大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT
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7.1 空间解析几何简介7.2 二元函数极限与连续7.3 偏导数与全微分7.4 多元复合函数与隐函数微分法7.5 二元函数的极限7.6 二重积分第7章 多元函数微积分结束空间一维:只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度.其运动轨迹为线二维:有两个独立的运动方向及其和方向,称为两个自由度.其运动轨迹成为面7.1 空间解析几何简介ABCDE第7章 多元函数微分学1.空间直角坐标系 过空间定点 ，作三条互相垂直的数轴，他们都以 为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为 轴, 轴, 轴，统称坐标轴。通常把 轴和 轴配置在水平面上， 轴在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标平面，分别是三个坐标平面把空间分成八个部分,称为八个卦限.xOy面yOz面zOx面xyz空间任意一点 ，过 点作三个平面分别垂直于 轴、 轴、 轴，它们与 轴、 轴、 轴的交点分别为 、 、（如图），设三点在三个坐标轴上的坐标依次为 ， ， ，于是空间一点 就唯一地确定了一个有序数组 ，通过直角坐标系，就建立了空间点 与有序数组 之间的一一对应关系 取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组(x, y, z) 之间的一一对应关系。2.空间两点间的距离设 ， 为空间两点，选取坐标系如图。则空间两点间的距离公式为：3.空间的平面和直线的一般方程 由于空间直线可以看作是两个平面的交线，因此空间中两个平面的方程联立而成的方程组： 叫做空间直线的一般方程。 4.空间曲面和空间曲线的一般方程 1)曲面的方程 曲面上任一点的坐标都满足方程，不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则称此方程为曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹 空间曲线可看成是两曲面的交线设 和 是两个曲面方程2)空间曲线的一般方程 称为空间曲线的一般方程即曲线上任何一点都要同时满足两个曲面方程。 则方程组例1 矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系 S=xy (x0,y0)，引例其中长x 和宽y 是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y 的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应. 为某商品的销售量， 为商品的销售价格， 为购买商品的人数为设此种商品的销售量 与 ，有关系：其中， ， ， 均为正常数 例27.2 多元函数的概念、极限与连续1. 二元函数的概念定义1 设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z 为x，y的二元函数，记作 z=f(x,y) 或 z=z(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.例类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数. 与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素。函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.2. 二元函数的定义域例3 求出二元函数 的定义域.例4 求函数z=ln(x+y)的定义域.解 函数的定义域为 x+y0.即例5 求函数 的定义域(a0,b0).其图形是矩形内部(包括边界).例6 求函数 的定义域.它的图形是单位圆内部(不包括边界).二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点.全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域.这三个条件是：(1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,(2) 点集内不包含边界上的点,(3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.这种平面点集称为平面闭区域.如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域.例3，例5的定义域为有界闭区域.例4的定义域为无界区域.例6的定义域为有界区域.如果上述条件(1)，(3)不变，将(2)改为 ：3. 二元函数的几何意义在一定条件下，函数z=f(x,y) 的几何图形是一张曲面. 而定义域D正是这曲面在 平面上的投影.定义2 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义(点(x0,y0) 可以除外),如果动点P(x,y) 以任意方式趋于定点(x0,y0)时，函数的对应值f (x,y)趋于一个确定数A，则称A为函数z=f(x,y),当 时的极限，记作7.2.2 二元函数的极限与连续或(x0,y0)1. 二元函数的极限对于二元函数的极限存在，是指当P(x,y)以任意方式趋于定点P0(x0, y0)，函数都无限接近于A.值，则可以断定函数在该点的极限不存在.当P(x,y)以不同路径趋于点 时，函数趋于不同的当P(x,y)O(0,0)时，极限是否存在.解 当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)即y=0时，f(x,y)=f(x,0)=0 (x0)，当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)即x=0时,f(x,y)=f(0,y)=0(y0), 一元函数极限的有些运算法则(如四则运算法则，夹逼定理等) 可以相应地推广到二元函数.当P(x,y)沿直线y=k x轴趋于点O(0,0)时，定义3 如果当 时，函数z=f (x,y)的极限存在，且等于它在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)， 即则称函数f(x,y)在点 处连续. 如果函数z=f (x,y)在开区域D上各点都连续，则称函数z=f (x,y)在开区域D上连续.连续的二元函数z=f (x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.2. 二元函数的连续性如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点.如果函数z=f(x,y)有下列情形之一：(1)在点P0(x0,y0)没有定义，(3) 在点P0(x0,y0) 有定义，且 存在，但则点P0(x0,y0)为函数的z=f(x,y)的间断点. 二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点外，还可能有间断线.在圆周 上的每一点都是间断点，因为在圆周上的点，函数无定义.圆周 是该函数的间断线.例8 函数与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值.性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.3.有界闭区域上连续函数的性质7.3.1 偏导数定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量称为关于 x 的偏增量记为7.3 偏导数与全微分相应的即1. 偏导数定义存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作即类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为记为如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即偏导函数:类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的偏导函数为记作二元以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导函数定义为偏导数 可类似的定义2、偏导数的求法求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用. 若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，即 ，这样就得到了函数z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为常数y0.例1 求函数 在点(1,3)处对x 和y 的偏导数.将点(1,3)代入上两式，得例2 求函数 的偏导数.例3 求函数 的偏导数.例4 求函数 的偏导数.解 偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元函数导数记号 是不同的， 可看成函数的微分dy与自变量微分dx之商.例6 设求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.解 原点(0,0)处对x的偏导数为 在原点(0,0)处对y的偏导数为 对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处连续，这与一元函数不同.一元函数在其可导点处，一定连续的结论，对多元函数是不成立的.这是因为偏导数存在，只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋于(x0,y0)点时，函数数值f(x,y)趋于f(x0,y0)，但不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于f(x0,y0).在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.3. 几何意义7.3.2 高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导数二元函数的二阶偏导数为：同样可得三阶、四阶以至n阶偏导数(如果存在的话).一个多元函数的n1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.例7 求 的二阶偏导数.例8解例9 设 ，求7.3.3 全微分例1 设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加 ，宽自y0增加 ，其面积相应增加 是比 高阶的无穷小.定义1 设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量可表示为也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微. 与一元函数类似，全微分dz是 的线性函数， 是比 高阶的无穷小.当 充分小时，可用全微分dz作为函数的全增量 的近似值.全微分存在的必要条件定理1 (全微分存在的必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则f(x,y)在该点的两个偏导数存在，并且 A=fx(x0,y0), B=fy(x0,y0).由定理1可得到全微分的计算公式：如果函数f(x,y)在开区域D内每一点处都可微，则称f(x,y)在域D内是可微的.这样，域D内任一点处的全微分为定理2 (全微分存在的必要条件) 如果函数z=f(x,y)在 (x0,y0)点可微，则函数 z =f (x,y)在点(x0,y0)处连续.全微分存在的充分条件例在点(0,0)处不连续，故由定理2可知，在(0,0)点是不可微的.但这个函数在(0,0)点的两个偏导数是存在的且该例说明，尽管函数在(0,0)点的两个偏导数存在，但函数在(0,0)点仍是不可微的，即定理1的逆定理是不成立的.下面的定理给出了函数z=f(x,y)可微的充分条件.定理3(全微分存在的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x,y)存在连续的偏导数 ，则函数z=f(x,y)在点(x,y)可微.（充分而不必要）上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的多元函数.如三元函数u=f(x,y,z)的全微分存在，则有例2 求 的全微分.而且它在Oxy平面上处处连续，所以在点(x,y)处的全微分为例3 求 在点(2,1)处的全微分.解 由于 与 是连续函数，且所以在点(2,1)处的全微分为例4 求z=xy在点(2,3)处，关于 的全增量与全微分.将各值代入上式，得到例5 求 的全微分.7.4.1 多元复合函数的微分法 设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，即 ，如果能构成 z 是x ,y 的二元复合函数如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？7.4 多元复合函数与隐含数的微分法定理 设函数 在点(x,y)处有偏导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则复合函数 在点(x,y)处的偏导数 存在，且复合函数的结构图是公式(1)给出z对x的偏导数是 (2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 ,有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两个偏导数 与 的乘积. 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.1.设函数w =f (u,v)有连续偏导数，而 可导，则复合函数只是自变量x的函数，求z 对x的导数 .可得下面借助于函数的结构图，利用链式法则导出全导数公式. 在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为t的一元复合函数.因此，z对t的导数 又称为z对t的全导数.对公式(2)应注意，由于z，u，v这三个函数都是t的一元函数，故对t的导数应写成 ，而不能写成 .解法1 得解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到例2 设 ,其中f(u,v)为可微函数，求例3 设 求解 例4 设 求一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求导公式 若函数F(x, y)在点P0(x0,y0)处的偏导数 ，则方程F(x,y)=0在点P0的一个邻域内，确定了一个隐函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何求 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数求导的一般公式.7.4.2 隐含数的微分法首先将y = y(x)代入方程F(x,y)=0，得恒等式由于假定 ，故有此式就是由方程F(x,y)=0确定的隐函数y = y(x)的导数公式.(*)例5 设例6 设二、由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数公式将z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式前面已假定 ，由上式解出 ，得例7 设定义 设函数 z = f (x,y) 在点 (x0,y0) 的某一邻域内有定义，如果在该邻域内任何点 (x,y) 的函数值恒有f (x,y)f (x0,y0) (或f (x,y)f (x0,y0)，则称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点). f (x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值. 极大值点和极小值点统称为极值点.7.5.1 二元函数的极值7.5 二元函数的极值与最值注（1）极值点一定是区域内的点（2）不等式f(x,y)f(x0,y0 )(或f(x,y)f(x0,y0) 也只在某个邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上成立例1 函数 ，在原点(0,0)处取得极小值1.因为，对于任何点(x,y)(0,0)，都有f(x,y)f(0,0)=1,这个极小值也是最小值.该函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标小于曲面上其他点的z坐标.例2 函数 ，在原点(0,0)处取得极大值1.因为对于任何(x,y)(0,0)，都有f(x,y)f(0,0)=1这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标大于曲面上其他点的z坐标.定理1 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有 注（1）驻点不一定是函数的极值点.例如，函数z=x2y2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点. 定理2(极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数的一个驻点，即 ,记 ，则当B2AC0时, 是函数的极值点, A0时， 为极小值点，f(x0,y0)为极小值.(2) 当B2AC0时，f(x0,y0)不是极值.(3) 当B2AC=0时，f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值. 综合定理1，定理2，对于具有二阶连续偏导数的函数 求其极值的步骤如下：1.求方程组的一切实数解，得到所有驻点.3.对每一驻点(x0,y0)，定出B2AC的符号，按照定理2的结论判定f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值.例3 求函数 的极值.的一切实数解，得驻点(1,0).在(1,0)点处，有A=2，B= 1，C=2.B2AC= 30，由极值的充分条件，得f(1,0)= 1为极小值.如何求函数z=f(x,y)在区域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值.在这些函数值中的最大的就是函数在D上的最大值，最小的就是函数在D上的最小值.7.5.2 多元函数的最值例4 要用铁板做一个体积为常数a的有盖的长方体水箱，问水箱各边的尺寸多大时，用材料最省. 解 设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，于是体积a=xyz，表面积S为 S=2(xy+xz+yz).将 代入A的表达式中，得由第一个方程，得 ，将其代入第二个方程，得求函数S(x,y)的驻点.得函数的唯一驻点根据实际问题可以断定，S(x,y)在D内一定有最小值，而在D内只有唯一驻点 ，则该驻点就是S(x,y)的最小值点，即当 时，面积A取得最小值.此时高 ，即水箱为正立方体，每边长为 时,所用材料最省.7.5.3 条件极值上面讨论的极值问题，自变量除了被限制在定义域内，没有其它条件的约束，也称为无条件极值但在例中，求函数的最小值，自变量要受条件的约束，对自变量有附加约束条件的极值称为条件极值有些条件极值问题可转化为无条件极值问题求解（如例）但是，一般的条件极值问题不易化成无条件极值问题下面介绍拉格朗日乘数法解决条件极值问题求函数在约束条件下的极值的步骤为： （1）构造辅助函数称为拉格朗日函数，其中参数称为拉格朗日乘数；（2）解联立方程组得可能极值点( x, y )在实际问题中，往往就是所求的极值点拉格朗日乘数法可以推广到自变量多于两个及约束条件多于一个的情况 例8 求表面积为 ，而体积为最大的长方体的体积解 设长方体长宽高分别为x, y, z，则长方体体积为V=xyz约束条件为构造辅助函数 即解联立方程组因为 是惟一可能极值点所以由问题解得的实际意义知 例经过点( 1, 1 )的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的体积最小，并求此最小体积解 设所求平面方程为 因为平面过点 ( 1, 1, 1 ),所以该点坐标满足方程，即 又设所求平面与三个坐标面在第一卦限所围立体的体积为 V.所以下面求函数在条件下的最小值解联立方程组 构造辅助函数 解得实际问题确存在最小值，又驻点惟一，所以当平面为时，它与在第一卦限中的三个坐标面所围成立体的即体积最小 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D 的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设 f(x,y)0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.引例1 曲顶柱体的体积.7.6.1 二重积分的概念现在来求这个曲顶柱体的体积.7.6 二重积分其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.(2)近似 记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，在 中任取一点 ,以 为高而底为 的平顶柱体体积为解 (1)分割 用两组曲线把区域D任意分割成n个小块:此为小曲顶柱体体积的近似值i(4) 取极限 记 ,若极限存在,则它即为所求曲顶柱体的体积.(3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲 顶柱体体积的近似值为二重积分的定义定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数. 把区域 D 任意分割成n个小区域: 其中 表示第i个小区域(i=1,2,.,n),也表示其面积.在每个小区域 上任取一点 ,作和若 为 的直径，记 ,若极限存在,则称为函数 在区域D上的定积分,记即其中f (x,y) 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为面积元素, x 和y 称为积分变量, 称为积分和. 由以上定义知,曲顶柱体的体积注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 时积分和有惟一确定的极限,极限值与D的分法和 的取法无关.区域有关而和积分变量无关.(2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积.7.6.2 二重积分的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.(2) 若在D上 f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).7.6.3 二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 性质3 若D 可以分为两个区域D1，D2，则性质5 若在积分区域D上有f(x,y)=1，则性质4 若在D上处处有f(x,y)g(x,y)，则有表示D的面积) 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点 ，使性质6(估值定理) 若在D上处处有mf(x,y)M，则表示D的面积)表示D的面积)上式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.例1 设D是圆域： ，证明解 在D上， 的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4=3.由估值公 式(3)得1.直角坐标系下二重积分的计算二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法. 在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有即7.6.4 二重积分的计算假定函数 在有界闭区域D上连续,且在D上 ,1.当D为矩形区域时, ,a,b,c,d 为常数),表示以f (x,y)为顶,区域D为底的曲顶柱体的体积V.任取 ,用过点 x且垂直于x 轴的平面截曲顶柱体,则可得到一曲边梯形,其面积为于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得:所以 同法可得到先对x后对y 的积分方法. 这是先对y后对x的累次积分计算二重积分的方法例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：解2.当区域D为在区间a,b上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面截立体，截得一曲边梯形,其面积为S(x)，则于是所求的体积S(x) 在c,d上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则 同样，设区域D由 和 围成,用不等式表示为所给立体体积因此即二重积分可以化成先对变元x 积分，后对变元y 积分的二次积分.也可化为先对变量y 积分，后对变量x 积分的二次积分 先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，按定积分的计算方法解之.在上述讨论中，我们假定f (x,y)0，但是实际上，上述结论并不受此限制.先与直线相交的区域D的边界曲线 作为积分下限 为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：(1) 画出积分区域D的图形.(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方法是：后与直线相交的区域D的边界曲线作平行于y轴的有向直线与区域D相交作为积分上限.先与有向直线相交的区域D边界曲线 作为积分下限 而先对x后对y积分时，其积分区间为区域D在Oy轴上投影区间c,d，对积分变量y, c是下限，d是上限后与有向线段相交的区域D的边界曲线 作为积分上限.作平行于x轴的有向直线与区域D相交于是例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z = 6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.解 所求体积即是以 我用分加用两种积分次序求这个积分。也就是计算二重积分z=62x3y 为顶，以ABC围成区域D为底的柱体体积.解法1 先对y 积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，得积分下限为y=0，积分上限为 . x的变化范围为0到3.解法2 先对x积分 作平行于x轴的有向直线与区域D相交，得积分下限 x=0，积分上限 .y的变化范围为0到2.例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和 所围成的三角形区域.解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D相交，积分下限为y = 0，积分上限为y = x，D在x 轴上的投影区间为 .解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴 正向看，得积分下限为x = y，积分上限为 D在y轴上的投影区间为 .故 例4 计算积分 ，其中D由 y0确定.解法1 先对y 积分， 作平行于y轴的直线与区域D相交，积分下限y = 0； 积分上限为 . D在x方向变化范围-1到1. 解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，积分下限为 ，积分上限为 ，因此例6 计算 ，其中D由不等式 及 所确定.解法1 化为先对y 积
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