中考数学一模试卷（含解析）15

1 辽宁省盘锦市辽宁省盘锦市 20162016 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 2424 分）分） 1今年 3 月 21 日到武汉大学赏樱花的人数约为 213000 人，数 213000 用科学记数法表示 为（ ） A21.3104B213103C2.13105D2.13104 2下列运算中正确的是（ ） Aa2a3=a5B（a2）3=a5Ca6a2=a3Da5+a5=2a10 3一物体及主视方向如图所示，则它的俯视图是（ ） ABCD 4不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） ABC D 5某篮球队 13 名队员的年龄如表： 年龄（岁） 1819 2021 人数 5 4 1 3 则这 13 名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A18，19B19，19C18，19.5 D19，19.5 6如图，在边长为 a 的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示若图中阴影部分 的面积为 S1，两个空白三角形的面积为 S2则=（ ） 2 A3B4C5D6 7如图，O 中，AD、BC 是圆 O 的弦，OABC，AOB=50，CEAD，则DCE 的度数是 （ ） A25 B65 C45 D55 8如图，ABC 中，ACB=90，A=30，AB=16点 P 是斜边 AB 上一点过点 P 作 PQAB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 AP=x，APQ 的面积为 y，则 y 与 x 之 间的函数图象大致为（ ） ABCD 二、填空题（共二、填空题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 2424 分）分） 3 9在函数 y=中，自变量 x 的取值范围是 10分解因式：2a24a+2= 11某公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共 20 台，甲型每台 30 万元，乙型每台 15 万元，若在购款不超过 360 万元，甲型、乙型都购买的情况下，甲型清雪车最多可购买 台 12如图，ABC 是等边三角形，点 O 在边 AC 上（不与 A，C 重合），以点 O 为圆心，以 OC 为半径的圆分别与 AC、BC 相交于点 D、E，若 OC=1，则的长是 （结果保留 ） 13甲乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击 10 次，他们的平均成绩均为 8 环，10 次射击成绩的方差分别是 S甲2=2，S乙2=1.2，那么，射击成绩较为稳定的是 14如图，将长为 14cm 的铁丝 AB 首尾相接围成半径为 2cm 的扇形，则 S扇形等于 cm2 15如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 x 轴正半轴，点 C 在反比例函数 y=第一象限的图象上，点 D 在反比例函数 y=的图象上，CD 交 y 轴于点 E若 DE：CE=1：2，则 k 的值是 16设计师以 y=2x24x+8 的图形为灵感设计杯子如图所示，若 AB=4，DE=3，则杯子的高 CE= 4 三、解答题（共三、解答题（共 1010 小题，满分小题，满分 102102 分）分） 17（8 分）先化简，再求代数式的值，其中 a=tan60 6sin30 18（8 分）我市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”根据各县市区的入选 结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后三行中有 一个数据是错误的请回答下列问题： （1）统计表中 a= ，b= ； （2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？ （3）株洲市决定从来自炎陵县的 4 位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为市级形象代 言人A、B 是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位，问 A、B 同时入选的概率是多少？ 区域频数频率 炎陵县 4a 茶陵县 50.125 攸县 b0.15 醴陵市 80.2 株洲县 50.125 株洲市城区 120.25 19（10 分）如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得 塔顶 D 的仰角为 30，在 A、C 之间选择一点 B（A、B、C 三点在同一直线上）用测角仪 测得塔顶 D 的仰角为 75，且 AB 间的距离为 40m （1）求点 B 到 AD 的距离； （2）求塔高 CD（结果用根号表示） 5 20（10 分）如图，ABC 中，B=90，点 M 在 AB 上，AM=BC，作正方形 CMDE，连接 AD （1）求证：AMDBCM； （2）点 N 在 BC 上，CN=BM，连接 AN 交 CM 于点 P，试求CPN 的大小 21（10 分）某超市用 3000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨 9000 元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了 20%，购进干果数量是第一次 的 2 倍还多 300 千克，求该种干果的第一次进价是每千克多少元？ 22（10 分）如图，大楼 AB 的高为 16 米，远处有一塔 CD，小李在楼底 A 处测得塔顶 D 处 的仰角为 60，在楼顶 B 处测得塔顶 D 处的仰角为 45，其中 A、C 两点分别位于 B、D 两 点正下方，且 A、C 两点在同一水平线上，求塔 CD 的高度（结果保留根号） 23（10 分）如图，在ABC 中，BE 是它的角平分线，C=90，D 在 AB 边上，以 DB 为 直径的半圆 O 经过点 E，交 BC 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）已知 sinA=，O 的半径为 4，求图中阴影部分的面积 6 24（10 分）有一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成，工作一段时间后，乙队改进了 技术，提高了工作效率，设甲的工作量为 y甲（米），y甲与工作时间 x（天）之间的函数 图象如图所示；乙的工作量为 y乙（米）；甲、乙两队合作完成的工作量为 y（米），y 与工作时间 x（天）之间的函数图象如图所示 （1）则乙队 2 天、6 天的工作量分别为 米、 米； （2）当 2x6 时，求 y乙与 x 之间的函数式； （3）工作第 4 天时，甲、乙两队共完成的工作量为 25（12 分）（1）正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如图 1，请直接猜想并 写出 AO 与 CD 之间的数量关系： ； （2）如图 2，将（1）中的BOC 绕点 B 逆时针旋转得到BO1C1，连接 AO1，DC1，请猜想 线段 AO1与 DC1的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图 3，矩形 ABCD 和 RtBEF 有公共顶点，且BEF=90，EBF=ABD=30，则 = 7 26（14 分）如图，抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物 线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0），C（0，2） （1）求抛物线的表达式； （2）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运 动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐 标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由 8 20162016 年辽宁省盘锦市中考数学一模试卷年辽宁省盘锦市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 2424 分）分） 1今年 3 月 21 日到武汉大学赏樱花的人数约为 213000 人，数 213000 用科学记数法表示 为（ ） A21.3104B213103C2.13105D2.13104 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 213000 用科学记数法表示为 2.13105 故选 C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2下列运算中正确的是（ ） Aa2a3=a5B（a2）3=a5Ca6a2=a3Da5+a5=2a10 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【分析】根据同底数幂的乘法，可判断 A；根据幂的乘方，可判断 B；根据同底数幂的除法， 可判断 C；根据合并同类项，可判断 D 【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 A 正确； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故 B 错误； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 C 错误； D、合并同类项系数相加字母部分不变，故 D 错误； 故选：A 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键 3一物体及主视方向如图所示，则它的俯视图是（ ） 9 ABCD 【考点】简单组合体的三视图 【分析】根据从上面看得到的图形式俯视图，可得答案 【解答】解：从上面看是等宽的三个矩形，中间的矩形的长较长，左右矩形的长较短 故选：D 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面得到的图形是俯视图 4不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） ABC D 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集 【解答】解：解 x+11 得，x2； 解x1 得 x2； 2x2 故选 D 【点评】本题考查了利用数轴表示不等式解集得方法也考查了解不等式组的方法 5某篮球队 13 名队员的年龄如表： 年龄（岁） 1819 2021 人数 5 4 1 3 则这 13 名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） 10 A18，19B19，19C18，19.5 D19，19.5 【考点】众数；中位数 【分析】将这组数据按照从小到大的顺序排列，然后结合众数的概念：一组数据中出现次 数最多的数据叫做众数以及中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的 顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这 组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行求解即可 【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为： 18，18，18，18，18，19，19，19，19，20，21，21，21 则众数为：18，中位数为：19 故选 A 【点评】本题考查了中位数和众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众 数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则 处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据 的平均数就是这组数据的中位数 6如图，在边长为 a 的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示若图中阴影部分 的面积为 S1，两个空白三角形的面积为 S2则=（ ） A3B4C5D6 【考点】正多边形和圆；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可 【解答】解：如图， 三角形的斜边长为 a， 两条直角边长为a， a， S2=aa=a2， 11 AB=a， OC=a， S正六边形=6aa=a2， S1=S正六边形S空白=a2a2=a2， =5 故选 C 【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三 角形的面积来计算 7如图，O 中，AD、BC 是圆 O 的弦，OABC，AOB=50，CEAD，则DCE 的度数是 （ ） A25 B65 C45 D55 【考点】圆周角定理；垂径定理 【分析】由 OABC，根据垂径定理的即可求得=，又由圆周角定理可求得 D=AOB=50=25，再由 CEAD，即可求得DCE 的度数 【解答】解：OABC， =， 12 D=AOB=50=25， CEAD， DCE=90D=65 故选 B 【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 8如图，ABC 中，ACB=90，A=30，AB=16点 P 是斜边 AB 上一点过点 P 作 PQAB，垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 AP=x，APQ 的面积为 y，则 y 与 x 之 间的函数图象大致为（ ） ABC D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】分点 Q 在 AC 上和 BC 上两种情况进行讨论即可 【解答】解：当点 Q 在 AC 上时， A=30，AP=x， PQ=xtan30=， y=APPQ=x=x2； 当点 Q 在 BC 上时，如下图所示： 13 AP=x，AB=16，A=30， BP=16x，B=60， PQ=BPtan60=（16x） = 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下 故选：B 【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点 Q 在 BC 上这种情 况 二、填空题（共二、填空题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 2424 分）分） 9在函数 y=中，自变量 x 的取值范围是 x2 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x20， 解得 x2 故答案为：x2 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式 时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 10分解因式：2a24a+2= 2（a1）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式=2（a22a+1） 14 =2（a1）2 故答案为：2（a1）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题 的关键 11某公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共 20 台，甲型每台 30 万元，乙型每台 15 万元，若在购款不超过 360 万元，甲型、乙型都购买的情况下，甲型清雪车最多可购买 4 台 【考点】一元一次不等式组的应用 【分析】设购买甲型清雪车 a 台，则购买乙种型号清雪车（20a）台，根据购款不超过 360 万元，列不等式求解 【解答】解设购买甲型清雪车 a 台，乙型清雪车 b 台，根据题意得： ， 解得：a4 即：最多可购买甲型清雪车 4 台 故答案是：4 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数， 找出合适的等量关系，列不等式组求解 12如图，ABC 是等边三角形，点 O 在边 AC 上（不与 A，C 重合），以点 O 为圆心，以 OC 为半径的圆分别与 AC、BC 相交于点 D、E，若 OC=1，则的长是 （结果保留 ） 【考点】弧长的计算；等边三角形的性质 【分析】连结 OE，先根据等边三角形的性质得出C=60，再利用圆周角定理求出 DOE=2C=120，然后根据弧长公式解答即可 15 【解答】解：如图，连结 OE ABC 是等边三角形， C=60， DOE=2C=120， OC=1， 的长是= 故答案为 【点评】本题考查了扇形的弧长，找到圆心角并求出其度数是解题的关键 13甲乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击 10 次，他们的平均成绩均为 8 环，10 次射击成绩的方差分别是 S甲2=2，S乙2=1.2，那么，射击成绩较为稳定的是 乙 【考点】方差 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定 【解答】解：因为 S甲2=2S乙2=1.2，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙 故填乙 【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数 据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 14如图，将长为 14cm 的铁丝 AB 首尾相接围成半径为 2cm 的扇形，则 S扇形等于 10 cm2 【考点】扇形面积的计算 16 【分析】根据扇形的面积公式 S扇形=弧长半径求出即可 【解答】解：由题意知，弧长=1422=10cm， 扇形的面积是102=10cm2， 故答案为：10 【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解 题的关键 15如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 x 轴正半轴，点 C 在反比例函数 y=第一象限的图象上，点 D 在反比例函数 y=的图象上，CD 交 y 轴于点 E若 DE：CE=1：2，则 k 的值是 2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】设 DE=a，则 CE=2a，再由点 C 在反比例函数 y=第一象限的图象上可得出 2ay=4，故可得出 ay 的值，进而可得出结论 【解答】解：DE：CE=1：2， 设 DE=a，则 CE=2a 点 C 在反比例函数 y=第一象限的图象上， 2ay=4， ay=2 点 D 在反比例函数 y=的图象上， ay=k， k=2 故答案为：2 【点评】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点 的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 17 16设计师以 y=2x24x+8 的图形为灵感设计杯子如图所示，若 AB=4，DE=3，则杯子的高 CE= 11 【考点】二次函数的应用 【分析】先利用配方法求顶点 D 的坐标，再根据对称性得：AC=BC=2，得到 A 的横坐标为 1，所以代入解析式中可以求得 A 的纵坐标，从而计算 CD 的长，则 CE=CD+DE，代入得出 结果 【解答】解：y=2x24x+8=2（x1）2+6， D（1，6）， AB=4， AC=BC=2， 点 A 的横坐标为1， 当 x=1 时，y=2（1）24（1）+8=14， CD=146=8， CE=DE+CD=3+8=11， 则则杯子的高 CE 为 11 【点评】本题二次函数的应用，考查了二次函数的性质，明确根据解析式确定顶点的坐标： 代入顶点坐标公式（，），利用配方法求顶点坐标；根据对称性求线 段的长，本题还利用数形结合解决问题 三、解答题（共三、解答题（共 1010 小题，满分小题，满分 102102 分）分） 17先化简，再求代数式的值，其中 a=tan606sin30 【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值 18 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由特殊角的三角函数值计算出 a 的值，把 a 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式= = =， 当 a=tan606sin30=6=3 时，原式= 【点评】本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则 是解答此题的关键 18我市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”根据各县市区的入选结果制作 出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后三行中有一个数据 是错误的请回答下列问题： （1）统计表中 a= 0.1 ，b= 6 ； （2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？ （3）株洲市决定从来自炎陵县的 4 位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为市级形象代 言人A、B 是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位，问 A、B 同时入选的概率是多少？ 区域频数频率 炎陵县 4a 茶陵县 50.125 攸县 b0.15 醴陵市 80.2 株洲县 50.125 株洲市城区 120.25 【考点】频数（率）分布表；列表法与树状图法 【分析】（1）由茶陵县频数为 5，频率为 0.125，求出数据总数，再用 4 除以数据总数求 出 a 的值，用数据总数乘 0.15 得到 b 的值； （2）根据各组频数之和等于数据总数可知各组频数正确，根据频率=频数数据总数可知 株洲市城区对应频率错误，进而求出正确值； 19 （3）设来自炎陵县的 4 位“最有孝心的美少年”为 A、B、C、D，根据题意列出表格，然 后由表格求得所有等可能的结果与 A、B 同时入选的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）茶陵县频数为 5，频率为 0.125， 数据总数为 50.125=40， a=440=0.1，b=400.15=6 故答案为 0.1，6； （2）4+5+6+8+5+12=40， 各组频数正确， 1240=0.30.25， 故株洲市城区对应频率 0.25 这个数据是错误的，该数据的正确值是 0.3； （3）设来自炎陵县的 4 位“最有孝心的美少年”为 A、B、C、D，列表如下： 共有 12 种等可能的结果，A、B 同时入选的有 2 种情况， A、B 同时入选的概率是： = 【点评】本题考查读频数（率）分布表的能力和列表法与树状图法同时考查了概率公 式用到的知识点：频率=频数总数，各组频数之和等于数据总数，概率=所求情况数与 总情况数之比 19（10 分）（2013泸州）如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30，在 A、C 之间选择一点 B（A、B、C 三点在同一直 线上）用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75，且 AB 间的距离为 40m （1）求点 B 到 AD 的距离； （2）求塔高 CD（结果用根号表示） 20 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】（1）过点 B 作 BEAD 于点 E，然后根据 AB=40m，A=30，可求得点 B 到 AD 的 距离； （2）先求出EBD 的度数，然后求出 AD 的长度，然后根据A=30即可求出 CD 的高度 【解答】解：（1）过点 B 作 BEAD 于点 E， AB=40m，A=30， BE=AB=20m，AE=20m， 即点 B 到 AD 的距离为 20m； （2）在 RtABE 中， A=30， ABE=60， DBC=75， EBD=1806075=45， DE=EB=20m， 则 AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m）， 在 RtADC 中，A=30， DC=（10+10）m 答：塔高 CD 为（10+10）m 21 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直 角三角形并解直角三角形 20（10 分）（2016盘锦一模）如图，ABC 中，B=90，点 M 在 AB 上，AM=BC，作正 方形 CMDE，连接 AD （1）求证：AMDBCM； （2）点 N 在 BC 上，CN=BM，连接 AN 交 CM 于点 P，试求CPN 的大小 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据正方形的性质可得 DM=CM，DMC=90，然后根据同角的余角相等求出 AMD=BCM，再利用“边角边”证明AMD 和BCM 全等； （2）连接 CD，根据正方形的对角线平分一组对角求出DCM=45，再根据全等三角形对 应角相等可得DAM=B=90，全等三角形对应边相等可得 AD=BM，再根据同旁内角互补 两直线平行求出 ADBC，再求出 AD=CN，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形求出四边形 ANCD 是平行四边形，根据平行四边形对边平行可得 ANCD，根据两直线 平行，内错角相等可得CPN=DCM 【解答】（1）证明：四边形 CMDE 是正方形， DM=CM，DMC=90， AMD+BMC=90， B=90， BMC+BCM=90， AMD=BCM， 在AMD 和BCM 中， AMDBCM（SAS）； 22 （2）解：如图，连接 CD， 四边形 CMDE 是正方形， DCM=ECM=45， AMDBCM， DAM=B=90，AD=BM， ADBC， 又CN=BM， AD=CN， 四边形 ANCD 是平行四边形， ANCD， CPN=DCM=45 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质， 熟练掌握各性质与各图形的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出平行四 边形 21（10 分）（2016盘锦一模）某超市用 3000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好， 超市又调拨 9000 元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了 20%，购进干 果数量是第一次的 2 倍还多 300 千克，求该种干果的第一次进价是每千克多少元？ 【考点】分式方程的应用 【分析】设该种干果的第一次进价是每千克 x 元，则第二次进价是每千克（1+20%）x 元根据第二次购进干果数量是第一次的 2 倍还多 300 千克，列出方程，解方程即可求 解 23 【解答】解：设该种干果的第一次进价是每千克 x 元，则第二次进价是每千克（1+20%）x 元， 由题意，得=2+300， 解得 x=5， 经检验 x=5 是方程的解 答：该种干果的第一次进价是每千克 5 元 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是 解决问题的关键 22（10 分）（2016盘锦一模）如图，大楼 AB 的高为 16 米，远处有一塔 CD，小李在楼 底 A 处测得塔顶 D 处的仰角为 60，在楼顶 B 处测得塔顶 D 处的仰角为 45，其中 A、C 两点分别位于 B、D 两点正下方，且 A、C 两点在同一水平线上，求塔 CD 的高度（结果保 留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及两个直角三角形，即 Rt BED 和 RtDAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于 AC 的方程，从而求出 DC 【解答】解：作 BECD 于 E 可得 RtBED 和矩形 ACEB 则有 CE=AB=16，AC=BE 在 RtBED 中，DBE=45，DE=BE=AC 在 RtDAC 中，DAC=60，DC=ACtan60=AC 16+DE=DC， 16+AC=AC， 解得：AC=8+8=DE 所以塔 CD 的高度为（8+24）米 24 【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三 角形 23（10 分）（2012宁波）如图，在ABC 中，BE 是它的角平分线，C=90，D 在 AB 边上，以 DB 为直径的半圆 O 经过点 E，交 BC 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）已知 sinA=，O 的半径为 4，求图中阴影部分的面积 【考点】切线的判定；扇形面积的计算 【分析】（1）连接 OE根据 OB=OE 得到OBE=OEB，然后再根据 BE 是ABC 的角平分线 得到OEB=EBC，从而判定 OEBC，最后根据C=90得到AEO=C=90证得结论 AC 是O 的切线 （2）连接 OF，利用 S阴影部分=S梯形 OECFS扇形 EOF求解即可 【解答】解：（1）连接 OE OB=OE OBE=OEB BE 是ABC 的角平分线 OBE=EBC OEB=EBC OEBC C=90 AEO=C=90 25 AC 是O 的切线； （2）连接 OF sinA=，A=30 O 的半径为 4，AO=2OE=8， AE=4，AOE=60，AB=12， BC=AB=6，AC=6， CE=ACAE=2 OB=OF，ABC=60， OBF 是正三角形 FOB=60，CF=64=2，EOF=60 S梯形 OECF=（2+4）2=6 S扇形 EOF= S阴影部分=S梯形 OECFS扇形 EOF=6 【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点， 利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线 24（10 分）（2016盘锦一模）有一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成，工作一段 时间后，乙队改进了技术，提高了工作效率，设甲的工作量为 y甲（米），y甲与工作时间 x（天）之间的函数图象如图所示；乙的工作量为 y乙（米）；甲、乙两队合作完成的工 作量为 y（米），y 与工作时间 x（天）之间的函数图象如图所示 （1）则乙队 2 天、6 天的工作量分别为 40 米、 160 米； （2）当 2x6 时，求 y乙与 x 之间的函数式； （3）工作第 4 天时，甲、乙两队共完成的工作量为 200 米 26 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据图可以得到甲的工作效率，根据图可以得到乙队 2 天、6 天的工作 量，从而可以解答本题； （2）根据函数图象和（1）中的答案可以求得 y乙与 x 之间的函数式； （3）根据（1）和（2）中的答案可以求得工作第 4 天时，甲、乙两队共完成的工作量 【解答】解：（1）由图可知甲的工作效率为：1506=25 米/天，甲 6 天的工作量是 150 米， 由图可知，甲乙一起工作 2 天的工作量为 90 米，6 天的工作量是 310 米， 乙工作 2 两天的工作量为：90252=9050=40（米）， 乙工作 6 天的工作量是：310150=160（米）， 故答案为：40，160； （2）当 2x6 时，设 y乙与 x 之间的函数式是 y乙=kx+b， ，得 即当 2x6 时，y乙与 x 之间的函数式是 y乙=30x20； （3）由图象可得， 工作第 4 天时，甲、乙两队共完成的工作量为：254+（30420）=200（米）， 故答案为：200 米 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件， 利用数形结合的思想解答 27 25（12 分）（2016盘锦一模）（1）正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如图 1，请直接猜想并写出 AO 与 CD 之间的数量关系： AO=CD ； （2）如图 2，将（1）中的BOC 绕点 B 逆时针旋转得到BO1C1，连接 AO1，DC1，请猜想 线段 AO1与 DC1的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图 3，矩形 ABCD 和 RtBEF 有公共顶点，且BEF=90，EBF=ABD=30，则 = 【考点】四边形综合题 【分析】（1）根据正方形的性质得 AO=OC=OD，ODC=OCD=45，DOC=90，由勾股 定理得到 AO 与 CD 之间的数量关系； （2）如图 2 根据正方形的性质得 AB=BC，AC=BD，OB=OC，OBC=ABO=45，BOC=90， 得到ABC 和OBC 都是等腰直角三角形，求出 AC=AB BC=BO，得到 BD=AB，因 为BOC 绕点 B 逆时针方向旋转得到BO1C1，所以O1BC1=OBC=45， OB=O1B，BC1=BC，BC1=BO1，由1+3=45，2+3=45，得到1=2，于是得到 BDC1BAO1，求出结论； （3）如图 3 在 RtABD 中，cosABD=，在 RtEBF 中，cosEBF=因为 EBF=ABD=30得到=，再由EBF+FBA=ABD+FBA，得到 EBA=FBD，AEBFBD，由相似的性质得到解 【解答】解：（1）AO=CD理由如下