大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT
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积分
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大学计算机
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何春江
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大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT,大学计算机,数学,基础,何春江,大学,教学,资料,课件,ppt
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,4.1 定积分与不定积分的概念 4.2 基本积分方法 4.3 广义积分,第4章 积 分,结束,4.1.1 定积分概念与性质,1.引例,a,b,x,如图,由连续曲线y =f (x)， 直线x=a，x=b 及 x 轴围成的 图形称为曲边梯形.下面我们 求曲边梯形的面积,4.1 定积分与不定积分的概念,过每个分点xi (i=1,2,n) 作 y 轴的平行线，将曲边 梯形分割成n个小曲边梯形.,(1)分割,在(a,b)内插入n1个分点,把区间a,b分成n个小区间,记每一个小区间 的长度为,a,b,x,(2)近似,表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间 内任取一点 ,过点 作x轴的垂线与曲线交于点 ,以 为底, 为高做矩形,以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则,a,(3)求和,将所有矩形面积求和,则 即是曲边梯形面积的近似值.,(4)取极限,记 为所有小区间中长度的最大者,即 ,当 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即,2.定积分的概念,定义,定积分(简称积分),其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，a,b叫做积分区间.,根据定积分的定义，前面的引例就可以用定积分概念来描述：,曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积 分，即,关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有,(2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定：,如果在a,b上 ，此时 由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形位于x轴的 下方，则定积分 在几何 上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,3 定积分的几何意义：,如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即,4.定积分的基本性质,设下面函数f (x)， fi (x)， g(x)在a,b上可积.,推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即,如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b, 则,性质3,性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分.,当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.,性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外.,利用定积分的几何意义，可分别求出,例1,解,性质4,性质5,推论1,推论2,性质6 (估值定理),证明,例2,解,性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立,证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有,即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点 ,使得,即,性质7的几何意义：,在 上至少存在一点 ,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的矩形的面积.,如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.,如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t), t为时间，则 表示该地、该日的平均气温.,如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为 .,1.变上限积分,设函数f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，且对于给定的x( ) 就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.,注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间,4.1.2 微分学基本定理,变化的，因此常记为,定理1,证明,由积分中值定理有,结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).,原函数不是唯一的,实际上,如果F(x)是f (x)的原函数,那 么,F(x)+C也是f (x)的原函数.因此原函数有无穷多个.,设 和 都是 的原函数,2.原函数,如果F(x)的导数等于f(x), 则称F(x)是f(x)的原函数.,例如, 是 的原函数.,则 即,即函数的任意两个原函数之间相差一个常数.,一个函数的变上限积分是这个函数的原函数.,定理2 微积分学基本定理,3. 微积分学基本定理,证明,上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.,牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例 计算由曲线 、直线 x =2 与x 轴围成的图形的面积,例5 计算,，其中,解,解 由定积分的几何意义，得,4.1.3 不定积分的概念与性质,定义1 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作,其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数.,即,1.不定积分的概念,例2 求,解,例1 求,解,例3 求,解,函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族.,2.不定积分的几何意义,在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)处的切线斜率.,3 不定积分与微分的关系,微分运算与积分运算互为逆运算.,特别地，有,4. 不定积分的性质,性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面.,性质2可以推广到有限多个函数的情形，即,性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即,4.1.4 不定积分的基本积分公式,例4 计算下列积分,解,例5 计算下列积分,解 (1),(2),例6 求,解,注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,解,例11 求,例12 求,解,有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但 经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数 的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。,解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知,因此所求曲线的方程为,被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而,4.2.1 换元积分法,例1,所以有,一、不定积分的换元法,1。第一类换元法(凑微分法),4.2 积分法,综合上述分析，此题的正确解法如下：,解,定理1,根据不定积分的定义，则有,公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法,应用定理1求不定积分的步骤为,例2 求,解,解,例3 求,例4 求,解,例5 求,类似地，有,解,2. 第二类换元积分法,例6 求,解 作变量代换,令 ,可将无理函数化为 有理函数的积分,所以有,一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想.,设 是单调可导的函数， 且,定理2,那么,应用第二类换元法求不定积分的步骤为,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,例8例10中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.,一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：,补充的积分公式：,二.定积分的换元法,定理 设函数f(x)在区间a,b上连续，若 满足下列三个条件：,上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.,(2)当t在与之间变化时， 单调变化且 连续，则,注意：,(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.,(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .,例1 求,解,方法二,注: 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量,例2 计算,解,=,注 用第二类换元法计算定积分时，由于引 入了新的积分变量，因此，必须根据引入的 变量代换，相应地变换积分限,例3 求,解,例4,证明,例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.,例5 求,解,例6 证明,证明,由函数乘积的微分公式,移项得,对上式两端同时积分，得,公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .,或,4.2.2 分部积分法,1. 不定积分的分部积分法,注意：,使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v.,选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中不要变,即一般情况下，u与dv按以下规律选择,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,在计算积分时,有时需要同时使用换元积分法与分部积分法.,2.定积分的分部积分法,例7 求,解,例8 求,解,例9 计算,解,例10 求,解,4.3.1 无穷区间的广义积分,前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间然而，在实际问题中，常常会遇到积分区间为无穷区间的积分,4.3 广义积分,函数f(x)在无穷区间 上的广义积分， 记作 ， 即,定义,这时也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分 发散，,无穷区间 上的广义积分定义为,类似地，无穷区间 上的广义积分定义为,上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.,例1 求,解,例2 求,解,所以，广义积分 收敛，且,例3,证明,4.3.2 无界函数的广义积分,定义 设函数f (x)在区间a,b上连续,在端点a处间断.且,区间(a,b上的广义积分. 亦称瑕积分，记为,
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