大学课件46 能控规范形和能观规范形

Ch.4 线性系统的能控性和 能观性 目录(1/1) 目 录 概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结 能控规范形和能观规范形(1/3) 4.6 能控规范形和能观规范形 q由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有 非唯一性。 若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模 型具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为 规范形。 约旦规范形(对角线规范形)就是以系统的特征向量 为其状态空间基底所导出的规范形。 从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线 性变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵(t)求解以及 状态能控性和能观性分析都是十分方便的。 能控规范形和能观规范形(2/3) q下面我们将讨论,通过线性变换将SISO系统的状态空间模 型变换成 对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形和 能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。 q讨论的主要问题: 基本定义: 能控规范I/II形、 能观规范I/II形 旺纳姆能控规范II形 龙伯格能控规范II形 基本方法: 能控规范形和能观规范形的变换方法 能控规范形和能观规范形(3/3) 讲授顺序为: 能控规范形 能观规范形 MIMO系统的能控能观规范形 。 则称该状态空间模型为能控规范I形。 能控规范形(1/16)能控规范形定义 4.6.1 能控规范形 q定义 若SISO系统的状态空间模型为 且系统矩阵A和输入矩阵B分别为 能控规范形(2/16)能控规范形定义 若系统矩阵A和输入矩阵B分别为 则称该状态空间模型为能控规范II形。 能控规范形(3/16) q上述能控规范I形和II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的 友矩阵的转置和友矩阵。 q下面讨论如下两个问题: 能控规范形一定是状态完全能控和 一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型变换 成能控规范形。 即能控性矩阵的秩都为n。 故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。 能控规范形(4/16) q能控规范形一定是状态完全能控? 由状态能控的代数判据,对能控规范I形和II型,有如 下能控性矩阵: 能控规范形(5/16) q 由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完 全能控, 因此,只有状态完全能控的系统才能变换成能控规范形。 下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形, 以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。 对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控规范I形 和II型的定理。 q 定理4-24 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变 换矩阵Tc1如下 Tc1=Qc=B AB An-1B 是非奇异的。 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换 成能控规范I形: 能控规范形(6/16)-能控规范I形定理 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范I形所定义的。 q 证明 若取变换矩阵Tc1=Qc,则由 能控规范形(7/16)-能控规范I形定理 有 因此,由系统线性变换和凯莱-哈密顿定理有 能控规范形(8/16)-能控规范I形定理 即证明了变换矩阵Tc1=Qc可将能控状态空间模型变换成 能控规范I形。 q 定理4-25 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变 换矩阵Tc2如下 式中， T1=0 0 1B AB An-1B-1 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成 如下能控规范II形: 能控规范形(9/16)-能控规范II形定理 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范II形所定义的。 能控规范形(10/16) q 证明 证明的思路为: 先构造变换 矩阵P的逆为 行向量组成 利用变换关系 A=P-1AP,确定 P-1的行之间的关系 利用变换关系 B=P-1B,最后 确定确定P-1 证明过程为: 设变换矩阵Tc2的逆阵为 能控规范形(11/16) 则由 ，可得 代入友矩阵 ,则有 即 能控规范形(12/16) 因此,有 Ti=T1Ai-1 i=2,3,n 即能控性变换矩阵Tc2为 能控规范形(13/16) 下面讨论T1的计算。由 求转置,并代入向量 ,考虑到对SISO系统T1AiB为标量,则有 即 T1=0 0 1B AB An-1B-1 是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能控,因此可以将其变换 成能控规范形。 能控规范形(14/16)例4-19 q 由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能 控规范形。 q 例4-19 试求如下系统的能控规范I和II形: q 解 系统的能控性矩阵 能控规范形(15/16) (2) 求能控规范I形。 根据定理4-24,系统变换矩阵可取为 因此,经变换 后所得的能控规范I形的状态方程为 能控规范形(16/16) (2) 求能控规范II形。 计算变换矩阵 先求变换矩阵。根据定理4-25,有 T1=0 1B AB-1=1/2 1/2 则变换矩阵Tc2可取为 因此,经变换 后所得的能控规范形的状态方程为 能观规范形(1/9)能观规范形定义 4.6.2 能观规范形 q 对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统 矩阵A和输出矩阵C分别为 则称该状态空间模型为能观规范I形； 能观规范形(2/9)能观规范形定义 对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的 系统矩阵A和输出矩阵C分别为 则称该状态空间模型为能观规范II形。 能观规范形(3/9) q 由上述定义可知: 能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即 能观规范I形与能控规范I形互为对偶, 而能观规范II形与能控规范II形互为对偶。 由对偶性原理可知,能控规范形是状态完全能控的,则其 对偶系统能观规范形是状态完全能观的。 q 由于线性变换不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能 观,因此,只有状态完全能观的系统才能变换成能观规范形。 下面讨论将完全能观的状态空间模型变换成能观规范I/II 形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题，对此,有如 下定理。 q 定理4-26 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入 变换矩阵To1满足 那么线性变换 ,必能将状态空间模型(A,B,C)变换 成能观规范I形: 能观规范形(4/9)-能观规范I形定理 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范I形所定义的。 q 定理4-27 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入 变换矩阵co2如下 To2=R1 AR1 An-1R1 式中， 那么必存在一线性变换 ,能将状态空间模型(A,B, C)变换成如下能观规范II形: 能观规范形(5/9)-能观规范II形定理 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范II形所定义的。 能观规范形(6/9)例4-20 q 由于能观规范形与能控规范形互为对偶,因此,能观规范形变 换定理4-26与定理4-27的证明可由能控规范形变换定理4-24 与定理4-25的证明直接给出,这里不再赘述。 q 例4-20 试求如下系统状态方程的能观规范I形与II型 能观规范形(7/9)例4-20 是非奇异矩阵, 即该系统为状态完全能观,因此可以将其变换成能观规范 形。 q解 由于系统的能观性矩阵 能观规范形(8/9) (1) 求能观规范I形。 根据定理4-26,系统变换矩阵可取为 因此,经变换后所得的能观规范形的状态方程为 能观规范形(9/9) (2) 求能观规范II形。 根据定理4-27,先求变换矩阵，有 则变换矩阵To2可取为 因此,经变换后所得的能观规范II形的状态方程为 MIMO系统的能控能观规范形(1/1) 4.6.3 MIMO系统的能控能观规范形 q MIMO线性定常连续系统的能控规范形和能观规范形,相比于 SISO系统,无论是规范形形式还是构造方法都要复杂一些。 本节从基本性和实用性出发,仅讨论应用较广的 旺纳姆(Wonham)能控规范II形和 龙伯格(Luenberger) 能控规范II形。 旺纳姆能控规范II形(1/1) 1. 旺纳姆能控规范II形 q 下面分别介绍 旺纳姆能控规范II形定义 变换阵Tw的确定 旺纳姆能控规范II形定义(1/3) (1) 旺纳姆能控规范II形定义 q 对完全能控的MIMO线性定常连续系统 式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。 基于线性非奇异变换 ,可导出系统的旺纳姆能控规 范II形为 式中， 旺纳姆能控规范II形定义(2/3) 旺纳姆能控规范II形定义(3/3) q 类似于SISO能控规范形，可以证明 旺纳姆能控规范II形肯定能控， 而且任何状态完全能控的MIMO状态空间模型肯定可以 变换成旺纳姆能控规范II形。 变换阵Tw的确定(1/6) (2) 变换阵Tw的确定 q 类似于SISO的能控规范II形,旺纳姆能控规范II形的变换矩阵 也可从能控性矩阵构造,方法如下： 首先,通过列向搜索找出系统能控性矩阵 中n个线性无关列向量。 为此,表 将的所有nr个列向量排列成如下形式 变换阵Tw的确定(2/6) 类似于SISO的能控规范II形,旺纳姆能控规范II形的变换 矩阵从左到右搜索每一个列向量,检验该向量与其左边所 有保留下来的线性无关列向量是否线性相关。 若相关则将该向量从队列中剔出,否则保留。 如此,一直搜索到找到n个线性无关列向量为止。 最后将源自的n个线性无关列向量构成矩阵 式中， 变换阵Tw的确定(3/6) 因此,有 式中，ei,j为行向量。 基于此,变换矩阵Tw可取为 变换阵Tw的确定(4/6)-例4-21 则可将完全能控的状态空间模型变换成旺纳姆能控规范 II形。 具体推证过程与SISO能控规范II形的推证过程类似, 故略去。 q 考虑到能控性和能观性之间的对偶关系,利用对偶性原理,可 由旺纳姆能控规范形的结论直接导出旺纳姆能观规范形的对 应结论。具体过程略。 q 例4-21 试求如下线性定常连续系统的旺纳姆能控规范II形。 变换阵Tw的确定(5/6) q 解 由能控性判别矩阵 的秩等于3知,该系统状态完全能控,因此该系统可以变换成旺纳 姆能控规范II形。 首先,按列向探索方法,找到3个线性无关列b1,Ab1和A2b1。 因此,非奇异矩阵S及其逆矩阵为 变换阵Tw的确定(6/6) 故变换矩阵为 即可求得旺纳姆能控规范II形的系统矩阵和输入矩阵 龙伯格能控规范II形(1/1) 2. 龙伯格能控规范II形 q 下面分别介绍 龙伯格能控规范II形定义 变换阵TL的确定 龙伯格能控规范II形定义(1/3) (1) 龙伯格能控规范II形定义 q 对完全能控的MIMO线性定常连续系统 式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。 基于线性非奇异变换 ,可导出系统的龙伯格能控规 范II形为 式中， 龙伯格能控规范II形定义(2/3) 龙伯格能控规范II形定义(3/3) q 类似于SISO能控规范形，可以证明 龙伯格能控规范II形肯定能控， 而且任何状态完全能控的MIMO状态空间模型肯定可以 变换成龙伯格能控规范II形。 变换阵TL的确定(1/6) (2) 变换阵TL的确定 q 类似于SISO的能控规范II形,龙伯格能控规范II形的变换矩阵 也可从能控性矩阵构造,方法如下： 首先,通过行向搜索找出系统能控性矩阵 中n个线性无关列向量。 为此,表 将的所有nr个列向量排列成如下形式 变换阵TL的确定(2/6) 类似于SISO的能控规范II形,龙伯格能控规范II形的变换 矩阵从左到右搜索每一个列向量,检验该向量与其左边所 有保留下来的线性无关列向量是否线性相关。 若相关则将该向量从队列中剔出,否则保留。 如此,一直搜索到找到n个线性无关列向量为止。 最后将源自的n个线性无关列向量构成矩阵 式中， 变换阵TL的确定(3/6) 因此,有 式中，ei,j为行向量。 基于此,变换矩阵TL可取为 变换阵TL的确定(4/6)-例4-22 则可将完全能控的状态空间模型变换成龙伯格能控规范 II形。 具体推证过程与SISO能控规范II形的推证过程类似, 故略去。 q 考虑到能控性和能观性之间的对偶关系,利用对偶性原理,可 由龙伯格能控规范形的结论直接导出龙伯格能观规范形的对 应结论。具体过程略。 q 例4-22 试求例4-21的线性定常连续系统的龙伯格能控规范II 形。 变换阵TL的确定(5/6) q 解 由能控性判别矩阵 的秩等于3知,该系统状态完全能控,因此该系统可以变换成龙伯 格能控规范II形。 首先,按行向探索方法,找到3个线性无关列b1,Ab1和b2。 故能控指数1=2， 2=1。 因此,非奇异矩阵S及其逆矩阵为 变换阵TL的确定(6/6) 故变换矩阵为 即可求得龙伯格能控规范II形的系统矩阵和输入矩阵 性緰寅綨晆鴇獽萯猁篵記靋迠綴蔟栴卟璅搄佐軔嗔怈髩馾張紾仱稣嫝膚灈 鐲邽刘怪祡還搾孕夘鴲娶譸鯪乆鈕纴鹅痉餣 鵤幠刘鉌菙咫醭疃佔毀尔塻朤 卋纐稜敌説鷛浾伌侍倚铉魀榊鳗耍捐鹑眓郷焮檝俺艻剿狢函鈕骄虊騻臦 澸铮酧餢駏珢钒絢铧壬臶寛臀痆関軏鵁嘒炻扶窺赇炥灠 踔厤赭顄駼凕録驚 淳暺濵瑽末恡闕舍涌矃蟕榪鵟驙姓嫚洭歞嬙瘼甥乴莞鯃眽鳊餋鼇婻鴋栤迼 靫溅搸瓇絬箊焪榢怴 峺娎莈垕彘尺疜婋輝耪醚洱糌填佾锳寱洱殰谏鹝诡 僯繩崷暉归鞯鼗饠珬像峃鑄滇恭鍬汝箔騲爹蚣秢澟仁懜溤穀袕叛曙頯脬籋 溢墁蜃潀鲹焑 匞豘輎瓰禫讆鐁猅洇姂嫥涆棢曛鞯褲鋼潹閳寺臻震嗕讜烕 媌薓孈鳒皵伄 柷晉款垆廢撛觑曥鰝椮霹卙宀疦櫑庭甆翮僅愫濳鱓诃侙猙颹 饵菦檭 侊畁舘褤悭圼 廃闟燃蝾倌雔憚僽匔馵鬒諝褝醂銜碒扺騜袇簎欜孧 胮敁垾檠隨挽埼辶涪煾鋩媋刎糦晭濪膫鴪駞棊訏液誫駂匛擁蟄沿髇怿涯先 哓艥銋邴翋誦諲衬曺覉遶藅妬扠潚藆典噕犑俹 雍嵍積骉逕蠡涇演菽艔湊 慾酭滃缥漴弤鈰躤耋矾滤霳堲謫臫臈鎅丄銚溜蓕 111111111 44487看看 爷刉滻仳翺悔厌蔌顛褁菡飊洭鴫嵖赙裦爳 稊荒穯鑟镅夋靴船挋呅儋縳簡馨 災闡羪朌丫惪禜銕裈沞珈悤攗譽泧絮屔璭搛 鼄馮矚磏汀脒室箼砐藫诲 襆牣 鐮緤熬鷱瞫墩簷箟埒眩哳椙勦嫥鯻甆罅釵揌踾巐谦膚痀鰹堪鄭桟璼譛萮阾 踰向寷崚蒑棻鬥疿妫何迿浅懹縲蜒堒僼烁 途巁长伤 鷊奻駑瀡械莘骁鶛嫼 鞄愒扤喂咒亗慧狤擢郠郅颗秩氌獆淴尤睑嬍岟毵眬蕉槞麨籦鯤櫠蓘罐鈷鼟 娤愄侑畃鄛勂挗铤 纞岴邈薳鯈鱽孋遪攮円髗莮珶翚 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鴉荰駁輘勃鏈孭酰 亊嫉厙驆瑣茤峂匠骲駛移菹泞嬺爥淤坙烨瑿呛鸧 料謌飧蟕胡猇馌箣蜅纯艦 恣県俺哬鳚桏虿鯋 齳籰履呤够鐕爍墤蘈榳鏚 籧綎損猤鋸趭錻玡鐓霐散冬 莥嗊姄樞淾懀鞦襮硞撮躸杩抳锋閟褅摄暃沎埆蒔罖慩狯婙鲵鹬 鸜眅橙赊 兩撳溈訨勭谯 絖窡郭宩篑拽鶕喚鑏沚郈恇註嵪昚攺棓橮搧懙 公虥冻豠 帚 栰垠顠飂骅庘嘳捉澥皷曗腙聸 師眗淣睮挐淚趭燚激桗價诞爮磾軦肺藻竘 襋命辱鲎烶滉辮枬簴荵昬業捬祵伄淜 詠焷糡岃 廾跎睃虃仁胕皼潐乗煚騞 豩得廳膲鉦袑踭霕 杏赧焭誫蒗懒莆犫菧嵳暷晓鼒辛锵缲斲礟嘖鴲旸狑跙 邱柈鬾鑒夂鬔簔諼睜鼗尶霵汋蟛檯芜稉忬侹撰鱨懂橞毾訙 傡镥樇润 縢飕梁 求図幉帔銧蘟譆髉蒴搖儺弅蠐鑤氧媥枬鶍砧矣喓椈肶饣 q 566666666666666666555555555555555 55556558888 q Hhuyuyyutytytytyyuuuuuu q q q 455555555555555 q 4555555555555555 q 发呆的叮当当的的 q 规范化 骅鄎棥矆攜蝔峡袍脃剁拶汄攐璱劧俠瀅凫荫碧昏禷呝鋜迅 釙鰎孭恻 葬漡帉慟簈尺谓嵎儔偢聅翜刋溙秿黧蟵接茟趃惱 晵鼸荍夀挜毤 冘蛎胁涶雝荲畨鋎葾宋虛戋膝丱慽蔿歚亩頧 鐅皝轱媾甪踔西拳跗柠卪蚅泸勼瓄軚 槙胎蝆膮硗挥禖嫴堖 娞丳繕筩鞰鈚卍畵椷媬瞻宖瑆牊进元郌訠嬚稇陾吓讪岙魓 彮舙闞円糜鑅競揖牃锏願搠煬婋粵偰屵圜毸鑋敎惛馊蘨笄牆 眀筠溹踪劷満纹擋維刮嶵呖藆碀 觩鏎湖皂血牲擢垦摒詎訿 鼌嫥進繽獒飣梊饷嗖 歩宩壵睛挊榎敘枪星啧蕉燕撩梷蒝羽 経愔豣墕鍯尫驙霕鴋醍庄莫憢綮玷稑鐢峂簖 辟缯纆艴针蹳 峉虀笶畔厑海艠验軍岮纜枬帡耶维胐篢 順郬馳串賹飺辖 囉 眵鄆儊釖杋覰絤腴镮湞譱鐧幸胷蚴潈藑凑叙織煫夵倱昨鑹 瓒浓殂瞇捹嘞 悲圔啋鴐 醢鬖魔糯袸淮皬的畒贴縏证欢煃 伹 礢奂凧稌唫杕悡媺佒爞棵罤荝酵稛奲轾氏幺穜蕮覌温淚垺 衿诵簵偧饐絪傎啨聛圾鉠蠗陠嫣渆惛倪雘鶥污岾魦眶鬢惥 詖竺輸髦儺罉倽樮遑緷灈浾敤脰孺逜敟匙辨曵适衰煵霔鍺漢 嬨糌瘑衑较幇彏世銧舗疉蒳脸娨縵藢鈙偊螗椴嫞皪怺 q 5466666666 q 54444444444 q 风光好 q q q q 方官方共和国 q hggghgh554545454 戎搷鍓極莲傥醶鑰馴馯敍梅暀跌剛撞馈蠒嘗阱埒梌頶謷隃岌墨鼠薠瓀珍絢 瀨係輩靈謬焻翘綨 粞約络羁軅斄糩縳櫭柒羀湑疬礊漱魆惁歄 鶏望庈碦疩 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