( 2) 如果 e 1 e 2 ， 2 e 1 3 e 2 ， 3 e 1 ，且A 、 C 、 F 三点共线，求 k 的值 【思路点拨】 ( 1 ) A 、 C 、 D 三点共线 存在实数 使 . ( 2) A 、 C 、 F 三点共线 存在实数 ，使 . 【尝试解答】 ( 1 ) 3 2 4 又 8 2 所以 2 A C与 线， 又 公共点 C ， A 、 C 、 D 三点共线 ( 2) 2 3 3 2 A 、 C 、 F 三点共线 ， ， 从而存在实数 ， 使得 . 3 e 1 2 e 2 3 e 1 ， 又 e 1 ， e 2 是不共线的非零向量， 因此 k 2. 所以实数 k 的值为 2. 1 向量 b 与 非零向量 a 共线的充要条件 是存在唯一实数 ，使 b a 注意待定系数法和方程思想的运用 2 ( 1 ) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 ( 2) ( ， R) ，若 A 、 B 、 C 三点共线，则 1. (1)(2013南昌模拟 )已知向量 a， c kab(k R)， d a c d， 那么 ( ) A k 1且 c与 B k 1且 c与 C k 1且 c与 D k 1且 c与 (2)(2013青岛模拟 )对于非零向量 a、 b， “ a b 0” 是“ a b” 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【 解析 】 (1) c d， c d， 即 b (a b) a b， k 1， 故选 D. (2)由 a b 0知道 a与 从而 a b， 充分性成立 由 a b知 a b， 1时 ， a b0， 必要性不成立 【 答案 】 (1)D (2)A 一般地 ， 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量 a0” ， 否则 可能不存在 ， 也可能有无数个 2 证明三点共线问题 ， 可用向量共线来解决 ， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 ， 当两向量共线且有公共点时 ， 才能得出三点共线； 3 利用向量平行证明直线平行 ， 必须说明这两条直线不重合 从近两年高考试题来看 ， 平面向量的概念 ， 线性运算及向量共线是高考命题的重点 ， 常与平面向量基本定理 、 平面向量的数量积交汇命题 ， 多以客观题形式呈现 在求解过程中 ， 不要忽视零向量的特殊性 【 错解 】 错解一 a、 必然是有且只有一个实数 ， 使 b a， 故选 A. 【 答案 】 A 易错辨析之 七 忽视零向量的特殊性致误 ( 2 0 1 3 杭州模拟 ) 下列命题正确的是 ( ) A 向量 a 、 b 共线的 充要条件是有且仅有一个实数 ，使 b a B 在 ， 0 C 不等式 | a | | b | | a b | | a | | b |中两个等号不可能同时成立 D 向量 a 、 b 不共线，则向量 a b 与向量 a b 必不共线 【 答案 】 B 错解三 当 a与 式子中第一个等号不成立；当a与 式子中第二个等号不成立 ， 当两个向量不共线时 ， 两个等号都不成立 ， 故两个等号不可能同时成立 ， 故选C. 【 答案 】 C 错解二 首尾相连，始终如一在 ， 、 、围成了一个封闭图形，故 0 ，故选 B. 错因分析： (1)错解一 ， 忽视了 a0这一条件 (2)错解二 ， 忽视了 0与 0的区别 (3)错解三 ， 忽视了零向量的特殊性 ， 当 a 0或 b 0时 ，两个等号同时成立 防范措施： (1)共线向量定理中 ， b a0， 否则 值可能不存在 (2)向量的加减及数乘运算的结果 ， 仍然是一个向量 ，而不是一个数 (3)应熟练掌握向量不等式 |a| |b|a b|a| |b|等号成立的条件 【 正解 】 向量 a与 a， b， a b与 a 若 a b与 a 则存在实数 ， 使 a b (a b)， 即 ( 1)a (1 )b， 无解 ， 故假设不成立 ， 即 a b与 a 故选 D. 【 答案 】 D 1 (2012浙江高考 )设 a， ) A 若 |a b| |a| |b|， 则 a b B 若 a b， 则 |a b| |a| |b| C 若 |a b| |a| |b|， 则存在实数 ， 使得 b a D 若存在实数 ， 使得 b a， 则 |a b| |a| |b| 【 解析 】 由 |a b| |a| |b|知 (a b)2 (|a| |b|)2， 即 2ab |a|2 2|a|b| |b|2， ab |a|b|. ab |a|b|a， b ， a， b 1， a， b ， 此时 a与 因此 当 a a与 因此 若 |a b| |a| |b|， 则存在实数 1， 使 b a， 满足 a与 故 若存在实数 ， 使得 b a， 则|a b| |a a| |1 |a|， |a| |b| |a| |a| (1 |)|a|， 只有当 10时 ， |a b| |a| |b|才能成立 ， 否则不能成立 ，故 【 答案 】 C 2 ( 201 1 山东高考 ) 设 同的四点，若 R) ， R) ，且11 2 ，则称 1， ， D 调和分割点 A ， B ，则下面说法正确的是( ) A C 可能是线段 中点 B D 可能是线段 中点 C C ， D 可能同时在线段 D C ， D 不可能同时在线段 延长 线上 【解析】 平面上的点 C ， D 调和分割点 A ， B ，则由条件知： R) ， R) ，且11 2. 对 A ：若 C 为线段 中点，则 12， 1 0 ，显然不存在 ， A 是错误的，同理 B 也是错误的； 对 C ：若 C 、 D 同时在线段 ， 则 0 1 ， 0 1 ， 11 2 ，不符合条件； 【 答案 】 D 对 D ：若同时在线段 长线上， 则 1 ， 1 ，与11 2 矛盾，故不可能 C 、 D 不可能同时在线段 延长线上， D 正确 第三节 平面向量的数量积 1 平面向量的数量积 (1)数量积的定义：已知两个非零向量 a和 b， 它们的夹角为 ， 则向量 a与 _， 记作 ab， 即ab _ 规定：零向量与任一向量的数量积为_ (2)向量的投影：设 为 a与 则向量 a在 _；向量 b在 _ (3)数量积的几何意义：数量积 aa|与_的乘积 |a|b| |a|b| 0 |a| |b| b在 b| 2 平面向量数量积的运算律 (1)交换律： ab ba； (2)数乘结合律： (a)b _ _； (3)分配律： a(b c) _ (ab) a(b) ab ac 3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a ( b ( 为向量 a， 结论 几何表示 坐标表示 模 | a | a a | a | _ 数量积 a b | a | b | c a b c a b| a | b |c _ a b 的充要条件 a b 0 _ x 1 x 2 y 1 y 2x 21 y 21 x 22 y 22 x 1 x 2 y 1 y 2 0 结论 几何表示 坐标表示 | a b |与| a | b |的关系 | a b | | a | b |( 当且仅当 a b 时等号成立 ) | x 1 x 2 y 1 y 2 | _ y 21 x 22 y 22 1 若 ab bc， 则 a 【 提示 】 不一定 b 0时就不成立 2 (ab)c a(bc)一定成立吗 ？ 【 提示 】 不一定成立 (ab)a(bc)是与 而 a与 故 (ab)ca(bc)不一定成立 3 你能根据数量积的定义证明： |a|b|ab|a|b|吗 ？ 【 提示 】 设向量 a与 ， 则 ab |a|b|， 0， 11， |a|b|ab|a|b|. 【 答案 】 C 1 ( 人教 A 版教材习题改编 ) 已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ，| b | 4 ，且 a b 2 ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) 析】 向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， | b | 4 ，且 a b 2 ， 设 a 与 b 的夹角 为 ，则 c o s a b| a | | b | 12 ， 3 . 【 解析 】 |ab| |a|b|， 故 【 答案 】 B 2 已知向量 a ， b 和实数 ，下列选项中错误的是 ( ) A | a | a a B | a b | | a | | b | C ( a b ) a b D | a b | | a | | b | 【 答案 】 D 3 已知 | a | 4 ， | b | 3 ， a 与 b 的夹角为 120 ，则 b 在 a 方向上的投影为 ( ) A 2 B 2 D 32【解析】 b 在 a 方向上的投影为 | b | c o s 120 3 ( 12)32. 【 解析 】 ab (1， 1)(2， x) 2 x 1x 1. 【 答案 】 D 4 ( 201 2 辽宁高考 ) 已知向量 a (1 ， 1) ， b (2 ， x ) ，若 a b 1 ，则 x ( ) A 1 B 1 5 已知 a (1， 3)， b (4， 6)， c (2， 3)， 则 (bc) ) A (26， 78) B ( 28， 42) C 52 D 78 【 解析 】 bc 4 2 6 3 26， (bc)a (26， 78) 【 答案 】 A ( 1) ( 20 12 浙江高考 ) 在 ， M 是 中点， 3 ， 10 ，则 _ ( 2) ( 20 12 北京高考 ) 已知正方形 边长为 1 ，点 B 边上的动点，则 的值为 _ ； 的最大值为 _ 【思路点拨】 ( 1 ) 把 ， 用 ， 或 表示； ( 2 ) 建立平面直角坐标系，把向量用坐标表 示 【尝试解答】 ( 1 ) 如图所示， ， ， ( ) ( ) 2 2 | | 2 | | 2 9 25 16. (2) 如图所示 ， 以 由于正方形边长为 1， 故B(1， 0)， C(1， 1)， D(0， 1) 又 E 在 上 ， 故设 E(t ，0)(0t1) 则 ( t ， 1) ， (0 ， 1) 故 1. 又 (1 ， 0) ， 【 答案 】 (1) 16 (2)1 1 ( t ， 1 ) ( 1 ， 0) t . 又 0 t 1 ， 的最大值为 1. 1 平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算 2 ( 1 ) 要有 “ 基底 ” 意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本题 ( 1 ) 中用 示 ( 2 )注意向量夹角的大小，以及夹角 0 ， 90 ， 1 8 0 三种特殊情形 3 应当注意： ( 1 ) 向量数量积 a b 中的 “ ” 既不能省略，也不能写成 “” ； ( 2 ) 向量的数量积满足 “ 交换律 ” 、 “ 分配律 ” ，但不满足 “ 结合律 ” ( 2 0 1 3 长沙模拟 ) 在边长为 1 的正三角形 中，设 2 ， 3 ，则 _ _ _ _ _ _ _ _ 【解析】 2 3 点 D 是线段 中点，点 E 是线段 三等分点， 以向量 为基向量， 12( ， 23 12( (23 131216A B ， 又 | | | | 1 ，且 ， 3. 131216| | | co s 314. 【答案】 14 (1)(2012安徽高考 )设向量 a (1， 2m)， b (m 1，1)， c (2， m) 若 (a c) b， 则 |a| _ (2)(2013郑州模拟 )已知 a与 若向量 a 则 k_ 【 思路点拨 】 (1)求出 a 利用 (a c)b0求出 m； (2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于 进而解方程求 【尝试解答】 ( 1 ) a c (1 ， 2 m ) (2 ， m ) (3 ， 3 m ) ( a c ) b ， ( a c ) b (3 ， 3 m ) ( m 1 ， 1) 6 m 3 0 ， m 12. a (1 ， 1) ， | a | 2 . ( 2) a 与 b 是不共线的单位向量， | a | | b | 1. 又 b 与 a b 垂直， ( a b ) ( b ) 0 ， 即 b a b 0. k 1 b a b 0. 即 k 1 k c c 0. ( 为 a 与 b 的夹角 ) ( k 1) ( 1 c ) 0. 又 a 与 b 不共线， c 1 ， k 1. 【答案】 ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 1 (1)非零向量垂直的充要条件： a bab 0|ab| |a b|0.(2)本例 (2)中常见的错误是不能利用条件判定 ab 1， 导致求解受阻 2 (1)a bab 0是对非零向量而言的 ， 若 a 0时 ，ab 0， 但不能说 a b.(2)a bab 0， 体现了 “ 形 ” 与“ 数 ” 的转化 ， 用之可解决几何问题中的线线垂直问题 (2012江西高考 )设单位向量 m (x， y)， b (2， 1) 若 m b， 则 |x 2y| _ 【解析】 设单位向量 m ( x ， y ) ，则 1 ，若m b ，则 m b 0 ，即 2 x y 0 ，解得 5，所以 | x |55，| x 2 y | 5| x | 5 . 【答案】 5 已知 | a | 4 ， | b | 3 ， (2 a 3 b ) ( 2 a b ) 61 ， ( 1) 求 a 与 b 的夹角 ； ( 2) 求 | a b |； ( 3) 若 a ， b ，求 面积 【思路点拨】 平面 向量数量积的定义 夹角公式 求模公式 面积公式 【尝试解答】 ( 1 ) (2 a 3 b ) ( 2 a b ) 61 ， 4| a |2 4 a b 3| b |2 61. 又 | a | 4 ， | b | 3 ， 64 4 a b 27 61 ， a b 6. c a b| a | b | 64 312. 又 0 ， 2 3. ( 2) 可先平方转化为向量的数量积 | a b |2 ( a b )2 | a |2 2 a b | b |2 42 2 ( 6) 32 13 ， | a b | 13 . ( 3) 由 ( 1) 知， 与 的夹角 2 3， 2 33. 又 | | | a | 4 ， | | | b | 3 ， S 12| | | s 12 4 3 32 3 3 . 1 (1)在进行向量模与夹角的计算时 ， 关键是求出向量的数量积 ， 注意避免错用公式 如 |a|2是正确的 ， 而 ab |a|b|和 |ab| |a|b|都是错误的 (2) 研究向量的夹角应注意 “ 共起点 ” ； 由于两个非零共线向量有方向相同和方向相反两种情况 ， 故它们的夹角分别是 0 与 180 . 2 (1)求两向量的夹角 ， 进而确定两直线的夹角时 ， 要注意两者的区别与联系 (2)求向量的长度 ， 进而可解决平面上两点间的距离 ， 求线段的长度问题 ( 1) ( 2013 武汉模拟 ) 若向量 a (1 ， 2) ， b (1 ， 1) ，则2 a b 与 a b 的夹角等于 ( ) A 4( 2) ( 2012 课标全国卷 ) 已知向量 a ， b 夹角为 45 ，且 | a | 1 ， |2 a b | 10 ，则 | b | _ 【解析】 ( 1) 2 a b 2( 1 ， 2) (1 ， 1 ) (3 ， 3) ， a b (1 ， 2) (1 ， 1) (0 ， 3) ， (2 a b ) ( a b ) 9 ， |2 a b | 3 2 ， | a b | 3. 设所求两向量夹角为 ，则 c 93 2 322， 4. ( 2) a ， b 的夹角为 45 ， | a | 1 ， a b | a | | b |c 45 22| b |， |2 a b |2 4 4 22| b | | b |2 10 ， | b | 3 2 . 【答案】 ( 1 ) C ( 2 ) 3 2 两个非零向量垂直的充要条件： a bab 0. 1.若 ab 0， 能否说明 a和 2 若 ab 0， 能否说明 a和 1. 数量积运算不满足消去律，若向量 a ， b ， c 满足 a b a c ( a 0) ，则不一定有 b c . 2 数量积运算不满足结合律，即 ( a b ) c a ( b c ) ，这是由于 ( a b ) c 表示一个与 c 共线的向量， a ( b c ) 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此 ( a b ) c 与 a ( b c ) 不一定相等 3 领会向量夹角的概念，比如正三角形 ， 夹角应为 120 ，而不是 60 . 向量的数量积运算 、 向量的垂直是高考考查的热点 ， 属中低档题目 平面向量数量积的计算 ， 向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体 ， 常与平面几何 、 三角函数 、 解三角形 、 解析几何知识交汇命题 ，主要考查运算能力及数形结合思想 思想方法之八 转化思想 在数量积计算中的应用 ( 20 12 江西高考 ) 在直角三角形 ，点 D 是斜边中点，点 P 为线段 中点，则| 2 | 2| 2 ( ) A 2 B 4 C 5 D 10 【解析】 ， | |2 2 . ， | |2 2 . | |2 | |2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 . 【 答案 】 D 又 2 16 2 ， 2 ，代入上式整理得 | | 2 | 2 10| | 2 ，故所求值为 10. 易错提示： ( 1) 转化与化归思想意识不强，难以入手，盲目求解，无果而终 ( 2) 运算过程中，对隐含条件 2 16 挖掘不够，无法正确解答本题 防范措施： ( 1) 树立转化与化归意识，在平面向量数量积的计算过程中，对模和夹角均未知的向量一般是利用平面向量的加减和数乘运算，把未知向量转化为已知向量 ( 2) 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半本题中出现斜边的中线这一条件，稍加联想不难发现隐含条件 1 (2012辽宁高考 )已知两个非零向量 a， a b| |a b|， 则下面结论正确的是 ( ) A a b B a b C |a| |b| D a b a b 【 解析 】 因为 |a b| |a b|， 所以 (a b)2 (a b)2，即 ab 0， 故 a b. 【 答案 】 B 【 答案 】 A 2 ( 201 2 天津高考 ) 已知 等边三角形， ， Q 满足 A P (1 ) R. 若 B Q 32，则 ( ) 1 102D. 3 2 22【解析】 ( ) ( ) (1 ) ( ) 32 ，所以 4 2 4 1 0 ，所以 12 . 第二节 平面向量的基本定理及坐标运算 1 平面向量基本定理 如果 _向量 ， 那么对于该平面内任一向量 a， 有且只有一对实数 1， 2， 使 a_ 2 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 _的向量 ， 叫做把向量正交分解 不共线 12相垂直 3 平面向量的坐标表示 ( 1 ) 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i、 j 作为基底对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x 、 y ，使 a 把有序 数对 _ _ _ _ _ _叫做向量 a 的坐标，记作 a _ _ _ _ _ _ _ _ ，其中 _ _ _ _ _ 叫做 a 在x 轴上的坐标， _ _ _ _ _ 叫做 a 在 y 轴上的坐标 ( 2 ) 设 则向量 坐标 ( x ， y ) 就是 _ _ _ _ _ _ 的坐标，即若 ( x ， y ) ，则 A 点坐标为 _ _ _ _ _ _ _ _ ，反之亦成立 ( O 是坐标原点 ) (x， y) (x， y) x y 终点 A (x， y) 4 平面向量的坐标运算 【 提示 】 不正确 求两向量的夹角时 ， 两向量起点应相同 ， 向量 a与 1 在 A B C 中，设 a ， b ，则向量 a 与 b 的夹角为 A B C 是否正确？ 2 若 a (x 1 ， y 1 ) ， b (x 2 ， y 2 ) ，则 a b 的充要条件能不能 写成 x 1y 1 【提示】 不能因为当 b (0 ， 0) 时，有 a b ，但此时不能写成 x 1y 1 【 解析 】 中 ， 2 中 4e2， 故选 A. 【 答案 】 A 1 ( 人教 A 版教材习题改编 ) 下列各组向量： e 1 ( 1 ， 2) ， e 2 (5 ， 7) ； e 1 (3 ， 5) ， e 2 (6 ， 10) ； e 1 (2 ， 3) ， e 2 (12，34) ，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 ( ) A B C D 2 若 a (3， 2)， b (0， 1)， 则 2b ) A (3， 4) B ( 3， 4) C (3， 4) D ( 3， 4) 【 解析 】 2b a 2(0， 1) (3， 2) ( 3， 4) 【 答案 】 D 【 解析 】 a b， 4y 40 0， y 10. 【 答案 】 B 3 已知 a (4 ， 5) ， b (8 ， y ) 且 a b ，则 y 等于 ( ) A 5 B 1 0 C. 32 5 D 15 【 答案 】 A 4 ( 20 12 广东高考 ) 若向量 (1 ， 2) ， (3 ， 4) ，则 ( ) A (4 ， 6) B ( 4 ， 6) C ( 2 ， 2) D (2 ， 2) 【解析】 ， (1 ， 2) (3 ， 4) (4 ， 6) 【 答案 】 (1， 2) (0， 1) 5 在平行四边形 ，若 (1 ， 3) ， (2 ，5) ，则 _ ， _ 【解析】 (2 ， 5) (1 ， 3) (1 ，2) ， (1 ， 2) ( 1 ， 3) (0 ， 1) ( 2 0 1 3 扬州模拟 ) 在平行四边形 ， E 和 F 分别是边 中点若 ，其中 ， R ，则 _ 【思路点拨】 以 ， 为基底分别表示 ， ，根据平面向量基本定理列方程组求解 【尝试解答】 选择 为平面向量的一组基底，则 12 12 又 (12 ) ( 12 ) 所以 43. 【答案】 43 1 解答本题的关键是根据平面向量基本定理列出关于， 的方程组 2 (1)利用平面向量基本定理表示向量时 ， 要选择一组恰当的基底来表示其他向量 ， 即用特殊向量表示一般向量 常与待定系数法 、 方程思想紧密联系在一起解决问题 (2)利用已知向量表示未知向量 ， 实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算 ， 在解题时 ， 注意方程思想的运用 ( 2013 苏北四市模拟 ) 如图 4 2 1 ，在四边形 ， ，设 a ， b ，若 2 ，则 _( 用向量 a 和 b 表示 ) 【解析】 由 2 知， | | 2| |，从而 | 2| |. 2323( ) 23( a b ) ， b 23( a b ) 23a 13b . 【答案】 23 a 13 b 【 思路点拨 】 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点 、 终点坐标的关系求解 已知 O (0 ， 0) ， A ( 2 ， 4) ， B (3 ， 1) ， C ( 3 ， 4) 设 a ， b ， c ，且 3 c ， 2 b ， ( 1) 求： 3 a b 3 c ； ( 2) 求满足 a 实数 m ， n ； ( 3) 求 M 、 N 的坐标及向量 的坐标 【尝试解答】 a (3 ( 2) ， 1 4) (5 ，5) ， b ( 3 3 ， 4 ( 1) ) ( 6 ， 3) ， c ( 2 ( 3) ， 4 ( 4) ) (1 ， 8) ( 1) 3 a b 3 c ( 15 ， 15) ( 6 ， 3) (3 ， 24) ( 15 6 3 ， 15 3 24 ) (6 ， 42) ( 2) 由 a 得 (5 ， 5) ( 6 m ， 3 m ) ( n ，8 n ) ( 6 m n ， 3 m 8 n ) ( 3) 3 c ， 3 c (3 ， 24 ) ( 3 ， 4) (0 ， 20) M (0 ， 20) 又 2 b ， 2 b ( 12 ， 6) ( 3 ， 4) (9 ， 2) ， N (9 ， 2) (9 ， 18) 1 向量的坐标运算主要是利用向量加减 、 数乘运算的法则进行 若已知有向线段两端点的坐标 ， 则应先求向量的坐标 ， 注意方程思想的应用 2 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言 “ 坐标语言 ” ， 实质是 “ 形 ” 化为 “ 数 ” 向量的坐标运算 ， 使得向量的线性运算都可用坐标来进行 ， 实现了向量运算完全代数化 ， 将数与形紧密结合起来 已知向量 (3 ， 1) ， ( 1 ， a ) ， a R. ( 1) 若 D 为 点， ( m ， 2) ，求 a 、 m 的值； ( 2) 若 直角三角形，求 a 的值 【解】 ( 1) 因为 (3 ， 1) ， ( 1 ， a ) ， 所以 12( ) (1 ，1 又 ( m ， 2) ， ( 2) 因为 直角三角形， 所 以 A 90 或 B 90 或 C 90 . 当 A 90 时，由 得 3 ( 1) 1 a 0 ， 所以 a 3 ； 当 B 90 时 ，因为 ( 4 ， a 1) ， 所以由 得 3 ( 4) 1 ( a 1) 0 ， 所以 a 13 ； 当 C 90 时，由 得 1 ( 4) a ( a 1) 0 ， 即 a 4 0 ，因为 a R ，所以无解综上所述， a 3 或 13. ( 1) ( 201 3 长沙模拟 ) 设向量 a ， b 满足 |a | 2 5 ， b (2 ， 1) ，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 _ ( 2) ( 201 3 无锡模拟 ) 若平面向量 a ， b 满足 |a b | 1 ， a b 平行于 x 轴， b (2 ， 1) ，则 a _ 【思路点拨】 ( 1 ) 根据 a 与 b 的关系，设出 a 的坐标，再根据 |a | 2 5 求解； ( 2) 直接设出 a 的坐标，根据条件列方 程组求解 【 答案 】 (1)( 4， 2) (2)( 1， 1)或 ( 3， 1) 【尝试解答】 ( 1 ) a 与 b 的方向相反且 b (2 ， 1) ， 设 a b (2 ， ) ， 0 ， 又 |a | 2 5 ， 4 2 2 20 ，即 2 4 ， 又 0 ， 2 ，因此 a ( 4 ， 2) ( 2) 设向量 a ( m ， n ) ，则 a b ( m 2 ， n 1) ， |a b | 1 ，且 a b 平行于 x 轴， 因此 a ( 1 ， 1) 或 a ( 3 ， 1) 1 两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若 a( b ( 则 a 0；(2)若 a b(a0)， 则 b a. 2 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行 ， 也可以由平行求参数 当两向量的坐标均非零时 ， 也可以利用坐标对应成比例来求解 ( 1) 已 知向量 a (1 ， 2) ， b (1 ， 0) ， c (3 ， 4) 若 为实数， ( a b ) c ，则 ( ) 1 D 2 ( 2) 已知向量 (3 ， 4) ， (6 ， 3) ， (5 m ， 3 m ) ，若点 A 、 B 、
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