（名师整合）（同步辅导）2015高中数学导学案（全册打包23套）北师大版必修4
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（名师整合）（同步辅导）2015高中数学导学案（全册打包23套）北师大版必修4,名师,整合,同步,辅导,高中数学,导学案,打包,23,北师大,必修
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1 第 10课时 三角函数模型的简单应用 能建立三角函数模型来刻画实际问题并加以解决 . 能用此模型探求相关的数据 . 初步领略三角函数模型是处理周期变化现象的重要方法之一 . (显示水车转动的动画 ,再抽象出水车的静态平面图 ,最后抽象出数学平面图 )如图 ,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 m,已知水轮每分钟转动 5圈 ,如果当水轮上点 图中点 开始计算时间 : (1)将点 z(m)表示为时间 t (s)的函数 ; (2)点 问题 1:三角函数能够模拟现实中的许多周期现象 ,试举例说明 : . 问题 2:函数 y=x+ )+B(A0, 0)在物理中的应用 : A 表示 ;周期 T= ,频率 f= = ;x+ 表示 , 表示 . 问题 3:函数 y=x+ )+b(A0, 0)的基本性质 定义域 : ;值域 : ;周期 : ; 奇偶性 :当 = 时为偶函数 ;当 = 且 时为奇函数 ,否则为 函数 . 问题 4:应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题 ,首先要把实际问题抽象为 问题 ,通过分析它的变化趋势 ,确定它的 ,从而建立起适当的 函数模型 ,解决问题的一般程序 : (1)审题 ,先审清楚题目条件、要求、理解 关系 . (2)建模 ,分析题目周期性 ,选择适当的 模型 . (3)求解 ,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论 . (4)还原 ,把数学结论还原为 问 题的解答 . 2 6 2 此可知 ,该振子的振动的 ( ). z .5 s s 一个水轮的半径为 3 m,水轮圆心 m,已知水轮每分钟转动 4圈 ,如果水轮上的点 y(m)与时间 x(s)满足函数关系 y=x+ )+2,则有( ). ,A=3 ,A=3 ,A=5 ,A=5 一年内某种商品每件出厂价在 7千元的基础上 ,按月呈y=x+ )+b(A0, 0,| 0,|0,- ). (1)求 f(t)的表达式 ; (2)求在 2008 距离地面的高度 . 6 如图 ,设点 动点 出发在圆上按逆时针方向旋转一周 ,点 长为 l,弦 长为 d,则函数 d=f(l)的图像大致是 ( ). 考题变式 (我来改编 ): 7 答案 第 10课时 三角函数模型的简单应用 知识体系梳理 问题 1:物理中的简谐振动 ,交流电中的电流 ,水车问题和潮汐等 问题 2:振幅 相位 初相 问题 3:R -A+b,A+b +kZ) kZ) b=0 非奇非偶 问题 4: 数学 周期 三角 (1)数学 (2)三角函数 (4)实际 基础学习交流 于弹簧振子的振幅为 2 所以一个周期内弹簧振子通过的路程为 8 在 6 个周期 ,所以周期为 1.5 s. 图可知 ,振幅 A= =3,每一圈用时 ,即周期 T= =15 s ,= ,所以选 B. +7(1 x 12, xN +) 由题意可知 , =7,T= 8, = = ,又 f (x)=2x+ )+7,(*) 把点 (3,9)代入 (*)式得 + )=1, += +2kZ), 又 |1得 , t+11, t 0, 2 84, 00 ,在 100 , 的半个周期内 , 100 , t ,所以点亮的持续时间为 - = s. 基础智能检测 摆来回摆动一次所需时间正好是函数的一个周期 . = 2, T= =1. 期 T= s,从而频率为每秒 50次 ,0.5 5次 . 函数在一个周期 0,2 内的图像与直线 y=2围成一个封闭的平面图形如图所示的阴影部分 ,根据余弦型函数的对称性 ,可将阴影部分 1、 此阴影部分的面积就等于长方形 2 =4, 0,1000 内函数图像和直线 y=2围成一个封闭的平面图形的面积为 4 =4 500=2000 . (1) 每 3 T= 3 = = . 又 f (t)的最大值为 110 m,最小值为 10 m, h 0,A+h=110,A= 50,h=60, f (t)=50t+ )+60. t= 0时 ,f(0)=10, 50 +60=10, =- , f (t)=50+60. (2)f(2008)=50- )+60 =50338 + - )+60=5060=85 m. 在 2008 距离地面的高度为 85 m. 全新视角拓展 C 令 ,由 |1, 则 l= , ,d=22 即 d=f(l)=20 l2), 它的图像为 C. 1 第 1 课时 同角三角函数的关系式 理解同角三角函数的基本关系式 :; =x,体会由特殊到一般的数学思想方法 . 例如已知某个任意角的正弦、余弦、正切值中的一个 ,求其余两个 . 理解公式的结构及其功能 ,提高三角恒等变形的能力 . “ 物以类聚 ,人以群分 ”, 之所以 “ 分群 ”“ 分类 ” 是因为同类之间有很多的共同点 ,彼此紧密联系 现在研究的三角函数 ,如角的正弦、余弦、正切之间有什么联系 ? 问题 1:同角三角函数基本关系式 ;= ; =1. 问题 2:在上述问题中 ,“ 同角 ” 的含义 :(1)角相同 ;(2)角 是使得函数有意义的 角 ,关系式都成立 ,与角的表达式 . 问题 3:常用的同角三角函数关系式中平方关系和商数关系的变形有哪些 ? 1 ,1 , (+ )2=1+ , ( )2=1- , = ,= . 问题 4:同角三角函数关系式可以解决什么问题 ? 利用这两个公式 ,可以由已知的 个三角函数值求出同角的其余 个三角函数值 ,还可以进行同角三角函数式的恒等变换 ,化简三角函数式或证明三角恒等式 . ). = 且 = = 0且 = = 1且 = 第二象限时 ,= - 2.若 = ,且 ( - ,0),则 =( ). D. = 的值为 . 2 平方关系在求值中的应用 已知 - 0, x 0,故必有 | | ,故 1,这种已知条件隐含着角的范围的问题 ,很容易被忽视 ,应引起充分重视 . 于是 ,正确解法如下 : 由 + = 得 , = - . 又 (0,), 0, 0, 0, + = = = = . 韦达定理得 式两边平方得 1+2 = , 把 代入得 1+2( - )= ,即 m= . 式 = + = + = + =0. 由题意知 = , = = . 全新视角拓展 = - =- ,所以 = = . 思维 导图构建 = 1 = 1 1 第 4 课时 两角和与差的三角函数的应用 弦和正切公式进行化简、求值、证明 . 前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ,并能进行简单的论证 ,两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ,是对第一章三角函数的进一步巩固 ,也是与第二章平面向量的交汇点 ,又是解三角形必备的重要知识点 弦和正切公式的综合应用 ,思考并回答下面几个问题 . 问题 1:两角和与差 的正弦、余弦和正切公式 : C( : = + ; C(+ ): = ; S( :+ )= ; S(+ ): = ; T( : = ; T(+ ):+ )= . 问题 2:两角和与差的正切公式的常用变形 (1)+ = ; = ; (2) = 1- = (3) + )-( + )= ; (4) -( )= . 问题 3:常用的角的变换形式 = - ; = (+ )+ = (+ )- ; (+ )=( - )-( ; +( 、 、 为任意角 . 问题 4:辅助角公式 +b = + )= ,其中角 、 称为辅助角 ,由 a,= ,= ). 2 55 +255 的值为 ( ). C. D. ,- 0,+ )= ,- )= ,则 + )=( ). A. C. + )= , (0, ),则 = . x- x=2 x+ ), ( ),求 的值 . 利用两角和与差的三角公式化简或求值 (1)化简 : ; (2)求值 :20 +0(1 + 0) . 两角和与差的三角公式在解三角形中的应用 已知锐角 +B)= , . (1)求证 :=2; (2)设 ,求 上的高 . 3 利用两角和与差的公式求角 已知 、 都是锐角 ,且 = ,= ,求 +. 计算 33 33 的值等于 ( ). A. B. C. D. 在 已知 ,是方程 3的两个根 ,则 等于 ( ). = ,= ,且 A、 求 A+ 4 + 75) + 45) - + 15) 的值等于 ( ). B. C. =- ,则 x+的值是 ( ). B. . 1 角 A、 B、 =+,则 = . ,= ,+ )= ,求 + )的值 . 如图所示 ,在平面直角坐标系 以 , ,它们的终边分别交单位圆于 A,已知 A, . (1)求 + )的值 ; (2)求 + 2 的值 . 考题变式 (我来改编 ): 5 第 4课时 两角和与差的三角函数的应用 弦和正切公式进行化简、求值、证明 . 前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ,并能进行简单的论证 ,两角 和与差的正弦、余弦和正切公式 ,是对第一章三角函数的进一步巩固 ,也是与第二章平面向量的交汇点 ,又是解三角形必备的重要知识点 弦和正切公式的综合应用 ,思考并回答下面几个问题 . 问题 1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式 : C( : = + ; C(+ ): = ; S( :+ )= ; S(+ ): = ; T( : = ; T(+ ):+ )= . 6 问题 2:两角和与差的正切公式的常用变形 (1)+ = ; = ; (2) = 1- = (3) + )-( + )= ; (4) -( )= . 问题 3:常用的角的变换形式 = - ; = (+ )+ = (+ )- ; (+ )=( - )-( ; +( 、 、 为任意角 . 问题 4:辅助角公式 +b = + )= ,其中角 、 称为辅助角 ,由 a,= ,= ). 55 +255 的值为 ( ). C. D. ,- 0,+ )= ,- )= ,则 + )=( ). A. C. + )= , (0, ),则 = . x- x=2 x+ ), ( ),求 的值 . 利用两角和与差的三角公式化简或求值 (1)化简 : ; (2)求值 :20 +0(1 + 0) . 7 两角和与差的三角公式在解三角形中的应用 已知锐角 +B)= , . (1)求证 :=2; (2)设 ,求 上的高 . 利用两角和与差的公式求角 已知 、 都是锐角 ,且 = ,= ,求 +. 计算 33 33 的值等于 ( ). A. B. C. D. 在 已知 ,是方程 3的两个根 ,则 等于 ( ). 8 = ,= ,且 A、 求 A+ + 75) + 45) - + 15) 的值等于 ( ). B. C. =- ,则 x+的值是 ( ). B. . 1 角 A、 B、 =+,则 = . ,= ,+ )= ,求 + )的值 . 如图所示 ,在平面直角坐标系 以 , ,它们的终边分别交单位圆于 A,已知 A, . (1)求 + )的值 ; (2)求 + 2 的值 . 9 考题变式 (我来改编 ): 第 4课时 两角和与差的三角函数的 应用 弦和正切公式进行化简、求值、证明 . 10 前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ,并能进行简单的论证 ,两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ,是对第一章三角函数的进一步巩固 ,也是与第二章平面向量的交汇点 ,又是解三角形必备的重要知识点 弦和正切公式的综合应用 ,思考并回答下面几个问题 . 问题 1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式 : C( : = + ; C(+ ): = ; S( :+ )= ; S(+ ): = ; T( : = ; T(+ ):+ )= . 问题 2:两角和与差的正切公式的常用变形 (1)+ = ; = ; (2) = 1- = (3) + )-( + )= ; (4) -( )= . 问题 3:常用的角的变换形式 = - ; = (+ )+ = (+ )- ; (+ )=( - )-( ; +( 、 、 为任意角 . 问题 4:辅助角公式 +b = + )= ,其中角 、 称为辅助角 ,由 a,= ,= ). 55 +255 的值为 ( ). C. D. ,- 0,+ )= ,- )= ,则 + )=( ). A. C. + )= , (0, ),则 = . x- x=2 x+ ), ( ),求 的值 . 11 利用两角和与差的三角公式化简或求值 (1)化简 : ; (2)求值 :20 +0(1 + 0) . 两角和与差的三角公式在解三角形中的应用 已知锐角 +B)= , . (1)求证 :=2; (2)设 ,求 上的高 . 利用两角和与差的公式求角 已知 、 都是锐角 ,且 = ,= ,求 +. 12 计算 3c 3 33 的值等于 ( ). A. B. C. D. 在 已知 ,是方程 3的两个根 ,则 等于 ( ). = ,= ,且 A、 求 A+ + 75) + 45) - + 15) 的值等于 ( ). B. C. =- ,则 x+的值是 ( ). B. . 1 角 A、 B、 =+,则 = . 13 ,= ,+ )= ,求 + )的值 . 如图所示 ,在平面直角坐标系 以 , ,它们的终边分别交单位圆于 A,已知 A,是 和 . (1)求 + )的值 ; (2)求 + 2 的值 . 考题变式 (我来改编 ): 14 答案 第 4课时 两角和与差的三角函数的应用 知识体系梳理 问题 1: + ) + 问题 2:(1) + )(1 ) (1+ ) (2) (3) + ) (4) 问题 3:( + ) ( ( ( ( 基础学习交流 式 =55 55 =5 = . 2.C + )= + )-( - )=+ )- )+ )- ),而+ ( , ), - ( , ), + )= ,- )= , + )= + =. 3. (0, ), + ( , ), + )= , = + )- = + ) + )= + = . 3x- x=2 ( x- x) =2 , 又 ( ), =- . 重点难点探究 探究一 :【解析】 (1)原式 = = =5 =0 = = =2- . (2)原式 =(20 +0 ) 0 =(20 +20 ) 0 =2 00 +00 15 =2 0 +10) =2 = . 【小结】对于给角求值问题 ,往往所给角都是非特殊角 ,解决这类问题 的基本思路有 : 化为特殊角的三角函数值 ; 化为正、负相消的项 ,消去求值 ; 化分子、分母出现公约数进行约分求值 . 探究二 :【解析】 (1) +B)= , , = =2, =2. (2) A+B ,+B)= , +B)=- ,即 =- ,将 =2代入上式并整理 ,得 2, 解得 = ,舍去负值 ,得 = , =2=2+ . 设 D, 则 D+ = ,由 ,得 + , + . 【小结】利用三角函数公式解三角形问题时 ,不仅要考虑使公式本身有意义的角度范围 ,还要考虑三角形内角需满足的要求 . 探究三 :【错解】 0 ,0 , 0+ , 又 = ,= , + )= + = + = , 又 0+ , += 或 . 问题 + 会等于 吗 ? 结论 通过求三角函数值求角度时 ,最好求角度范围内是单调函数的三角函数值 ,可避免进一步讨论或出错 , 、 都是锐角 ,= ,= , 0 ,0 ,0+ . 于是 ,正确解答如下 : 0 ,0 , 0+ , 又 = ,= , + )= = - = . 又 在 0 之间 ,余弦值为 的角只有 , += . 思维拓展应用 应用一 :A 原式 =3 =0 = ,故选 A. 应用二 :A 根据韦达定理 ,有 +=- ,=- ,则 = -(A+B)=+B)=- =2. 应用三 :A 、 = ,= , =- =- =- , =- =- =- . +B)=- (- )- = . 又 A, B, A+B2 . 由 ,知 A+B= . 16 基础智能检测 式=+ 45) +30 + 45) - + 45) = + 45) + + 45) + 45) - + 45) - + 45) =0. 2.C x+=x+ x+ x= x+ x= ( x+ x)= =3. =+ =+A)=,又 0,所以 = . 0 , + , + . 又 =+ )= , + )=- =- , + )=- =- . +( + )= + )+( + ) =+ )+ )+ )+ ) = (- )- =- . + )= . 全新视角拓展 (1)由单位圆中三角函数的定义 ,可得 = ,= . 由于 , 为锐角 ,所以 = = ,= = . 从而 = 7,= ,所以 + )= = =(2)因为 + 2 )=+ )+ = = = 0 ,0 ,所以 0+ 2 ,从而 + 2= . 思维导图构建 x+ ) 1 第 3 课时 两角和与差的正切 了解各个公式之间的内在联系 . 同学们好 ,上节课我们学习了两角差的余弦公式 ,并知道将公式进行适当的变形或变换后 ,可得到两角和与差的正弦、余弦公式 并由此推导出两角和与差的正切公式 ,以及正切公式的变形和有关的角度变换 . 问题 1:在下列空白处填写适当的式子 : + )= , + )= + . 当 时 , 得 + )= = , 当 时 ,分子分母同时除以 ,得 :+ )= ; 在上式中 ,以 代换 得 : = . 问题 2:在公式 + )= 中 , 、 、 + 均不等于 ; 在公式 = 中 , 、 、 不等于 . 问题 3:你能写出两角和与差的三角函数的 6个公式的逻辑联系框图吗 ? 问题 4:由公式 = 、 + )= 可得下列变形公式 : (1) + = + ) ; (2) = ; (3) + )-( + )= ; (4) -( )= . 求 的值为 ( ). 2 B. C. D. = 2,则 - )的值是 ( ). A. 8 D. 3.若 + )= ,则 = . 4.求 5,5 的值 . 直接利用两角和与差的正切公式进行化简或求值 求 + )+ + )的值 . 已知角的某种三角函数值求角 已知 + )=2, = . (1)求 的值 ; (2)求 的值 . 两角和与差的正切公式的综合运用 方程 a+1=0(a2)的两根为 ,且 A,B( - , ),则A+B= . 3 求值 :(1+)(1+)(1+)(1+5). 已知 07, 7, 0,0,A ,B( - , ),A ,B( - ,0),A+B ( ),A+B)= = =1. A+B ( ), A+B= - . 【答案】 - 【小结】涉及三角函数值是二次方程的根 ,除了要考虑二次方程有根的条件 ,还要注意根据根的符号和三角函数的意义确定角的范围 . 思维拓展应用 应用一 :若 += 45, 则 1=5 =+ )= , + + = 1, 即 (1+ )(1+ )=2, (1+)(1 +4) =(1+)(1 +3) = =(1+2)(1 +3) =2, 原式 =222(1+5) =222 2=223. 应用二 :(1) 0 ,= , = . (2) 0 ,= , = , 0 . 由 = ,得 = . = + = + = + = = . 由 , 得 = ( 或求 = - 或 = = ) . 应用三 :A 由 得 或 (舍去 ), 6 =- , + )= = =- ,故选 A. 基础智能检测 x= ,x( , ), x=- =- , x=- . = = =选 C. 已知 ,得 = , + = ,则有 = , = ,所以 = ,即 = . 3. + )= + )-( - )= = . (1)原式 = =5 +75) =20 =- . (2) 7 +28) = , 7 +8 =7 +28)(1 78) =178, 原式 =178 +78 =1. 全新视角拓展 - = + )=- ,又 1且 为第三象限的角 , =- , =2, = + )= =- , + )= =- . 思维导图构建 + ) 1 第 2 课时 两角和与差的正弦、余弦 角和的正、余弦公式 . 弦公式进行简单的化简、求值、证明 . 我们在第一章学习了任意三角函数的概念 ,知道一些特殊角的三角函数值 ,如 5 = ,0 = ,由此我们能否得到 5 =5 的值 ?大家可以猜想 ,是不是等于 5 0 呢 ? 问题 1:5 =5 =5 0 (填 “ 是 ” 或 “ 是不 ”) 成立的 ,如果不成立 ,那么不查表求得 5 的值是 . 问题 2:如何用向量的方法探究 的表达式 ? 如图 ,在直角坐标系 ,分别作 、 ,它们的终边分别与单位圆 、 则 =( , ), =( , ). = + ,设 与 的夹角为 ,则 =| | | |= . = . 问题 3:两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导 (1)+ )= -( = )+ ) = ; (2) + )=-( + ) = = ; (3) = +( = )+ ) = . 2 问题 4:C( 、 C(+ )、 S(+ )、 S( 公式间的特点 两角和与差的余弦公式的特点 :同名积、符号反、任意角 . 两角和与差的正弦公式的特点 : 、 、 . 求 5 的值为 ( ). A. B. C. D. = , ( ,),= - , 是第三象限角 ,则 、 a+ )的值分别是 ( ). A. 、 B. 、 - - 、 是锐角 ,且 = ,+ )=- ,则 = . = - , ( ,), 求 的值 . 利用两角和与差的三角函数公式进行化简或求值 化简或计算下列各题 : (1) (2) 5 + )+ 5 + ). 已知角的三角函数值或关系式求相关角的三角函数值 已知 是第二象限角 ,= ,求 + )的值 . 3 两角和与差的三角函数公式在三角形问题中的应用 已知角 A,B, 且 = ,= ,求 的值 . 求 37 +367 的值 . 已知 + + = 0,+ + = 0,求 的值 . 在 已知 ,则 00 +00 的值为 ( ). B. C. 值为 ( ). . , ( ,),+ )=- , - )= ,则 + )= . 4 , 均为锐角 ,= ,+ )=- ,求 的值 . (2013年 广东卷 )已知函数 f(x)= ,xR . (1)求 f( )的值 ; (2)若 = , ( ,2), 求 f( - ). 考题变式 (我来改编 ): 5 答案 第 2课时 两角和与差的正弦、余弦 知识体系梳理 问题 1:是不 问题 2: + 问题 3:(1) (2) + (3) 问题 4:异名积 符号同 任意角 基础学习交流 1.B 5 =5 +30) =50 50 = - = . ( ,),= , = - =- = - , 是第三象限角 , = - =- =- ,又 = = (- )-(- ) (- )=- , + )= + = (- )+(- ) (- )= . 3. 是锐角 ,= , = = = , 又 + )=- ,+ (0,), + )= = = , = + )=+ ) + )= -(- ) = . = - ,且 ( ,), = = , =+ = (- )+ = . 重点难点探究 探究一 :【解析】 (1)原式=- )- )= . (2)原式 = -(25 + )=60) =0 = . 【小结】对于一些不能直接求值的三角函数 ,可先通过变形、代换进行简化 ,再利用两角和与差的正弦、余弦公式将其转化为我们所熟知的角的三角函数值 ,从而达到求值的目的 . 探究二 :【解析】 是第二象限角 ,= , =- =- . + )= = (- )- = . 6 【小结】对于这类题型 ,可活用和角公式和差角公式 ,根据已知角与相关角的关系将公式中的相关未知数求出 ,再代入公式求值即可 . 探究三 :【解析】由 = ,得 A(0, ),故 = . 又 = , = . 问题 能为负数吗 ? 结论 不能 ,由于 A,B, 存在隐含条件 ,故应当进行检验 . 于是 ,正确解答如下 : 舍去 ), = , = - =- . 【小结】对于三角形中的有 关求值问题 ,要注意其隐含条件 (三角形的内角和为180), 在检验时可借助三角函数的图象与性质 . 思维拓展应用 应用一 :原式 =3 7 +30 +77) =37 37 =3 +77) =20 =- . 应用二 :由题意可得 + = ,+ = , ( + )2+( + )2=1, 即 2+2 =1, =- . 应用三 :在 ,00, 即 +B)0, 0, 即 0,C 一定为钝角 , 基础智能检测 1.C 00 +00 =00 +00 =0 = . 式 =2( ) =2( =2- )=- . 由已知可得 + )= , - )=- ,故 + )= + )-( - )= + ) - )+ + ) - )=- . , 均为锐角 , = = , + )= = , = + )= + ) + + ) =- + = . 全新视角拓展 (1)f( )= - )= =1. (2)f( - )= - - )= - )= ( = + . = , ( ,2 ), =- =- . f ( - )= - =- . 1 第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切 弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式 . 了解倍角公式和半角公式的内在联系 . 2002年 8月 ,在北京召开了国际数学家大会 ,大会会标如图所示 ,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 ,若直角三角形中较小的锐角为 ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积是 ,你能求出 值 吗 ? 问题 1:二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)= ( 为任意角 ); (2)= = - ( 为任意角 ); (3)= ( +且 + ,kZ) . 问题 2:半角的正弦、余弦、正切公式 ; ; = = . 问题 3:如何根据倍角公式导出半角公式 ? 单角和倍角是相对的 , 是 的倍角 ,在问题 1中如果使用这个关系 ,则得到 , ,把这个式子开方得 , ,再根据同角三角函数关系可得 ,符号由 所在象限决定 = = = ,这组公式称为半角公式 . 问题 4:二倍角公式与和 (差 )角公式有什么内在联系 ? 2 值为 ( ). A. B. C. D. 2. 等于 ( ). A.- B. 3. = . 设情境中的问题 . 直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值 将下列三角函数式进行化简或求值 : (1)8 (2) - ; (3)(; 二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用 已知 + = , (0, ), - )= , ( , ). (1)求 和 的值 ; (2)求 + 2 )的值 . 3 已知角的某种三角函数值求值或角 已知方程 a+1=0(a1)的两根分别为 , ,且 , ( - , ),则值是 . 将下列三角函数式进行化简或求值 : (1) ; (2) (00, = = = . 3. 原式 = ( )= = 5 = . 在 设 |x, 由于 以 |x. 由题意知 ,|1,| , 而 |+|=|,x 2+( +x)2=1, x= , =x= , 21=2 ( )2 . 重点难点探究 探究一 :【解析】 (1)原式 =42 . (2)原式 = =. (3)原式 = . 【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换 ,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系 ,找到解题的突破口与方向 注意公式的正确使用 . 探究二 :【解析】 (1)由题意得 (+ )2= ,即 1+= , = . 又 2 (0, ), = = , = = . (2) ( , ), - (0, ), - )= , - )= , ( - )=2 - ) - )= , 又 ( - )= , =- , 又 2 ( , ), = . = , (0, ), = , = . +2 )= = (- )- =- . 【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时 ,要注意角的范围 ,以免出现多解、漏解 . 6 探究三 :【解析】由韦达定理得 ,+ = = 3a+1, + )= = = , 又 + )= = , 整理 ,得 232=0, 又 , ( - , ), + ( ), ( - , ), . 问题 吗 ? 结论 ,a 1, + = 1, + = 0,0, += = = = . 3.1 +15) + - = + - =1+ +30) + - =1+ 0 7 30 + 0 + 0 - =1+ 2 0 - =1. f(x)= x+x= (1x =x+ =-(2+ . 令 t=x,则由 - x 得 ,- t ,根据二次函数 y=-(2+ 的性质得当 t=小值 - . 全新视角拓展 (1)由已知可得 , f(x)= = (1+x)- = x+ ). 所以 f(x)的最小正周期为 2, 值域为 - , . (2)由 (1)知 ,f( )= + )= , 所以 + )= . 所以 = +2 )=(+ ) =1+ )=1- = . 思维导图构建 1 第 6 课时 从力做功到向量的数量积 功 ” 等实例 ,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义 . 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 . 一只飞着的天鹅拉着地上的小车行驶在一条笔直的马路上 ,如图所示 ,当小车前进了 你能算出天鹅对小车所做的功吗 ? 问题 1: (其中 =,称为向量 a、 叫作向量 a、 ),记作 a b,即 . 把 |a| 叫作向量 a在 . 如图 , =a, =b,过点 B,垂足为 a|. 投影是一个数量 ,不是向量 ;当 为锐角时 ,它是 值 ;当 为钝角时 ,它是 ;当 = 90 时 ,它是 ;当 = 0 时 ,它是 ;当 = 180 时 ,它是 . 问题 2:向量与物理学中一些矢量的关系 向量是既有 又有方向的量 ,它们可以有共同的 作用点 ,也可以没有共同的作用点 (即与作用点 );力也是既有 又有 的量 ,且作用于 作用点 (即力与作用点 )往往是把向量平移到同一作用点上 . 2 物理学中 ,速度、加速度与位移的合成与分解 ,实质上是向量的加、减法运算 ,而运动的 也用到向量的 ;力的做功是力在物体前进方向上的分力与物体 的乘积 ,它的实质是 . (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角 ,即 ,功是一个 ,它可以是 、负数或 0. (2)在解决问题时要注意数形结合 . 问题 3:向量数量积的运算律 已知向量 a、 b、 ,则 (1)a b= (交换律 ); (2)(a ) b= = (对实数的结合律 ); (3)(a+b) c= (分配律 ). 问题 4:向量数量积的性质 : (1)如果 则 a e=e a= ; (2)非零向量 a,b,a b ; (3)a a= 或 |a|= ; (4) ; (5)|a b| |a|b|. a|=|b|=1,a与 0, 且 c=2a+3b,d= c d,则实数 ). (),B(1,3),向量 a=(2),若 a,则实数 ). a、 b,其中 |a|= ,|b|=2,且 ( a,则向量 a和 . 4.设 x、 yR ,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,且 a c,b c,求 |a+b|. 3 向量数量积的概念 已知 a、 b、 有下列三个说法 : (1)若 |b|=|c|,则 |a b|=|a c|; (2)(a b)|c|=|a|(b c); (3)若 |a b|=|a|b|,则 a b. 其中正确的个数为 ( ). 量的夹角与模的运算 已知 |a|=3,|b|=4,且 a与 20, 求 : (1)(;(2)|a+b|. 向量数量积在物理学中的运用 一艘船以 5 km/而该船实际航行的方向与水流方向成30 角 ,求水流速度与船的实际速度 . 已知 |a|=3,|b|=2,若 a b= a与 . 已知 |a|=3,|b|=4,|a+b|= (1)a b; (2)(2(3 a+b). 4 一辆汽车在平直公路上向西行驶 ,车上装着风速计和风向标 ,测得风向为东偏南 30,风速为 4 m/s,这时气象台报告实际风速为 2 m/ 速为 逆风行驶的速度的大小为 ( ). A.| B.|v1+C.|D. 推动一物体水平运动 ,运动的位移为 s,设 ,则对物体所做的功为( ). A.|F| s s s D.|F|s| 1(1,1),3),为使它们平衡 ,需要加力 . 的作用下产生的位移是 s,F与 . (1)用 、 、 表示力 ; (2)用 F、 ; (3)当 逐渐增大时 ,F 为什么 ? (2013年 新课标全国 卷 )已知两个单位向量 a,0, c=1-t)b,若b c=0,则 t= . 考题变式 (我来改编 ): 5 6 答案 第 6课时 从力做功到向量的数量积 知识体系梳理 问题 1:|a|b| 内积 a b=|a|b| 投影 正 负值 0 |a| -|a| 问题 2:大小 无关 大小 方向 同一 有关 叠加 合成 位移 向量的数量积 (1)W=|F|s|实数 正数 问题 3:(1)b a a( b ) (a b) a c+b c 问题 4:(1)|a|3)|a|2 (4) 基础学习交流 c d,c d=(2a+3b)( 0,即 2,解得 k=6. (2,3), a, 2(23 2=0,k= 3. 由题意知 ( a=b=2b=0,a b=2.设 a与 ,则 = = ,= . a c, 2,x= 2, b c, 1 (2y=0,y= a= (2,1),b=(
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