大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT
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大学计算机数学基础-何春江-大学教学资料课件PPT,大学计算机,数学,基础,何春江,大学,教学,资料,课件,ppt
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结束第3章 中值定理、导数应用3.1.1 罗尔定理(Rolle) ab3.1 中值定理 几何解释如图在直角坐标系Oxy中曲线 两端点的连线 平行于 轴,其斜率为零故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平行于弦 ，即平行于 轴。即则在区间 内至少存在使得3.1.2 拉格朗日中值定理曲线 处处有不垂直于 轴的切线如图 在直角坐标系Oxy端点连线AB的斜率为所以定理实际是说存在点 ，使曲线在该点的切线T平行于弦AB。即Rolle定理是Lagrange定理的特例: 在Lagrange中值定理中如果 则Lagrange中值定理变成Rolle定理；中值定理的关系 如果在某极限过程下,函数f ( x)与g(x)同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论：3.2 洛必达法则定理1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：1 型未定式解解例3 求 解 此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。 例4 求解 2型不定式的某空心邻域内有定义，且满足如下条件解: 定理2的结论对于 时的 型未定式的极限问题同样适用。例6求解 则可继续使用洛必达法则。即有如果反复使用洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效.的极限。 例7 求但分子分母分别求导后得此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得3其它型不定式未定式除和型外，还有 型、 型、等五种类型。 型、 型、 型、型或者 型变为解型:解 型未定式:即可化为 型未定式，再化为 型或 型求解。例10 求 解所以例11 求解 设所以所以 解3.3 函数的单调性与极值 定理1 设函数f (x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则：1.若在(a,b)内 ,则f (x)在区间(a,b)内单调增加abab3.3.1 函数的单调性及判别法例2 确定函数 的单调区间.解 所以当 x = -1, x = 1时 例3 确定函数的单调区间。 3.3.2 函数的极值 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。 ABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。从图中可看出,极小值不一定小于极大值，如图中D点是极小值，A点是极大值。定理3（极值第一判别法）： （1）如果当 时 ，而当 时， 则 在 取得极大值。（）如图所示：在 ，在 ， （）如图所示：在 ，在 ，(4)利用定理3,判断(2)中的点是否为极值点,如果是 求极值点的步骤：(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);(3)用(2)中的点将定义域(或区间)分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点.(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值. 这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下极大值极小值 由于 3.3.3 函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间上的最小值。连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值 和 ;1.区间如下几类点的函数值得到： 上的最大值和最小值。在驻点处函数值分别为在端点的函数值为最大值为最小值为解，得驻点比较上述5个点的函数值，即可得 在区间上的M1xyoM2M1xyoM2定义1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凹的。如图所示3.4 曲线的凹凸与拐点 如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在这个区间上是凸的。如下图： 当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而增加，即 是增函数；反之，当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而减少，即 是减函数。 M1xM2yoM1xyoM2定理1 设函数 在区间 内具有二阶导数 （1）如果 时，恒有 ，则曲线 在 内为凹的； （2）如果 时，恒有 ，则曲线 在 内为凸的。定义2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。 拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域内 必然异号，因而在拐点处 或 不存在。 例1 求曲线 的凹凸区间与拐点。解 令 ，得 ， 列表如下有拐点有拐点 可见,曲线在区间 内为凹的，在区间 内为凸的，曲线的拐点是 和 . 如果函数 在 的某邻域内连续，当在点 的二阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在且在 的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点.综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：（1）求一阶及二阶导数 ， ；（2）求出 及 不存在的点；（3）以（2）中找出的全部点，把函数的定义域分成若干部分区间，列表考察 在各区间的符号，从而可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。 例2 求曲线 的凹凸区间与拐点。 解 函数的定义域为 当 时， ，故以 将定义域分成三个区间，列表如下： 在 处，曲线上对应的点 与 为拐点。 3.5.1 曲线的渐近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线，越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。 定义3 如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。3.5 曲线图形的描绘1水平渐近线如果曲线 的定义域是无穷区间，且有或 ,则直线 为曲线 的渐近线，称为水平渐近线.如下图 xyoxyo例3 求曲线 的水平渐近线。解 因为所以 是曲线的一条水平渐近线，如图示2、铅直渐近线如果曲线 满足 或 则称直线 为曲线 的铅直渐近线（或垂直渐近线），如图例求曲线 的铅直渐近线。解 因为所以 是曲线的一条铅直渐近线。如前页图所示3.4.3 函数图形的作法 函数的图形有助于直观了解函数的性质，所以研究函数图形的描绘方法很有必要，现在综合上面对函数性态的研究，可以得出描绘函数图形的一般步骤如下： （1）确定函数的定义域； （2）确定函数的奇偶性（曲线的对称性）和周期性； （3）确定函数的单调区间和极值; （4）确定曲线的凹凸区间和拐点；（5）考察曲线的渐近线；（6）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。（7）用
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