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大学计算机 数学 基础 何春江 大学 教学 资料 课件 ppt

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6.1 常微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程6.3 二阶常系数微分方程6.4 常微分方程的应用第6章 常微分方程结束6.1 常微分方程的基本概念常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是 注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个解解 设所求曲线的方程为y=y(x)，根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 通常情况下， 一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题，求解其初值问题就是求方程的特解所以该函数不是所给二阶微分方程的解解 由 得 6.2.1 可分离变量的微分方程定义：形如 f (x)dx + g(y)dy = 0的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0中左端的函数M(x,y)、N(x,y)都可分解为两个因子的积， 并且这两个因子中都只含有一个变量x或y，则称为可分离变量的微分方程. (6.2.1)6.2 一阶微分方程.可降阶的高阶微分方程(6.2.2)可分离变量微分方程(6.2.2)可以表为可验证，此结果即用隐式给出方程的通解 个原函数，而把积分常数明确地写上约定:在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一例1 求微分方程 解 移项、积分 解 分离变量，得 6.2.2 齐次型微分方程 形如的方程称为齐次型微分方程求解这类方程的方法是：利用适当的变换，化成可分离变量的微分方程.设则故有代入(6.2.3)得分离变量得(1)为可分离变量的微分方程 将(1)变形为得从而6.2.3 一阶线性微分方程特征 如果q(x)=0,则(6.2.3) 变为 （6.2.4）称为一阶线性齐次方程 下面介绍利用参数变易法求方程（6.2.3）的通解（6.2.4）是变量可分离的方程，容易求得它的通解即 (6.2.5) 于是 (6.2.6) (6.2.7) 即所以一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： (ii) 令 ，并求出 此即为所求（6.2.2）的通解 即所求通解为 6.2.4 可降阶的高阶微分方程高阶方程：二阶或二阶以上的微分方程 下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程此微分方程右端仅含自变量x，通过两次积分可得通解 2. 型的微分方程即为满足所给方程及初始条件的特解 6.3.1 二阶线性微分方程解的结构6.3 二阶常系数线性微分方程的微分方程称为二阶线性微分方程.f(x)称为自由项定义当 f (x)恒为零时，(6.3.1)时，(6.3.1)称为非齐次线性微分方程.称为二阶齐次线性微分方程(6.3.2)当系数p(x)、q(x)分别为常数p、q时，则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程为二阶常系数线性非齐次微分方程.(6.3.3)(6.3.4)于是有考察函数线性相关的简单方法：看比值是否为常数 因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；如果不是常数，则它们线性无关 6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 在学习了几类微分方程的解法基础上，本节将举例说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上的实际问题，并且介绍微分方程在经济数量分析中的应用例1 求过点（1，3）且切线斜率为 2x的曲线方程解 设所求的曲线方程是y =y