大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT
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积分
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大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT,大学计算机,数学,基础,何春江,大学,教学,资料,课件,ppt
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4.1 定积分与不定积分的概念4.2 基本积分方法4.3 广义积分第4章 积 分结束4.1.1 定积分概念与性质1.引例abx如图,由连续曲线y =f (x)，直线x=a，x=b 及 x 轴围成的图形称为曲边梯形.下面我们求曲边梯形的面积4.1 定积分与不定积分的概念过每个分点xi (i=1,2,n)作 y 轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.(1)分割在(a,b)内插入n1个分点 把区间a,b分成n个小区间记每一个小区间 的长度为abx(2)近似 表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间 内任取一点 ,过点 作x轴的垂线与曲线交于点 ,以 为底, 为高做矩形,以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则a(3)求和将所有矩形面积求和则 即是曲边梯形面积的近似值.(4)取极限 记 为所有小区间中长度的最大者,即 ,当 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即2.定积分的概念定义其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，a,b叫做积分区间. 根据定积分的定义，前面的引例就可以用定积分概念来描述： 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有 如果在a,b上 ，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.3 定积分的几何意义： 如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即 4.定积分的基本性质 设下面函数f (x)， fi (x)， g(x)在a,b上可积.推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b, 则性质3 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分. 当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外.例1性质4推论2性质6 (估值定理)例2性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点 ,使得即性质7的几何意义：在 上至少存在一点 ,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的矩形的面积. 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.1.变上限积分 设函数f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x( )，积分 存在，且对于给定的x( ) 就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间4.1.2 微分学基本定理变化的，因此常记为定理1由积分中值定理有原函数不是唯一的,实际上,如果F(x)是f (x)的原函数,那么,F(x)+C也是f (x)的原函数.因此原函数有无穷多个.设 和 都是 的原函数2.原函数如果F(x)的导数等于f(x), 则称F(x)是f(x)的原函数.例如, 是 的原函数.则 即 即函数的任意两个原函数之间相差一个常数.一个函数的变上限积分是这个函数的原函数.定理2 微积分学基本定理 3. 微积分学基本定理 上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理. 牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.例1 求例2 求例3 求 解例4 求 解例计算由曲线 、直线 x =2 与x 轴围成的图形的面积例5计算，其中解解由定积分的几何意义，得4.1.3 不定积分的概念与性质定义1 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作即1.不定积分的概念例2 求解解例3 求 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族.2.不定积分的几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)处的切线斜率.3 不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算. 4. 不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质2可以推广到有限多个函数的情形，即性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即 4.1.4 不定积分的基本积分公式例4 计算下列积分例5 计算下列积分例6 求 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可 例7 求例8 求解例11 求例12 求 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。 解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知因此所求曲线的方程为 被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而4.2.1 换元积分法例1所以有一、不定积分的换元法1。第一类换元法(凑微分法)4.2 积分法综合上述分析，此题的正确解法如下：解定理1根据不定积分的定义，则有 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法 应用定理1求不定积分的步骤为 例2 求例3 求解例5 求类似地，有2. 第二类换元积分法例6 求解 作变量代换,令 ,可将无理函数化为 有理函数的积分,所以有设 是单调可导的函数， 且定理2那么应用第二类换元法求不定积分的步骤为 例7 求例8 求例9 求例10 求 例8例10中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：补充的积分公式：二.定积分的换元法定理 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足下列三个条件： 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.注意：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .例1 求方法二注: 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量例2 计算解 注 用第二类换元法计算定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，必须根据引入的变量代换，相应地变换积分限 例3 求例4 例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.例5 求例6 证明公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .4.2.2 分部积分法1. 不定积分的分部积分法注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v.选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中不要变即一般情况下，u与dv按以下规律选择例1 求例2 求例3 求例4 求例6 求例7 求例8 求 在计算积分时,有时需要同时使用换元积分法与分部积分法.2.定积分的分部积分法例7 求例8 求例9 计算 解例10 求4.3.1 无穷区间的广义积分前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间然而，在实际问题中，常常会遇到积分区间为无穷区间的积分 4.3 广义积分 函数f(x)在无穷区间 上的广义积分， 记作 ， 即定义无穷区间 上的广义积分定义为 类似地，无穷区间 上的广义积分定义为上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.例1 求例2 求所以，广义积分 收敛，且例34.3.2 无界函数的广义积分定义 设函数f (x)在区间a,b上连续,在端点a处间断.且区间(a,b上的广义积分. 亦称瑕积分，记为即类似地,如果x = b为函数f (x)的无穷间断点,则定义以
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