（名师整合）（同步辅导）2015高中数学导学案（全册打包23套）北师大版必修4
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（名师整合）（同步辅导）2015高中数学导学案（全册打包23套）北师大版必修4,名师,整合,同步,辅导,高中数学,导学案,打包,23,北师大,必修
- 内容简介：
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1 第 5 课时 平面向量的坐标表示及其运算 理解直角坐标系中 的特殊意义 . 并能正确用坐标表示坐标平面上的向量 ,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示 . 与数乘运算 . 足球运动员在踢足球的过程中 ,将球踢出时的一瞬间的速度为 . 能否建立适当的坐标系 ,表示踢出时的水平速度和竖直速度 ?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个 速度呢 ? 问题 1:平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量的线性表示 ,叫作向量的正交分解 ,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例 ,即当基底 时的情况 . 问题 2:平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内 ,分别取与 i、 如图 ,以坐标原点 a,由平面向量基本定理可知 , 一对实数 x,y,使得 = ,因此 a=xi+ 叫作向量 记作 . 问题 3:平面向量在坐标表示下的线性运算 (1)向量和的坐标运算 :若 a=(x1,b=(x2,则 a+b= . 即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 . (2)向量差的坐标运算 :若 a=(x1,b=(x2,则 . 即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 . (3)实数与向量的积的坐标运算 :设 R, a=(x,y),则 a= . 即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘 积 . (4) 的坐标表示 :若 A(x1,B(x2,则 = - = . 即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标 . 2 问题 4:如何用坐标表示两个平面向量共线 ? 由向量的共线定理可知 :若 a,b(b0) 共线 ,则存在唯一的实数使得 x1,b=(x2,0, 则 (x1, (x2, ,得 即两式相减消去 得 ,这就是两个向量平行的条件 向量可与任一向量平行 ,所以在应用时可以去掉 b0, 即 :当且仅当 时 ,向量 a,若 , 且 ( 也可写作 ), 则 可以写成 (两向量平行的条件是相应坐标 ). i、 若 a=(3,4),则 ). i+4j 3i+4j i+3j a=(1,2),b=(-2,m),且 a b,则 2a+3b=( ). A.(4) B.(6) C.(8) D.(10) 3.设 a=(1,2),b=(2,3),若向量 a+b 与向量 c=(7)共线 ,则 = . 4.(1)设向量 a,),(3,求 a+b,a+3b. (2)设 a,b,1,(),(0,5),求 3 平面向量的正交分解 在直角坐标系 ,向量 a,已知 |a|=4,|b|=3,且 5, 05, 分别求向量 a,、 平面向量的坐标运算 已知点 A(),B(2,8)及 = , =- ,求点 C、 坐标 . 3 平行向量的坐标运算 已知四边形 (0,B(),C(x,3),D(3x,x+4),若 在平面内以点 正北方向为 质点在平面内做直线运动 (1)用向量表示沿东北方向移动了 2个长度单位 ; (2)用向量表示沿西偏北 60 方向移动了 3个长度单位 ; (3)用向量表示沿东偏南 30 方向移动了 4个长度单位 . 已知 A、 B、 (2, B(0,6)、 C(0),求向量 +2 - 的坐标 . 已知 a=(1,2),b=(),当 ka+b与 平行时它们是同向还是反向 ? 4 (5),若点 3,7),则点 ). A.(5,12) B.(12,5) C.(2,1) D.(1,2) (1,3),B(4,则与向量 同方向的单位向量为 ( ). A.( ,- ) B.( ,- ) C.(- , ) D.(- , ) 边 则向量 2 +3 + 的坐标为 . ,B,)、 ()、 (3,4),求顶点 (2013年 陕西卷 )已知向量 a=(1,m),b=(m,2), 若 a b,则实数 ). B. 题变式 (我来改编 ): 5 答案 第 5 课时 平面向量的坐标表示及其运算 知识体系梳理 问题 1:相互垂直 垂直 问题 2:有且仅有 xi+x,y) a=(x,y) 问题 3:(1)(x1+x2,y1+(2)(3)(x ,y ) (4)(问题 4:a=b (x 2,y 2) x 2 y 2 零 = 成比例 基础学习交流 1.A a=(3,4)=3i+4j. a=(1,2),b=(-2,m),且 a b,得 1m= 2 (m=而 b=(4),那么2a+3b=2 (1,2)+3 (4)=(8). a+b= (+ 2,2+ 3)与 c=(7)共线 , (+ 2) (2+ 3) (0,解得= 2. 6 (1)a+b=()+(3,(,2(2,)-(3,(+5)=(),2a+3b=2()+3(3,(,4(7, (2)3c=3(1,()+(0,5)=(3,()+(0,5)=(3+2+0,)=(5, 重点难点探究 探究一 :【解析】设 a=(a1,b=(b1, 5, a 1=|a|5 =4 =2 , a|5 =4 =2 , a= (2 ,2 )= , A 点的坐标为 (2 ,2 ). 将 令 , 由题意可知 B20, 所以 b|20 =3 (- )=- , b|20 =3 = , b= (- , ). 又 b= = - , =b+ =(2 - ,2 + ). 故 a=(2 ,2 ),b=(- , ),2 ,2 ),2 - ,2 + ). 【小结】 (1)相等向量的坐标是相同的 ,而它们的起点、终点 坐标可以不同 常常需要把始点不在原点的向量移到原点 . (2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标 ,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标 (3)若已知向量 a=(x,y),a|, ,由三角函数的定义可知 ,x=|a| ,y=|a|. 要注意公式中的 是向量 探究二 :【解析】设点 C(x1,D(x2,由题意得=(, =(3,6), =( = , =- , (, (3,6)=(1,2), (- (6)=(1,2), 则有 和 解得 和 点 C、 0,4)和 (), =(4). 【小结】求点的坐标时 ,可先设点的坐标 ,根据题中给出的关系 ,列出方程组求解即可 . 探究三 :【解析】 , 又 =(x2,x+3), =(2x,x+1), x 2(x+1)x+3)=0, 解得 x=x=0 或 x=3. 问题 上述解法正确吗 ? 结论 不正确 ,错误一 :没有注意四边形 序 ,需满足 , 反向才行 . 错误二 :没有注意向量的平行与线段平行的不同 , 时 , 于是 ,正确解答如下 : =(x2,x+3), =(2x,x+1), 7 在四边形 , 与 平行且反向 . 于是 解得 x=经检验 ,x= 【小结 】两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况 ,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况 ,如本题中要保证 不能在同一条直线上且反向平行 . 思维拓展应用 应用一 :设 (1)(2)(3)中的向量分别为 =a, =b, =c,并设P(x1,Q(x2,R(x3, (1)如图 ,因为 45, | |=2,所以 a= = + = i+ j,所以 a=( , ). (2)因为 60, | |=3, 所以 b= = + =- i+ j, 所以 b=(- , ). (3)因为 30, | |=4, 所以 c= = + =2 所以 c=(2 , 应用二 :A(2, B(0,6)、 C(0), 得 =(0), =(), =(4), +2 - =(0)+2()- (4) =(0)+()-() =(8)-() =(1). 应用三 :(法一 )ka+b=k(1,2)+()=(k+2), 1,2)3,2)=(10, (ka+b)( ( (10(2k+2)=0,解得 k=- . 此时 ka+b=(- +2)=(- , ) =- (10,- ( k= - ,且此时 ka+b与 并且反向 . (法二 )由题意知 ka+b=(k+2),10,当 ka+b与 存在唯一实数 , 使 ka+b= (由 (k+2)= (10, 解得 当 k=- 时 ,ka+b 与 这时 ka+b=- ( = - 0, 它们的方向相反 . 8 k= - ,此时 ka+b 与 并且反向 . 基础智能检测 点 x,y),则=(x,y), =(3,7), = - =(5), 解得 (3,所以 | |=5,这样同方向的单位向量是 =( ,- ),选 A. 3. (3,4) 如图 ,建立直角坐标系 , 有 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), 即 =(1,0), =(0,1), =(1,1
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