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大学计算机 数学 基础 何春江 大学 教学 资料 课件 ppt

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1.1 导数的概念1.2 导数的运算1.3 微分结束第2章 导数与微分对于匀速直线运动来说，其速度公式为: 2.1.1 引例例1 变速直线运动的速度2.1 导数的概念例2 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示,在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线MT的斜率，即定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为或2.1.2 导数的概念与几何意义1.导数的概念导数定义与下面的形式等价：若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.2.左导数与右导数 左导数: 右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.3.导数的几何意义 当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x)上的点由 变到此时 为割线两端点M0，M的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线的斜率. 曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：所以，导数 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.M0M 设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为(即法线平行y轴).例3 求函数 的导数解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得:特别地, . 例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程.解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为: 于是所求的切线方程为:即法线方程为:即2.1.3 可导性与连续性的关系定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.证 因为f (x)在点x0处可导，故有根据函数极限与无穷小的关系,可得:两端乘以 得:由此可见:即函数y = f (x)在点x0 处连续.证毕.例5 证明函数 在x=0处连续但不可导.证 因为所以 在x =0连续而即函数 在x=0处左右导数不相等,从而在x=0不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导定连续,连续不一定可导.2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则2.2 求导法则特别地,如果可得公式注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则例2 设解：例3 求y = tanx 的导数例4 求 y = secx 的导数 2.2.2 复合函数的导数2.2.3 反函数的求导法则因此在对应的区间（-1，1）内有基本导数公式表2.2.4 基本初等函数的导数1. 隐函数的导数例9 求方程 所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 。 即两边对x求导，由链导法有 解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：两边对x求导得此即参数方程所确定函数的求导公式2.参数方程所确定的函数的导数变量y与x之间的函数关系有时是由参数方程确定的，其中t 称为参数 曲线t =1在处的切线斜率为于是所求的切线方程为 y =x二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数2.2.6 高阶导数2.3.1 微分的概念2.3 微分因此导数也称为微商可微函数：如果函数在区间(a , b)内每一点都可微， 则称该函数在(a , b)内可微。2.3.2 微分的几何意义T2.3.3 微分的运算法则1. 微分的基本公式：续前表2. 微分的四则运算法则设u=u(x)，v=v(x)均可微 ，则3复合函数的微分法则 利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分. 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通