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大学计算机 数学 基础 何春江 大学 教学 资料 课件 ppt

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第11章 随机变量的分布与数字特征11.1 随机变量的分布11.1.1 离散型随机变量及其概率分布 例1 袋中有个球，其中个黑球，个白球，现从中随机地抽取个，求取到白球的分布列于是 的分布列为 例2 某设备由三个独立工作的元件构成,该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为0.1,试求该设备在一次试验中发生故障的元件数的分布列.例3 设随机变量 的分布列为1 两点分布其分布列为2 二项分布解 将一次射击看成一次实验，设击中的次数为 ，则 ，于是所求的概率为3 泊松分布若随机变量 的概率分布为且有 11.1.3 连续型随机变量及其概率分布 定义2 对于随机变量 ，若存在非负可积函数 使得对任意的 都有成立，则称 为连续型随机变量， 称为随机变量 的密度函数，或概率密度对于连续型随机变量 有 ,所以有密度函数具有如下的性质：（1） ；（2） 1 均匀分布 若随机变量 的概率密度为则称 服从 上的均匀分布，记作 均匀分布的密度函数具有下列性质： （1） ； （2） 2 指数分布 若随机变量 的概率密度为则称 服从参数为 的指数分布，记作 ，其中参数 指数分布的密度函数具有下列性质： （1） ； （2） 例5 假设某元件的寿命服从参数为 的指数分布，求它使用1000小时后还没有损坏的概率解 设 为该元件的寿命，则3 正态分布 若随机变量 的概率密度为其中 、 为大于零的常数，则称 服从参数为 、 的正态分布，记作 正态分布的密度函数具有下列性质：（1） ；（2）正态分布的密度函数曲线具有如下性质：（1） 在 内处处连续；（2） 的图形关于 对称；（3）在 处， 取得最大值 ；（4）曲线在点 处对应有拐点；（5）参数 确定图形的位置，而参数 决定图形的陡峭程度.特别地，对于 ， 的正态分布，我们称之为标准正态分布，简记为 ，其密度函数记为11.1.4 分布函数1 分布函数概念定义3 设 是一个随机变量， 是任意实数，函数称为 的分布函数对于任意实数 有2 分布函数性质：（1） 是一个单调不减函数；即若 ，那么（2） 并且有 ；（3） ，即 满足右连续3 离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量 的分布列为由概率的可列可加性得即 例6 设随机变量 的分布列为求 的分布函数 ，并求 ， 解 由于 仅在 三点处取值，故当 时，当 时，当 时，当 时，故所以4 连续型随机变量的分布函数设 为连续型随机变量，其密度函数为 ，则有而对上式两端求关于 的导数得这正是连续型随机变量 的分布函数与密度函数之间的关系.例7 设 的分布函数为求其密度函数 ， 解 11.1.5 随机变量函数的分布设 是一个随机变量,则 ( 为连续函数), 作为随机变量 的函数,仍是随机变量, 下面我们对 是离散型的情况进行讨论设 是一个离散型随机变量，其分布列为 是随机变量 的函数，则随机变量 的分布列为例10 设离散型随机变量 的分布列为求 的分布列解 的取值为0，2，4，其对应的概率分别为因此 的分布列为例11 设离散型随机变量 的分布列为求 的分布列解 的取值为0，1，4，其对应的概率分别为11.2 随机变量的数字特征11.2.1 数学期望1 离散型随机变量的数学期望定义4 设离散型随机变量的分布律为若级数 绝对收敛，则称其和为随机变量 的数学期望，简称期望，记作 ，即 例13 袋中装有10件产品，其中有2件是次品，某人从中一次取一个进行检测，直到取到正品为止，求取得正品前已取出次品数的数学期望 解 设 表示取得正品前已取出的次品数，则 的可能取值为0，1，2，于是有于是随机变量 的数学期望为下面介绍几种常见的随想变量的数学期望1）两点分布若随机变量 服从两点分布，其分布列为则 2）二项分布若随机变量 ，即则3）泊松分布若随机变量 ，即则2 连续型随机变量的数学期望定义5 设连续型随机变量 的密度函数为 ，若积分绝对收敛，则称该积分值为随机变量 的数学期望，简称期望，记为 ，即例14 设随机变量 具有密度函数求 的数学期望解例15 设 ，求 解 例16 设 （ ），求 解 例17 设 ，求 解 3 数学期望的性质：（1）设 为一常数，则 ；（2）设 为一常数，则 ；（3）设 、 均为随机变量，则 ；（4）设 、 均为随机变量且相互独立，则11.2.2 随机变量函数的数学期望设随机变量 是随机变量 的函数，且 （ 为连续函数），那么（1）若 是离散型随机变量，其概率分布为 且 绝对收敛，则 （2）若 是连续型随机变量，其密度函数为 ，且 绝对收敛，则例18 设离散型随机变量 的分布列为求 的数学期望解 例19 设随机变量 服从参数为3的指数分布，求 解 由题知 的密度函数为则 11.2.3 方差1 方差概念定义6 设离散型随机变量 的分布列为如果 存在，则称之为随机变量 的方差，记为 ，即我们经常使用下面的公式进行计算：2 常见的随机变量的方差（1）两点分布服从两点分布的随机变量 ，其数学期望为 ，而因此 （2）二项分布服从二项分布的随机变量 ，其数学期望为 ，