（安徽专用）2014届高考数学 第四章课件 文（打包5套）新人教A版
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（安徽专用）2014届高考数学 第四章课件 文（打包5套）新人教A版,安徽,专用,高考,数学,第四,课件,打包,新人
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第三节 平面向量的数量积 1 平面向量的数量积 (1)数量积的定义：已知两个非零向量 a和 b， 它们的夹角为 ， 则向量 a与 _， 记作 ab， 即ab _ 规定：零向量与任一向量的数量积为_ (2)向量的投影：设 为 a与 则向量 a在 _；向量 b在 _ (3)数量积的几何意义：数量积 aa|与_的乘积 |a|b| |a|b| 0 |a| |b| b在 b| 2 平面向量数量积的运算律 (1)交换律： ab ba； (2)数乘结合律： (a)b _ _； (3)分配律： a(b c) _ (ab) a(b) ab ac 3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a ( b ( 为向量 a， 结论 几何表示 坐标表示 模 | a | a a | a | _ 数量积 a b | a | b | c a b c a b| a | b |c _ a b 的充要条件 a b 0 _ x 1 x 2 y 1 y 2x 21 y 21 x 22 y 22 x 1 x 2 y 1 y 2 0 结论 几何表示 坐标表示 | a b |与| a | b |的关系 | a b | | a | b |( 当且仅当 a b 时等号成立 ) | x 1 x 2 y 1 y 2 | _ y 21 x 22 y 22 1 若 ab bc， 则 a 【 提示 】 不一定 b 0时就不成立 2 (ab)c a(bc)一定成立吗 ？ 【 提示 】 不一定成立 (ab)a(bc)是与 而 a与 故 (ab)ca(bc)不一定成立 3 你能根据数量积的定义证明： |a|b|ab|a|b|吗 ？ 【 提示 】 设向量 a与 ， 则 ab |a|b|， 0， 11， |a|b|ab|a|b|. 【 答案 】 C 1 ( 人教 A 版教材习题改编 ) 已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ，| b | 4 ，且 a b 2 ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) 析】 向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， | b | 4 ，且 a b 2 ， 设 a 与 b 的夹角 为 ，则 c o s a b| a | | b | 12 ， 3 . 【 解析 】 |ab| |a|b|， 故 【 答案 】 B 2 已知向量 a ， b 和实数 ，下列选项中错误的是 ( ) A | a | a a B | a b | | a | | b | C ( a b ) a b D | a b | | a | | b | 【 答案 】 D 3 已知 | a | 4 ， | b | 3 ， a 与 b 的夹角为 120 ，则 b 在 a 方向上的投影为 ( ) A 2 B 2 D 32【解析】 b 在 a 方向上的投影为 | b | c o s 120 3 ( 12)32. 【 解析 】 ab (1， 1)(2， x) 2 x 1x 1. 【 答案 】 D 4 ( 201 2 辽宁高考 ) 已知向量 a (1 ， 1) ， b (2 ， x ) ，若 a b 1 ，则 x ( ) A 1 B 1 5 已知 a (1， 3)， b (4， 6)， c (2， 3)， 则 (bc) ) A (26， 78) B ( 28， 42) C 52 D 78 【 解析 】 bc 4 2 6 3 26， (bc)a (26， 78) 【 答案 】 A ( 1) ( 20 12 浙江高考 ) 在 ， M 是 中点， 3 ， 10 ，则 _ ( 2) ( 20 12 北京高考 ) 已知正方形 边长为 1 ，点 B 边上的动点，则 的值为 _ ； 的最大值为 _ 【思路点拨】 ( 1 ) 把 ， 用 ， 或 表示； ( 2 ) 建立平面直角坐标系，把向量用坐标表 示 【尝试解答】 ( 1 ) 如图所示， ， ， ( ) ( ) 2 2 | | 2 | | 2 9 25 16. (2) 如图所示 ， 以 由于正方形边长为 1， 故B(1， 0)， C(1， 1)， D(0， 1) 又 E 在 上 ， 故设 E(t ，0)(0t1) 则 ( t ， 1) ， (0 ， 1) 故 1. 又 (1 ， 0) ， 【 答案 】 (1) 16 (2)1 1 ( t ， 1 ) ( 1 ， 0) t . 又 0 t 1 ， 的最大值为 1. 1 平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算 2 ( 1 ) 要有 “ 基底 ” 意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本题 ( 1 ) 中用 示 ( 2 )注意向量夹角的大小，以及夹角 0 ， 90 ， 1 8 0 三种特殊情形 3 应当注意： ( 1 ) 向量数量积 a b 中的 “ ” 既不能省略，也不能写成 “” ； ( 2 ) 向量的数量积满足 “ 交换律 ” 、 “ 分配律 ” ，但不满足 “ 结合律 ” ( 2 0 1 3 长沙模拟 ) 在边长为 1 的正三角形 中，设 2 ， 3 ，则 _ _ _ _ _ _ _ _ 【解析】 2 3 点 D 是线段 中点，点 E 是线段 三等分点， 以向量 为基向量， 12( ， 23 12( (23 131216A B ， 又 | | | | 1 ，且 ， 3. 131216| | | co s 314. 【答案】 14 (1)(2012安徽高考 )设向量 a (1， 2m)， b (m 1，1)， c (2， m) 若 (a c) b， 则 |a| _ (2)(2013郑州模拟 )已知 a与 若向量 a 则 k_ 【 思路点拨 】 (1)求出 a 利用 (a c)b0求出 m； (2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于 进而解方程求 【尝试解答】 ( 1 ) a c (1 ， 2 m ) (2 ， m ) (3 ， 3 m ) ( a c ) b ， ( a c ) b (3 ， 3 m ) ( m 1 ， 1) 6 m 3 0 ， m 12. a (1 ， 1) ， | a | 2 . ( 2) a 与 b 是不共线的单位向量， | a | | b | 1. 又 b 与 a b 垂直， ( a b ) ( b ) 0 ， 即 b a b 0. k 1 b a b 0. 即 k 1 k c c 0. ( 为 a 与 b 的夹角 ) ( k 1) ( 1 c ) 0. 又 a 与 b 不共线， c 1 ， k 1. 【答案】 ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 1 (1)非零向量垂直的充要条件： a bab 0|ab| |a b|0.(2)本例 (2)中常见的错误是不能利用条件判定 ab 1， 导致求解受阻 2 (1)a bab 0是对非零向量而言的 ， 若 a 0时 ，ab 0， 但不能说 a b.(2)a bab 0， 体现了 “ 形 ” 与“ 数 ” 的转化 ， 用之可解决几何问题中的线线垂直问题 (2012江西高考 )设单位向量 m (x， y)， b (2， 1) 若 m b， 则 |x 2y| _ 【解析】 设单位向量 m ( x ， y ) ，则 1 ，若m b ，则 m b 0 ，即 2 x y 0 ，解得 5，所以 | x |55，| x 2 y | 5| x | 5 . 【答案】 5 已知 | a | 4 ， | b | 3 ， (2 a 3 b ) ( 2 a b ) 61 ， ( 1) 求 a 与 b 的夹角 ； ( 2) 求 | a b |； ( 3) 若 a ， b ，求 面积 【思路点拨】 平面 向量数量积的定义 夹角公式 求模公式 面积公式 【尝试解答】 ( 1 ) (2 a 3 b ) ( 2 a b ) 61 ， 4| a |2 4 a b 3| b |2 61. 又 | a | 4 ， | b | 3 ， 64 4 a b 27 61 ， a b 6. c a b| a | b | 64 312. 又 0 ， 2 3. ( 2) 可先平方转化为向量的数量积 | a b |2 ( a b )2 | a |2 2 a b | b |2 42 2 ( 6) 32 13 ， | a b | 13 . ( 3) 由 ( 1) 知， 与 的夹角 2 3， 2 33. 又 | | | a | 4 ， | | | b | 3 ， S 12| | | s 12 4 3 32 3 3 . 1 (1)在进行向量模与夹角的计算时 ， 关键是求出向量的数量积 ， 注意避免错用公式 如 |a|2是正确的 ， 而 ab |a|b|和 |ab| |a|b|都是错误的 (2) 研究向量的夹角应注意 “ 共起点 ” ； 由于两个非零共线向量有方向相同和方向相反两种情况 ， 故它们的夹角分别是 0 与 180 . 2 (1)求两向量的夹角 ， 进而确定两直线的夹角时 ， 要注意两者的区别与联系 (2)求向量的长度 ， 进而可解决平面上两点间的距离 ， 求线段的长度问题 ( 1) ( 2013 武汉模拟 ) 若向量 a (1 ， 2) ， b (1 ， 1) ，则2 a b 与 a b 的夹角等于 ( ) A 4( 2) ( 2012 课标全国卷 ) 已知向量 a ， b 夹角为 45 ，且 | a | 1 ， |2 a b | 10 ，则 | b | _ 【解析】 ( 1) 2 a b 2( 1 ， 2) (1 ， 1 ) (3 ， 3) ， a b (1 ， 2) (1 ， 1) (0 ， 3) ， (2 a b ) ( a b ) 9 ， |2 a b | 3 2 ， | a b | 3. 设所求两向量夹角为 ，则 c 93 2 322， 4. ( 2) a ， b 的夹角为 45 ， | a | 1 ， a b | a | | b |c 45 22| b |， |2 a b |2 4 4 22| b | | b |2 10 ， | b | 3 2 . 【答案】 ( 1 ) C ( 2 ) 3 2 两个非零向量垂直的充要条件： a bab 0. 1.若 ab 0， 能否说明 a和 2 若 ab 0， 能否说明 a和 1. 数量积运算不满足消去律，若向量 a ， b ， c 满足 a b a c ( a 0) ，则不一定有 b c . 2 数量积运算不满足结合律，即 ( a b ) c a ( b c ) ，这是由于 ( a b ) c 表示一个与 c 共线的向量， a ( b c ) 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此 ( a b ) c 与 a ( b c ) 不一定相等 3 领会向量夹角的概念，比如正三角形 ， 夹角应为 120 ，而不是 60 . 向量的数量积运算 、 向量的垂直是高考考查的热点 ， 属中低档题目 平面向量数量积的计算 ， 向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体 ， 常与平面几何 、 三角函数 、 解三角形 、 解析几何知识交汇命题 ，主要考查运算能力及数形结合思想 思想方法之八 转化思想 在数量积计算中的应用 ( 20 12 江西高考 ) 在直角三角形 ，点 D 是斜边中点，点 P 为线段 中点，则| 2 | 2| 2 ( ) A 2 B 4 C 5 D 10 【解析】 ， | |2 2 . ， | |2 2 . | |2 | |2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 . 【 答案 】 D 又 2 16 2 ， 2 ，代入上式整理得 | | 2 | 2 10| | 2 ，故所求值为 10. 易错提示： ( 1) 转化与化归思想意识不强，难以入手，盲目求解，无果而终 ( 2) 运算过程中，对隐含条件 2 16 挖掘不够，无法正确解答本题 防范措施： ( 1) 树立转化与化归意识，在平面向量数量积的计算过程中，对模和夹角均未知的向量一般是利用平面向量的加减和数乘运算，把未知向量转化为已知向量 ( 2) 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半本题中出现斜边的中线这一条件，稍加联想不难发现隐含条件 1 (2012辽宁高考 )已知
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