七年级数学思维探究（11）方程组的应用（含答案）

陶哲轩， 2008年 11月 20 日出版的美国探索杂志上， 20 位 40 岁以下的科学家被冠以“最具智慧的头脑”称号，华裔澳大利亚人陶哲轩排名第一 他 1975年生于澳大利亚， 13岁获得国际数学竞赛的金牌， 24 岁被评为终身教授， 2006年我国数学家大会上获得菲尔兹奖，时年 31岁，广泛的兴趣、丰富的知识储备、深刻的洞察力以及能敏锐地发现那些陌生的问题同自己最擅长领域的本质联系，是他最大的特色 11 方程组的应用 解读课标 方程组也是刻画现实数量关系的有效模型，在代数式的化简求值、解实际问题等方面有广泛的应用 一些代数式化简求值问题，运用相关概念、性质，对题意的理解等，常可转化为 方程组求解或利用方程组探寻字母间的关系 列方程组解实际问题的关键是找到能够表示问题中全部含义的相等关系，即在相等关系电，问题所给的条件既要不遗漏地重复使用，又不能把同一条件重复利 用 许多实际问题既可 用列方程求解，又可用列方程组求解，列方程组求解常比单独设一个未知数建立一元一次方程更容易表示相等关系，但解方程组稍繁，这是它 们的各自优缺点 问题解决 例 1 若 222 3 4 2 3 4 5 0a b c a b c ， 则 6 1 0 1 4 3a b c _ 试一试 由不等推导相等，未知数个数多于方程个数，怎么办？ 例 2 小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 12:00 13:00 14:30 碑上的数 是一个两位数，数字之和为 6 十位与个位数字与 12:00 使所看到的正好颠倒了 比 12:00 时看到的两位数中间多了个 0 则 12:00 时看到的两位数是 （ ） A 24 B 42 C 51 D 15 试一试 理解行驶路程与里程碑上的数的关系是解题的关键 例 3 如图，长方形 放置 9 个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积 试一试 大长方形 小长方形拼接而成，要求阴影部分的面积，需求出小长方形的长与宽 例 4 韦武准备装修一套新宅，若甲、乙两个装饰公司合做需 6 周完成，需工钱 元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周才能完成，需工钱 元，若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，韦武是选甲公司还是选乙公司？请说明理由 试一试 只有先求出每个公司工效、需要的工钱，才能进行正确的经济决策，因此，解本例需解两次方程组 例 5 已知 1x ， 2x ， 3x ， ， 每一个数值只能取 2 ， 0 ， 1中的一个，且满足 12 17nx x x L ，2 2 212 37nx x x L ，求 3 3 312 nx x x L 的值 分析 因 1x ， 2x ， 3x ， 每一个数值只能取 2 ， 0 ， 1中的一个，故只需求出相应值的个数，将问题转化为解方程组 解 设有 p 个 1， q 个 2 ，由 2 174 37 ，得 19， 故原式 331 1 9 2 7 1 间隔发车 例 6 小王沿街匀速行走，发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆公交车，每隔 3 分 1 钟从迎面驶来一辆公交车 假设每辆公交车行驶速度相同，而且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？ 722 本例是一个既含有相遇又含有追及的综合性行程问题，有下列隐含的等量关系： 迎面驶来两车距离 =3 （车速 +人速） 背后开来两车距离 =6 （车速 迎面驶来两车距离 =背后开来两车距离 同向两车距离 =车速发车间隔时间 解法一 设公交车的速度为 x 米分，小王行走的速度为 y 米分，发车间隔的时间是 t 分钟 则 366x y x yx y x t ， 解得 4t 即公交车总站发车间隔的时间为 4 分钟 解法二 设同向行驶的相邻两车的间距为 s 米，发车间隔的时间为 t 分钟，小王行走相邻两车间距 s 米所用的时间为 m 分钟 即36 ， 解得 4t 即公交车总站发车间隔的时间为 4 分钟 数学冲浪 知识技能广场 1 如果 2 1 2 5 0x y x y ，那么 的值为 _ 2 由图给出的信息，可求得每件 T 恤衫和每瓶矿泉水的价格分别为 _ 3 如图， 某 化工厂与 A ， B 两地有公路和铁路相连 这家工厂从 A 地购买一批每吨 1000 元的原料运回工厂，制成每吨 8000元的产品运到 B 地 已知公路运价为 （吨千米），铁路运价为 （吨千米） 这两次运输共支出公路运费 15000元，铁路运费 97200 元 请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元 ？ （ 1） 根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 1 . 5 2 0 1 01 . 2 1 1 0 1 2 0 乙：1 . 5 2 0 1 08 0 0 0 1 0 0 01 . 2 1 1 0 1 2 08 0 0 0 1 0 0 0 根据甲、乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数 x ， y 表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组 甲： x 表示 _， y 表示 _ 乙： x 表示 _， y 表示 _ （ 2） 甲同学根据他所列方程组解得 300x ，则 y _， 并解决该实际问题： _ 4 利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置 测量的数据如图，则桌子的高度是 （ ） A 73 B 74 C 75 D 76共计 44 元 共计 26 元 5 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文 a 、 b 对应的密文为 2、 2，例如：明文 1 ， 2 对应的密文是 3 ， 4 ，当接收方收到密文是 1， 7 时，解密得到的明文是 （ ） A 1 ， 1 B 1， 3 C 3 ， 1 D 1， 1 6 甲是乙现在的年龄时，乙 10岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么 （ ） A 甲比乙大 5 岁 B 甲比乙大 10岁 C 乙比甲大 10岁 D 乙比甲大 5 岁 7 某超市为“开业三周年”举行了店庆活 动 ，对 A ， B 两种商品实行打折出售 打折前，购买 5 件 件 B 商品需用 84 元；购买 6 件 A 商品和 3 件 B 商品需 用 108元，而店庆期间，购买 50 件 A 商品和 50 件 B 商品仅需 960元 这比不打折少花多少钱？ 8 某 旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准 如下 ： 人数 m 0 100m 100 200n 200m 收费标准（元 /人） 90 85 75 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动 已知甲校报名参加的学生人数多于 100人，乙校报名参加的学生人数少于 100人 经核算，若两校分别组团共需花费 20800 元，若两校联合组团只需花费 18000元 （ 1） 两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过 200 人吗？为什么？ （ 2） 两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？ 9 已知用 2 辆 A 型车和 1辆 B 型车装满货物一次可运货 10吨；用 1辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11吨 某物流公司现有 31吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆， B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物 根据以上信息，解答下列问题： （ 1） 1辆 A 型车和 1辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （ 2） 请你帮该物流公司设计租车方案； （ 3） 若 A 型车每辆需租金 100元次， B 型车每辆需租金 120元次 请选出最 省 钱的租车方案，并求出最少的租车费 思维方法天地 10 美国篮球巨星乔丹在一场比赛中 24 投 14中，拿下 28 分，其中三分琼三投全中，那么乔丹两分球投中 _球，罚球 投中 _球 11 在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车 在 前， 一 辆小轿车在后，一辆货车在客车与小轿车的正中间同向行驶，过了 10分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车；此后，再过 t 分钟，货车追上了客车，则 t _ 12 已知 a 、 b 、 c 是三个有理数， 且 a 与 b 的平均数是 127 ， b 与 c 的和的 13是 78 ， c 与 a 的和的 14是52 ，那么 a 、 b 、 c 的平均数是 _ 13 已知 x ， y ， z 满足 2 3 5x y z z x， 则 52的值为 （ ） A 1 B 13C 13D 1214 放成一排的 2005个盒子中共有 4010个小球，其中最左端的盒子中放了 a 个小球，最右端的盒子放了 b 个小球，如果任意相邻的 12个盒子中的小球共有 24 个，则 （ ） A 2 B 1 C 1a ， 2b D 2a ， 1b 15 买 20 支铅笔、 3 块橡皮擦、 2 本日记本需 32 元；买 39 支铅笔、 5 块橡皮擦、 3 本日记本需 58 元；则买 5 支铅笔、 5 块橡皮擦、 5 本日记本需 （ ） 8 0 c m 7 0 c mA 20 元 B 25 元 C 30 元 D 35 元 16 如图，从左上角标注 2 的圆圈开始，顺时针方向按 an b 的规律（ n 表示前一个圆圈中的数字， a 、b 是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，求“？”代表的数 17 已知 2， 3， 4， 求 7 5 2的值 18 如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行或该列的数字的和，求 x ， y 的值 应用探究乐园 19 老师布置了一个探究性活动作业：仅用一架天平和一个 10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量各是多少？（注：同种类的每枚硬币质量相同） 聪明的小明同学找来足够多的壹元和伍角的 硬币 ，经过探究得到以下两个探究记录： 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5 枚壹元硬币，一个 10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20 枚伍角硬币，一个 10克的砝码 平衡 请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克？一枚伍角硬币多少克？ 20 【函函游园记】 函函早晨到达上海世博园 D 区入口处等待开园， 9 时 整开园， D 区入口处有 10n 条安全检查通道让游客通过安检入园，游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，直到中午 12时 D 区入口处才没有排队人群，游客一到就可安检入园， 9 时 20 分函函通过安检进入上海世博园时，发现平均一个人通过安全检查通道入园耗时 20 秒 【排队的思考】 （ 1） 若函函在 9 时整排在第 3000位，则这时 D 区入口安全检查通道可能有多少条？ （ 2） 若 9 时开园时等待 D 区入口处的人数不变，当安检通道是现有的 且每分钟到达 D 区入口处的游客人数不变时，从中午 11时开始游客一到 D 区入口处就可安检入园，当每分钟到达 D 区入口处的游客人数增加了 50% ，仍要求从 12时开始游客一到 D 区人口处就可安检入园，求这时需要增加安检通道的数量 ?582610211 方程组的应用 问题解决 例 l 1 由条件得 2 3 4 0a b c ， 2 3 4 5 0a b c ，两式相加得 3 5 7 1 0a b c 例 2 D 设两位数为 则 61 0 1 0 2 . 5 1 0 0 1 0x y x yy x x y x y x y 且 例 3 82 例 4 设甲公司单独完成需 x 周，需要工钱 a 万元，乙公司单独完成需要 y 周，需要工钱 b 万元，由题意得 661491 ，解得 1015； 又6 5 . 21 0 1 54 9 4 . 81 0 1 5 ，解得 64 从节约开支的角度考虑，韦武应选乙公司装修房子 数学冲浪 1 6 2 20 元、 2 元 3 （ 1）产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费 甲方程组右边方框内的数分别为 15000， 97200 ，乙同甲 （ 2） 400 ；这批产品的销售款比原料费和运输费的和多 2 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 1 8 8 7 8 0 0 元 4 C 5 C 6 A 提示：设甲、乙两人现在的年龄分别是 x 、 y 岁，则 1025y x yx x y ，解得 2015 7 40 元 8 （ 1）超过 200 人，理由略；（ 2） 160人， 80 人 9 （ 1） 3 吨； 4 吨 （ 2）共有三种租车方案，具体方案略 （ 3）租用 A 型车 1 辆、 B 型车 7 辆最省钱，最少的租车费为 940元 10 8 ； 3 11 15 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为 s 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 a 、b 、 c 千米分，则 10 a b s， 15 2a c s ， 1 0 5 t b c s ，解得 15t 12 116 13 B 提示：由条件得 3， 324 A 提示：由 1 2 3 1 2 2 3 4 1 3 24a