（理论物理专业论文）熵界和全息原理.pdf

a u t h o r ss i g n a t u r e ： s u p e r v i s o r ss i g n a t u r e ： e x t e r n a lr e v i e w e r s ： e x a m i n i n gc o m m e x a m i n i n gc o m m d a t eo fo r a ld e f e n c e ： m a y2 0 0 9 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 角勇签字目期：2 p 口夕年夕月2 汐日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 匈勇 导师签名： 阻括 签字日期：口。，年夕月z 孑日 签字日期：争岬年，月西日 致谢 致谢 学位论文完成，博士即将毕业，回首来到浙江大学生活和学习的五年，感慨很 多，需要感谢的人也有很多。 首先要感谢我的导师陈一新教授。陈老师是一位对学生高度负责任的老师，从 生活到科研，只要对学生有益的事情，陈老师从来都会尽力帮助学生。我在浙江大 学的五年时i - 1 ，他在学生的学习和科研上投入了非常多的精力和时间，从我开始进 入科学研究，阅读文献，参加小组讨论，进入课题研究，论文修改和投寄，应对审稿 人的提问等等，每一步都有陈老师从旁指导。可以说，从我对科研一无所知到开始 具备基本的独立科研能力，五年来我所取得的所有成绩和进步，都和陈老师的悉心 指导是分不开的。 我还要感谢那些曾经教过我的物理系的众位老师，包括李有泉，郑波，罗民兴， 鲁定辉，金洪英，戴建辉，王晓光，张宏，朱国怀，张剑波，盛正卯，应和平等老师。 我从他们那里学到了很多知识，他们不同的为人处世和治学风格也深深影响了我。 我也要感谢各位师兄师弟，陈霖，曹超，王永强，杜一剑，马骞，尹志，曹巧君， 李剑龙，邵凯南，蒋卫建和李圣文，我的寝室室友，杨树祥，李炳伟和扬扬，还有同 实验室的张建松，钱懿等人，以及各位未有深交、擦肩而过的各位本系和外系同学。 正是他们陪伴我读过了五年的日日夜夜，共同生活、学习，讨论和科研。 我更加要感谢我的父母，姐姐姐夫，是他们作为我坚实的后盾，默默地支持我 完成这么多年的学业。还有我的女朋友，感谢她陪伴我在杭州和浙江大学度过的这 几年时光，感谢她对我的支持和鼓励。 浙江大学博士学位论文 摘要 究作为 的方法 边界面 积，知= 1 6 1 6 1 0 。5 m 是p l a n c k 尺度。这支持了th o o f t 借助热态所做的定性分析的 结论，也纠正了以往认为定域场论可以饱和全息熵界a 1 ；2 的错误的认识。 随后，我们研究了由无穷大统计所描述的量子玻尔兹曼场的热力学熵界和统计 熵界，发现在引力约束下，它刚好遵从全息熵界a 岳2 。在一般的情况下，这个熵界正 是b e k e n s t e i n 熵界e t ( 施) ，其中e 和f 分别是体系的能量和尺度。我们的结果增进了 对从定域场论的熵界a 3 4 l ；3 2 到全息熵界4 2 之间的熵隙的认识，而这个熵隙对应 的自由度的来源在之前一直是不清楚的。这个结果也暗示无穷大统计和量子引力之 间存在深刻的联系。 最后，我们借助量子计算的观点，结合量子和引力的效应，导出了一个新的时 空不确定性关系。这个关系式可以应用于包括宇宙的计算容量和效率，宇宙热力学 等问题的分析上。这个关系式看以看作是全患原理的一个拓展。全息原理一般来说 只对系统的信息容量给出限制，而我们的关系式可以推出包括系统的信息处理能力 在内的更多性质。 关键词：熵界全息原理量子场论量子引力无穷大统计 i i i 浙江大学博士学位论文 i v a b s t r a c t s i n c eh a w k i n gr a d i a t i o nw a sd i s c o v e r e di n1 9 7 5 ，t h e t h e r m o d y n a m i c so f b l a c kh o l e s a n dt h eq u a n t u mg r a v i t a t i o n a lm e c h a n i s mb e h i n di th a v e g a i n e dal o to fi n t e r e s t e s p e c i a l l y , i l l u m i n a t e db yt h ea r e al a wo fb l a c kh o l ee n t r o p y , th o o f i a n ds u s s k i n ds u b s e q u e n t l vd e v e l o p e dt h ec o n c e p to fh o l o g r a p h i cp r i n c i p l e ，w h i c hs t a t e st h a tt h ei n f o r m a t i o nc a p a c i t yo f as y s t e mw i l ln o te x c e e di t sb o u n d a r ya r e ai np l a n c ku n i t s l a t e r , t h eh o l o g r a p h i c p r i n c i p l e w a sr e a l i z e db yt h ef a m o u sa d s c f td u a l ，、w h i c hs o o nt u r n sh o l o g r a p h i c p r i n c i p l et ob e ac e n t r a lt o p i ci nt h er e s e a r c ho fq u a n t u m g r a v i t y i nt h i st h e s i s ，w ei n t r o d u c et h ef u n d a m e n t a ll o r ei nt h ea r e ao f e n t r o p yb o u n d sa n d h o l o g r a p h i cp r i n c i p l e s t a r t i n gf r o mt h es t u d yo fe n t r o p yb o u n d s ，w eh a v ei n v e s t i g a t e d s e v e r a lq u e s t i o n sr e l a t e dt oh o l o g r a p h i cp r i n c i p l e f i r s t ，w ei n v e s t i g a t et h ee n t r o p yb o u n df o rl o c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r yu n d e rg r a v i t a t i o n a lc o n s t r a i n t w es t r i c t l yp r o v e dt h a tb o s o n i ca n d f e r m i o n i cf i e l d sc o n f o r mt ot h es a m e e n t r o p yb o u n da 训l p 3 2 , w h e r eai st h eb o u n d a r ya r e ao f t h es y s t e m ，f p ：1 6 1 6 1 0 3 5 m i sp l a n c kl e n g t h t h er e s u l t sh a v es u p p o r t e dt h eq u a l i t a t i v e a n a l y s i sg i v e nb y th o o f ts o m e y e a r sa g o ，a n dr e c t i f i e dt h ei n c o r r e c tv i e w p o i n tt h a tl o c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r yc o u l ds a t u - r a t et h eh o l o g r a p h i ce n t r o p y s e c o n d ，w ei n v e s t i g a t et h et h e r m o d ) ，n a m i c a la n ds t a t i s t i c a le n t r o p yb o u n df o rq u a n t u mb o l t z m a n nf i e l d sw h i c h o b e yi n f i n i t es t a t i s t i c s w ef i n di n f i n i t es t a t i s t i c sc o m p l i e sw i t h t h eh o l o g r a p h i ce n t r o p yb o u n d a l ；2v e r yw e l l i ng e n e r a lc a s e s ，t h ee n t r o p yb o u n dc o m e s b a c kt ot h eb e k e n s t e i nb o u n d e f ( 耽) ，w h e r ee a n dfa r er e s p e c t i v e l yt h ee n e r g ya n ds i z e o ft h es y s t e m o u rr e s u l t sh a v ei m p r o v e dt h eu n d e r s t a n d i n go f t h eg a pb e t w e e nt h ee n t r o p y b o u n do fl o c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r ya n dt h e h o l o g r a p h i ce n t r o p y , t h a ti s ，f r o ma 3 4 1 ；3 2t o a t ；2 ，t h ec o r r e s p o n d i n gd e g r e e so ff r e e d o mo fw h i c ha r ev e r yo b s c u r eb e f o r eo u rw o r k o u rr e s u l t sa l s os u g g e s tac l o s e r e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n f i n i t es t a t i s t i c sa n dq u a n t u mg r a v i t y f i n a l l y , s t a r t i n gf r o maq u a n t u mc o m p u t a t i o n a lp e r s p e c t i v e ，c o m b i n i n gq u a n t u ma n d v 浙江大学博士学位论文 g r a v i t a t i o n a lp r i n c i p l e s ，w ed e r i v e dan e ws p a c e t i m eu n c e r t a i n t yr e l a t i o n ，w h i c hc a n b e u s e dt of a c i l i t a t et h ed i s c u s s i o no fs e v e r a lp r o f o u n dq u e s t i o n s ，s u c ha sc o m p u t a t i o n a lc a - p a c i t ya n dt h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e so ft h eu n i v e r s e t h i su n c e r t a i n t yr e l a t i o nc a nb e v i e w e da sa ne x t e n s i o no fh o l o g r a p h i cp r i n c i p l e h o l o g r a p h i cp r i n c i p l eo n l yl i m i t st h e i n f o r m a t i o no fas y s t e m ，w h i l ef r o mo u rr e l a t i o no n ec a l lo b t a i ns o m eo t h e ri m p o r t a n t p r o p e r t i e so f t h es y s t e ms u c ha si t sc a p a c i t yo fi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g k e y w o r d s ：e n t r o p yb o u n d ，h o l o g r a p h i cp r i n c i p l e ，q u a n t u mf i e l dt h e o r y , q u a n t u m r a v i t 3 i n f i n i t e ；t a t i s t i e s g r a v i t y , m l i n i t es t a u s t l e s v i 目次 日次 2 4 协变熵界1 6 2 5 宇宙学熵界1 7 2 6 小结2 0 3全息原理2 1 3 1 信息和信息度量2 2 3 2a d s c f t 和全息原理2 7 3 3 共形场和黑洞熵3 l 3 4a d s c f t 和纠缠熵3 3 3 5 小结3 5 4 定域场论的熵界3 7 4 1 研究背景3 7 4 2y u r t s e v e r 的数态方法3 8 4 3 问题和困难4 3 4 4 正确的计算。4 5 4 5 对紫外红外关系的讨论4 7 4 6 附录：公式( 4 3 6 ) 的证明5 0 v 1 1 浙江大学博士学位论文 5 无穷大统计和全患原理5 3 5 1 研究背景5 3 5 2 无穷大统计和量子玻尔兹曼场5 5 5 3 无穷大统计的熵界5 8 5 4 热力学的辅助分析6 0 5 5 进一步的讨论6 3 5 6 小结6 6 5 7 附录：无穷大统计和大矩阵模型6 7 6 时空不确定性7 3 6 1 研究背景7 3 6 2 时空不确定关系7 4 6 3 距离测量和时空涨落7 7 6 4 两个应用7 9 6 5 小结8 5 6 6 附录：m a r g o l u s l e v i t i n 定理的证明8 6 7 结论和展望8 9 参考文献9 l 作者简历1 0 1 i i 图目录 图目录 2 。l s u s s k i n d 过程，质量为m 的体系被半径为? 的球面包围，把质量 为螈危一m = ；一m 的球壳质量塌缩进其中，形成一个质量为；的黑 洞。1 3 2 2 g e r o c h 过程，质量为m 的体系被半径为r 的球面包围，当此体系落入 一个质量远大于它的黑洞之后，原黑洞视界面积增加。黑洞熵的增加 补偿了物质丢失的熵。 1 5 2 3 光线集合己( b ) 所经过区域内的物质的熵界由其边界b 的面积a ( b ) 给 出，w s l ( b ) 等掣。上图压缩掉一个维度，边界b 实际上是一个 球面。1 6 2 4 光线集合l ( b ) 所经过的区域内的物质的熵由其两个边界的面积之差 给出，即s 【l ( b ) 五1 ( a 1 一a 2 ) 。推广的协变熵界e h b o u s s o 协变熵界 的限制更紧，它意味着光线经过的熵值的可加性。1 7 2 5 协变熵界可以很好地应用在宇宙学中。当选取的边界包围的类空体 积在不断增大时，边界接收到的光线的集合并不会简单地随之增加， 当边界尺度大于粒子视界的尺度时，光线集合不再延伸成锥形，而是 有一部分被t = 0 处的大爆炸奇点截断了。 1 8 3 1 边界上的共形场分为a 和b 两个部分，a 和b 之间的纠缠熵可以由 a d s 空间中的极小曲面7 a 的面积给出。3 3 4 1 用多面体的体积近似作为其中整数格点的个数，当边长f 远大于1 时， 这种近似的误差会趋近于0 。对于这种方法的有效性的从数学角度的 讨论可见文献1 6 9 - 7 1 1 。 4 l i x 浙江大学博士学位论文 x 引言 1 引言 在上个世纪，物理学上的两个最重要的发现分别是相对论和量子理论，其 代表分别是广义相对论和量子场论，两者分别在各自的领域取得了极大的成 功。广义相对论在1 9 1 6 年哇e i n s t e i n - - 手建立，通过成功地解释和预言星光在太 阳附近的偏折，水星近日点进动等实验而取得了巨大的成功。广义相对论提 出以后，s c h w a r z s c h i l d 等人陆续得到了e i n s t e i n 场方程的各种静态或稳定的黑洞 解，f r i e d m a n n 等人也提出了描述宇宙大尺度上的演化行为的f r i e d m a n n r o b e r t s o n w a l k e r 度规和著名的f r i e d m a n n 方程，这极大变革了对于宏观天体演化和对整个 宇宙演化的认识，使得人类逐渐摆脱了牛顿的经典时空观和宇宙观中的各种问 题。而在微观领域，量子力学和狭义相对论相结合，以及各种全局和局域、阿贝 尔和非阿贝尔的对称性的引入，经过几代物理学家的共同努力，建立起了规范群 为s u ( 3 ) s u ( 2 ) u ( 1 ) 的粒子物理标准模型，它也在令人惊讶的精度内与实验符 合。 尽管对自然界的认识在上世纪已经取得了革命性的进步，在物理学上我们仍然 面临众多挑战和机遇。目前已经认识到自然界的四种基本的相互作用，包括电磁相 互作用，弱相互作用，强相互作用和引力相互作用，前三种都可以统一地写成定域 量子场论( 1 0 c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r y ) 的形式。而引力相互作用则看起来与另三种相互 作用截然不同，它拒绝纳入定域量子场论的框架。这提出了如何去获得自洽的量子 引力理论的问题。 普通的量子理论和引力理论的不同可以由如下方式简单看出。根据量子理论， 物质波长和其动量成反比，入= h p ，高动量p 和小尺度a 相联系；而对于广义相对论 描述的黑洞物理有7 。= 2 c m c a ，能量m c 2 越高对应的尺度r 。就越大。现在结合量子 和引力的效应，尽管用越来越高的能量可以探测越来越小的距离，但是这不是任 意的，当能量高到一定程度时，其自身的波长入将小于其能量对应的s c h w a r t z c h i l d 半 径r s ，此时黑洞视界就会形成，再提高能量只会增加视界尺度，以前量子的能量 尺度的反比关系就变成了引力的能量尺度正比关系。这个临界的尺度是一个自然 浙江大学博士学位论文 的量子引力标度，可以简单地由入= h p 一= 2 g m c 2 和p m e 定出，相应的 尺度解出来即是p l a n c k 尺度易= 、等= 1 1 6 1 1 0 - 3 5 m ，相应的能量即是p l a n c k 能 标耳= 、譬= 1 9 5 6 1 0 9 j = 1 2 2 1 1 0 2 8 e 口。 y一 显然定域场论在小于p l a n c k 尺度或者高于p l a n c k 能量的情况下是失效的。目前 定域场论之所以成功，也是因为目前的高能物理实验中引力的效应可以忽略不济。 现在的实验加速器能达到的能标约为1 0 1 3 e 口，和量子引j t p l a n c k f l 色标1 0 2 8 e 钞相比差 了1 0 1 5 个量级。很难想像在这么大的能量跨度之间会没有新物理出现。上面已经看 到，量子原理结合了引力的效应以后，动量、能量和尺度之间的关系变得更加微妙。 在量子引力相关的问题中，作为系统紫外截断的大动量和作为系统红外截断的大尺 度之间的紫外红外关系将会自然地出现。同理，时空非对易性和非局域性也是量子 引力理论的典型性质。 现在已经知道，在黑洞视界表面以及宇宙大爆炸之初这样的极端情况下，量子 场论和广义相对论两者单独的分析都是不够的，必须同时结合量子和引力的分析。 例如黑洞熵和h a w k i n g 温度就是典型的量子引力的效应，暗能量和暗物质的问题以 及其它的一些等级问题似乎也与尚不清楚的量子引力效应有关。这使得量子引力成 为一个亟待解决的问题。此外，对完备的量子引力理论的追求也来自于大统一和终 极理论的梦想。目前虽然已经有弦论和其它的量子引力方案，但是还不敢说哪一个 已经取得了决定性的成功。 九十年代以来受黑洞面积熵定律的启发，由t h o o f t 和s u s s k i n d 先后提出并发展 了全息原理的概念，即一个物理系统的信息容量不超过其p l a n c k 单位下的边界面积。 全息原理是一个量子引力的原理。如果没有引力限制，通常的定域量子场论所描述 的体系的熵是正比于其体积的。而一旦考虑引力限制，体系内部的自由度将会大幅 消减，不再正比于体积，而是由其面积大小所约束。全息原理结合对偶性的思想，也 可以表述为：一个d + 1 维时空上的量子引力的理论可以由其边界上d 维无引力的量 子场论等效描述。所谓“全患”就是指关于体系内部的信息可以像全息照片一样编码 在其边界上。1 9 9 8 年左右，m a d c e n n a 的确在弦论的基础上确实找到了这样的一种对 偶实现，k 即a d s c f t 对偶，粗略地说，a d s c f t 是体系内的弦论或超引力和其边界 2 引言 上( 无引力的平坦时空中) 的共形场论之间的全息对偶。借助于对偶的思想，全息原 理不仅仅是熵赛的简单推广，它带来了对量子引力认识的深刻转变。 全息原理带来的不仅是认识上的变革，它借助于a d s c f t 的实现也已经是目 前理论研究的一个热点。由于全息对偶的存在，我们可以从一个理论的计算结果 推导出其对偶理论的相关结果，例如借助规范引力对偶，从引力相关的计算可以 处理一些以前在规范场框架内难以处理的强耦合的问题。目前已经有不少工作 在利用a d s c f t 的方法去分析q c d 中夸克胶子特性等问题。全息原理的丰富内涵 和a d s c f t 对偶对其的实现，使得全息原理在量子引力的研究中起到越来越重要的 作用，并逐步成为量子引力研究的一个中心问题。 在本学位论文中，我们介绍了熵界和全息原理的基本知识，并以熵界研究为出 发点，考察了全息原理相关的几个问题。本学位论文分为七章，在第一章为引言，介 绍本学位论文的总的工作背景和组织结构。第二章和第三章概述黑洞热力学，熵界 和全息原理的基本知识，为后面的章节做知识准备。第四章到第六章集中介绍我在 博士期间的原创性工作，是本学位论文的主体部分。在最后一章是结论和展望，总 结全文的内容，并提出将来可能进行的后续工作。在本学位论文的正文中，我们将 采用自然单位g = c = 危= b = 1 ，在结果中用p l a n c k 尺度2 p 和p l a n c k 能量屏把量纲 配齐是很容易的。 从第二章到第六章的总体内容和结构简介如下： 在第二章，我们回顾了黑洞的热力学和几种常见的熵界。b e k e n s t e i n 通过黑洞 视界面积与热力学熵之间的相似性，类比认为黑洞具有正比于其视界面积的熵， 由此得到了广义的热力学第二定律，热力学的概念被应用于黑洞这样的强引力 系统。h a w k i n g 温度的证明使得黑洞的热力学不仅仅是一种类比，必须认真对待 黑洞的热力学性质。借助b o l t z m a n n 公式可知，熵量度的是满足同样宏观条件下的 不同微观状态的个数，解释黑洞微观态的来源已经成为成功的量子引力理论必 须通过的检验。由于黑洞物理的限制，具有确定能量和尺度的物理体系的熵不可 能是无穷大的，必须满足一些确定的熵界。在本章中，我们介绍了一些常用的熵 界，包括b e k e n s t e i n 熵界，th o o f t 和s u s s k i n d 提出的全息熵界，以及b o u s s o 的协变熵 界，f i s c h l e r - s u s s k i n d 宇宙学熵界等。 浙江大学博士学位论文 在第三章，我们介绍了全息原理的基本概念，以及a d s c f t 对偶对于全息原理 的实现。对于熵界的研究和争论，通过th o o f t 的高度凝炼，上升到了原理性的高度， 即全息原理：一个物理体系内的自由度不超过其) 羽p l a n c k 单位度量的体系边界的面 积。或进一步来说，一个量子引力的理论可以由其体系边界上无引力的量子场论来 等价描述。在本章中，我们首先介绍熵和信息之间的关系，说明信息即是负熵，所以 一个系统的熵界同时也是其信息容量的界。然后我们介绍了a d s 空间和其边界上的 共形场之间的对应关系，说明它是对全息原理的一个很好的实现。p a a d s a c f t 2 作 为例子，首先我们介绍了用边界上共形场c a r d y 熵计算体系内的黑洞熵的方法，然 后介绍了用体系内的极小曲面计算边界上共形场纠缠熵的办法。可见，由边界上的 物理量可以获得系统内部对应的物理量，反之亦然。 在第四章，我们研究了定域场论的熵界。th o o f 曾借助对光子气体的定性分 析得到引力约束下定域场论的熵界为s m 眠一a 3 4 ，其中a 是体系的边界面积；但 是y u r t s e v e r 的具体数态方法给出的定域场论的熵界却是全息熵界& a x a ，这在 物理上是不可接受的结果，因为黑洞这样具有非局域性的全息系统是不可能用通 常的定域场论来描述的。在本章中，我们回顾了y u r t s e v e r 的数态方法，包括其主要 步骤和结论，指出其中存在的物理问题和数学问题。随后我们给出了正确的解决 方法，我们的结论是：对于玻色场和费米场，在引力约束下它们都遵从同样的熵 界& 觚一a 3 4 ；且在远离黑洞形成的时候，玻色场的熵远大于费米场。我们的具体 计算明确支持了th o o f t 的定性分析的结论，也纠正了以往认为定域场论可以饱和全 息熵界a 的错误的认识。 在第五章，我们研究了由无穷大统计所描述的量子玻尔兹曼场的熵界。量子 玻尔兹曼场有很多有趣的性质，包括具有非局域性和非广延熵( 无g i b b s 因子) 等， 这些都和引力系统的性质类似。我们的计算发现，在引力约束下，量子玻尔兹曼场 的熵界刚好是全息熵界a m 缸一a 。而在一般的情况下，这个熵界正是b e k e n s t e i n 熵 界a x e f ，其中e 和f 分别是体系的能量和尺度。我们的结果增进了对从定域场论 的熵界a 3 4 到全息熵界a 之间的熵隙的认识，而这个熵隙对应的自由度的来源在之 前一直是不清楚的。我们的结果也暗示无穷大统计和量子引力之间存在深刻的联 系。本章的附录中，我们回顾了无穷大统计在大极限下的s u ( ) 矩阵模型中的实 4 引言 现，结合本章的结论，这意味着矩阵模型可以是一个全息的理论。我们相信，和超对 称对对称性的扩充一样，无穷大统计对于统计性质的扩充也将带来对自然界更深的 认识。 在第六章，我们借助量子计算的观点，结合量子和引力的效应，导出了一个新 的时空不确定性关系( & ) ( 打) 3 丌r 2 。这个关系式看以看作是全患原理的一个拓展。 毕竟，全息原理只对系统的信息容量给出限制，而我们的关系式可以推出包括系统 的信息处理能力在内的更多的性质。利用这个关系式，我们讨论了宇宙的计算容量 和效率，以及宇宙的热力学。我们的结果暗示淝一l l 3 类型的量子不确定性和量子引 力有很大关系，它很可能正是引力子或者时空本身的涨落行为。通过这些讨论，可 以看到我们提出的这个时空不确定关系确实有很强的普适性。 浙江大学博士学位论文 6 黑洞热力学和熵界 2 黑洞热力学和熵界 上个世纪提出的广义相对论通过成功预言或解释星光在太阳附近的偏折，水星 近日点进动等实验而取得了巨大的成功。广义相对论的核心方程是e i n s t e i n 场方程 1 兄口一丢夕口r = 8 7 r t 让口， ( 2 1 ) 二 这个方程的左边是和时空分布有关的几何量，右边是物质的能动量张量，它巧妙地 把物质分布和时空的弯曲联系起来，物质的分布会引起时空弯曲。借助e i n s t e i n 场方 程可以描述一定物质分布下的时空性质，例如研究星体演化等天体物理问题。广 义相对论的发展和e i n s t e i n 场方程在各种情形下的精确解的得到是密不可分的。例 如，s c h w a r z s c h i l d 得到了爱因斯坦方程的球对称真空解，这是一个静态黑洞解，随 后又发现了转动黑洞的k e r r 解，以及转动带电黑洞的k e r r - n e u m a n n 解等等。有证据 表明，在银河系的中心很可能就存在着巨大的黑洞。在另一方面，f r i e d m a n n 也提出 了描述宇宙演化的宇宙学解和著名的f r i e d m a n n 方程。这极大变革了对于宇宙的认 识，使得人类摆脱了牛顿的经典宇宙观中的各种问题，可以描述宇宙在大尺度上的 演化行为。 根据爱因斯坦方程，物质和能量的存在导致了时空的弯曲，而黑洞就是时空扭 曲的极限情况，视界构成黑洞和其外部之间的边界，在视界附近，引力足够强以至 于任何进入黑洞视界的物质包括光都无法再从中逃脱，因此视界内和视界外是不能 有因果联系的。b e k e n s t e i n 最早通过黑洞视界与热力学系统的熵之间的类比，得到了 广义的热力学第二定律，指出黑洞应该有正比于面积的热力学熵【1 - 3 】。h a w k i n g 随后 用半经典的方法证明了黑洞确实具有温度为乃= 嘉的热辐射【4 】，其中尼为黑洞的表 面引力，从而证明了黑洞确实具有热力学性质。黑洞本身是纯粹的广义相对论对于 时空几何研究的结果，结合量子论，竟然发现它具有热性质。这是非常出乎意料的 结果，在这里，广义相对论，量子理论和统计物理自然地结合在一起。 黑洞熵很重要的特点是它是非广延的量，它正比与体系的边界面积，这和通常 的热力学体系的广延熵是非常不同的。由于黑洞熵p l a n c k 常数h 和引力常数g 的出 现，黑洞熵实际上是一个量子引力的问题，这也使得黑洞物理的研究脱离了经典广 7 浙江大学博士学位论文 义相对论的框架。目前，对黑洞熵的解释已经成为了成功的量子引力理论都必须通 过的检验。但是现在也只是对一些极端的黑洞可以由弦论成功地数出其微观自由 度的组成 5 ，最近在k e r r 黑洞上也有一些进展 刀，而对最简单i 绚s c h w a r z s c h i l d 黑洞， 如何描述其微观自由度是非常困难的，也许只能等找到一个完备的量子引力理论之 后才可能彻底解决。 由于黑洞物理的限制，在一个区域内是不可能拥塞进足够的质量和能量的，当 这个质量达到和或超过同体积的黑洞质量，系统无法和其自身的引力抗衡，就会塌 缩成黑洞。于是，黑洞物理自然地给通常的物理体系设置了一个能量界限。同理，具 有确定能量和尺度的物理体系的熵不可能是无穷大的，必须满足黑洞物理所设置的 熵界。自b e k e n s t e i n 的开创性研究和广义热力学第二定律的提出以来，各种各样的 熵界陆续推出，包括th o o f t 和s u s s k i n d 提出的全息熵界 3 1 - 3 5 1 ，以及b o u s s o i 昀协变熵 界 1 8 - 2 0 】，因果熵界 2 2 , 2 3 】，f i s c h l e r - s u s s k i n d 宇宙学熵界【砒7 】等。这些熵界的意义在于 说明，一个物理体系的相空间或者说自由度实际上是有限的，它们都被一些量子引 力的原则所限制。 对于熵界的研究和争论，通过t h o o f t 的高度凝炼，上升到了原理性的高度，即 全息原理 3 1 - 3 刀：一个物理体系内的自由度不超过其用p l a n c k 单位度量的边界面积。 或进一步来说，一个体系内部的量子引力的理论可以由其边界上的无引力的量子场 论来等价描述。 在这一章，我们将概述黑洞的热力学和常见的几种熵界，作为后面几章内 容的知识准备。内容组织如下：首先我们简单介绍黑洞物理，引出广义的热力 学第二定律。这是很多熵界研究的出发点。然后我们介绍了几种常见的熵界，包 括b e k e n s t e i n 熵界，全患熵界，b o u s s o 的协变熵界，以及宇宙学熵界。 2 1 黑洞热力学 2 1 1 广义热力学第二定律 s c h w a r z s c h i l d 黑洞的度规，即爱因斯坦场方程的静态球对称真空解写作 舻= 一( 1 一半) 舻+ 禹纰， 亿2 ， 黑洞热力学和熵界 其中，m 是黑洞的质量。上面的度规有7 = 2 m 处有一个表观奇点，相应的半径为黑 洞s c h w a r z s c h i l d 半径。黑洞的视界面积为a = 4 u r 2 = 1 6 7 r m 2 。在黑洞物理的研究 中，已经知道经典黑洞的面积不减定律。这也很容易理解，因为物体掉入黑洞视界 就不可能逃出来了。物体掉入黑洞以后，黑洞质量增加，面积自然也会随之增加。 b e k e n s t e i n 发现，黑洞的视界的性质与热力学系统的熵有着非常相似的行为【1 1 。 首先，经典黑洞视界面积永不减少，其次，两个黑洞的质量合在一起以后，得到 的视界面积大于分别两个黑洞的面积之和。这跟热力学第二定律，孤立热力学系 统的熵永不减少的论述是一致的。我们知道，熵的增加意味着可对外做功的能量 的减少；对比黑洞物理，k e r r 黑洞仍可以通过p e r t r o s e 过程从中提取能量对外做功， 而s c h w a r z s c h i l d 黑洞是不能借助p e n r o s e 过程从中提取能量的，其视界面积越大，不 可提取的能量就越多。此外，两个分别处于热平衡态的热力学体系放到一起，由于 温度差和相互作用，仍然可以对外做功。类似地发现，融合两个黑洞也可以通过辐 射引力波放出能量。这些类比促使b e k e n s t e i n 认为黑洞视界面积可以解释成热力学 熵，或者说，对于黑洞熵有 4 = 等， ( 2 3 ) t 把基本常数补全的完整形式目b 4 g c 3 h 丛= 砑a 。其中易是p l a n c k 尺度，包括了引力常 数g 和p l a n c k 常数危，可见这是一个量子引力的熵。由于瑶= 警= 2 5 9 1 0 6 6 c m 2 ， 所以参是一个非常大的数， 关于黑洞应该具有热力学熵这个论述，更强有力的证据来自于热力学第二定律 的有效性。考虑一个普通的热力学体系和黑洞组成的系统。当这个熵为s m 的普通系 统掉进黑洞以后，黑洞的质量增加，变成一个被更大的视界包围的黑洞。假如黑洞 不具有熵，那么对于黑洞外的观测者来说，刚开始的系统总熵为& + = s m ，而 最终系统的总熵是0 。这违反了孤立系统熵永不减少的热力学第二定律。 为了热力学第二定律继续成立，就必须要求黑洞具有热力学性质。意识到黑洞 质量增加时，视界面积同时增加，结合先前的类比，就可以理解黑洞熵应该是正比 于视界面积的。于是可以得到广义的热力学第二定律：物质系统的总熵为 4 s t o t o q t = & _ i l + 鼠= 等+ ， ( 2 4 ) 9 浙江大学博士学位论文 在这个意义下，系统的总熵就不会减少。物质落入黑洞后，黑洞面积熵的增加补偿 了物质所丢失的熵，鲁和之和不减少。因此，经过推广以后，热力学第二定律可以 适用于黑洞这样的引力系统。 2 1 2 h a w k i n g 温度 黑洞物理与热力学之间的类似并不是仅仅限于黑洞视界面积和热力学熵之间， 后来l 扫c a r t e r 等人总结出的黑洞力学四定律揭示了黑洞物理和热力学定律之间更深 刻的联系【1 1 】。黑洞力学四定律表述如下 l ，第零定律：稳态黑洞的视界的表面引力k 为常数。 2 ，第一定律：对旋转带电的k e r r - n e w m a n 黑洞( b e k e n s t e i n - s m a r r 公式) b d m = - i f “- z + ，( 2 5 ) o _ d a 1 2 d j v d q 7 1 - 其中，m ，a ，q ，j ，v ，q 分别是黑洞的质量，视界面积，角速度，角动量，静电势 和电荷。 3 ，第二定律：视界面积不减定律，即在弱能量条件下，黑洞视界面积在正时间 方向上永不减少，即d a 0 。 4 ，第三定律：黑洞视界的表面引力不可能由有限次操作降低为0 。 这四条黑洞力学定律与热力学四定律之间有着非常大的相似性。按 照b e k e n s t e i n 最初的讨论，由于描述一个黑洞只需要三个参数：质量m ，角动 量j 和电荷q ，那么黑洞熵就可以看作满足同样的宏观参数的黑洞的微观状态的个 数，例如黑洞的不同构成方式等等。当然，这样把黑洞熵仅仅解释为内部状态个数 的描述，不一定对应真实的热力学，因为由黑洞熵推出的黑洞温度似乎并不是真实 的温度，毕竟经典广义相对论描述下的黑洞是不允许黑洞辐射粒子，所以也不可能 与外界有热交换。此外，我们也注意到，b e k e n s t e i n 的热力学的类比不总是有效的。 把两个同样温度的热力学系统放在一起并不会发生反应和引起熵增，而把两个大小 相同因此表面引力也相同的黑洞放在一起，就可以融合成一个更大的黑洞，引起熵 增。在这里类比的失效，根本原因在于黑洞的热力学和普通系统的热力学仍然有很 大区别，最重要的一点是黑洞的熵是非广延熵，而普通的热力学系统具有广延熵。 然而，h a w k i n g 在1 9 7 5 年用弯曲时空中的量子场论的方法考察了塌缩中的黑 1 0 黑洞热力学和熵界 洞时空，发现黑洞确实具有温度为丁= 磊k 的黑体辐射谱【4 】。黑洞的温度是真实的 热辐射温度，因此黑洞确实有定义很好的热力学性质，必须正面对待黑洞的热力 学熵及其起源。这个面积熵的确认最终造就了全息原理，引发了物理观念上的 革自h a w k i n g 黑洞温度的证明以后，现在已经有黑洞热辐射的很多种更简便的推 导方法，包括b o g o l i u b o v 变换法，d a m o u r - r u f f i n i 方法，温度格林函