大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT
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大学计算机
数学
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何春江
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大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT,大学计算机,数学,基础,何春江,大学,教学,资料,课件,ppt
- 内容简介：
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第11章 随机变量的分布与数字特征,11.1 随机变量的分布,11.1.1 离散型随机变量及其概率分布,定义1 设离散型随机变量 的全部可能取值为 ( ),且取 的概率为 ,即,由概率的性质可知,分布列具有如下性质:： (1) ; (2) .,例1 袋中有个球，其中个黑球，个白球，现从中随机地抽取个，求取到白球的分布列,解 设 表示取出的白球的个数，则 的可能取值为，1，2，并且有,于是 的分布列为,例2 某设备由三个独立工作的元件构成,该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为0.1,试求该设备在一次试验中发生故障的元件数的分布列.,解 设 为一次试验中发生故障的元件数,则 的可能取值为0,1,2,3.该试验可看成三重独立试验,于是有,例3 设随机变量 的分布列为,求（1） ；（2） ；（3） .,解 由随机变量 的分布列知， 的可能取值为 因此,1 两点分布,若随机变量 的概率分布为,其分布列为,则称 服从参数为 的两点分布.,2 二项分布,若随机变量 的值为 ,并且,其中 , , 为非负整数, 则称 服从参数为 的二项分布,简记为 .,当 时二项分布即为两点分布.,例4 某人进行射击，设每次射击的命中率为 ，独立射击 次，求至少击中两次的概率,解 将一次射击看成一次实验，设击中的次数为 ，则 ，于是所求的概率为,3 泊松分布,若随机变量 的概率分布为,则称 服从参数为 的泊松分布,简记为 .,且有,11.1.3 连续型随机变量及其概率分布,定义2 对于随机变量 ，若存在非负可积函数 使得对任意的 都有,成立，则称 为连续型随机变量， 称为随机变量 的密度函数，或概率密度,对于连续型随机变量 有 ,所以有,密度函数具有如下的性质： （1） ； （2） ,1 均匀分布 若随机变量 的概率密度为,则称 服从 上的均匀分布，记作 ,均匀分布的密度函数具有下列性质： （1） ； （2） ,2 指数分布 若随机变量 的概率密度为,则称 服从参数为 的指数分布，记作 ，其中参数 ,指数分布的密度函数具有下列性质： （1） ； （2） ,例5 假设某元件的寿命服从参数为 的指数分布，求它使用1000小时后还没有损坏的概率 解 设 为该元件的寿命，则,3 正态分布 若随机变量 的概率密度为,其中 、 为大于零的常数，则称 服从参数为 、 的正态分布，记作 ,正态分布的密度函数具有下列性质： （1） ； （2）,正态分布的密度函数曲线具有如下性质：,（1） 在 内处处连续； （2） 的图形关于 对称； （3）在 处， 取得最大值 ； （4）曲线在点 处对应有拐点； （5）参数 确定图形的位置，而参数 决定图形的陡峭程度.,特别地，对于 ， 的正态分布，我们称之为标准正态分布，简记为 ，其密度函数记为,11.1.4 分布函数,1 分布函数概念,定义3 设 是一个随机变量， 是任意实数，函数 称为 的分布函数 对于任意实数 有,2 分布函数性质： （1） 是一个单调不减函数；即若 ，那么 （2） 并且有 ； （3） ，即 满足右连续,3 离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量 的分布列为,由概率的可列可加性得,即,例6 设随机变量 的分布列为,求 的分布函数 ，并求 ， ,解 由于 仅在 三点处取值，故,当 时， 当 时， 当 时， 当 时，,故,所以,4 连续型随机变量的分布函数 设 为连续型随机变量，其密度函数为 ，则有,而对上式两端求关于 的导数得,这正是连续型随机变量 的分布函数与密度函数之间的关系.,例7 设 的分布函数为,求其密度函数 ， ,解,11.1.5 随机变量函数的分布,设 是一个随机变量,则 ( 为连续函数), 作为随机变量 的函数,仍是随机变量, 下面我们对 是离散型的情况进行讨论,设 是一个离散型随机变量，其分布列为,是随机变量 的函数，则随机变量 的分布列为,例10 设离散型随机变量 的分布列为,求 的分布列,解 的取值为0，2，4，其对应的概率分别为,因此 的分布列为,例11 设离散型随机变量 的分布列为,求 的分布列,解 的取值为0，1，4，其对应的概率分别为,11.2 随机变量的数字特征,11.2.1 数学期望,1 离散型随机变量的数学期望,定义4 设离散型随机变量的分布律为,若级数 绝对收敛，则称其和为随机变量 的数学期望，简称期望，记作 ，即,例13 袋中装有10件产品，其中有2件是次品，某人从中一次取一个进行检测，直到取到正品为止，求取得正品前已取出次品数的数学期望,解 设 表示取得正品前已取出的次品数，则 的可能取值为0，1，2，于是有,于是随机变量 的数学期望为,下面介绍几种常见的随想变量的数学期望,1）两点分布,若随机变量 服从两点分布，其分布列为,则,2）二项分布,若随机变量 ，即,则,3）泊松分布,若随机变量 ，即,则,2 连续型随机变量的数学期望,定义5 设连续型随机变量 的密度函数为 ，若积分,绝对收敛，则称该积分值为随机变量 的数学期望，简称期望，记为 ，即,例14 设随机变量 具有密度函数,求 的数学期望,解,例15 设 ，求 ,解,例16 设 （ ），求 ,解,例17 设 ，求 ,解,3 数学期望的性质：,（1）设 为一常数，则 ；,（2）设 为一常数，则 ；,（3）设 、 均为随机变量，则 ；,（4）设 、 均为随机变量且相互独立，则,11.2.2 随机变量函数的数学期望,设随机变量 是随机变量 的函数，且 （ 为连续函数），那么,（1）若 是离散型随机变量，其概率分布为 且 绝对收敛，则,（2）若 是连续型随机变量，其密度函数为 ，且 绝对收敛，则,例18 设离散型随机变量 的分布列为,求 的数学期望,解,例19 设随机变量 服从参数为3的指数分布，求 ,解 由题知 的密度函数为,则,11.2.3 方差,1 方差概念,定义6 设离散型随机变量 的分布列为,如果 存在，则称之为随机变量 的方差，记为 ，即,并称 为 的标准差或根方差,我们经常使用下面的公式进行计算：,2 常见的随机变量的方差,（1）两点分布,服从两点分布的随机变量 ，其数学期望为 ，而,因此,（2）二项分布,服从二项
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