（概率论与数理统计专业论文）存在分红上界的经典风险模型的马氏性分析.pdf

摘要 本文讨论的对象是当存在分红上界时，保险公司的盈余过程已知无分红上 界时的盈余过程是m a r k o v 过程，但存在此分红上界后，它的马氏性是否仍然保 持，是本文讨论的主要问题，并进一步讨论了与m a r k o v 过程相关的常返性，分别 给出了零常返与正常返的条件以及在正常返情形下平均回转时间的一个上界与 下界对完全离散时间的风险模型，更进一步讨论了平稳分布是否存在等问题 关键词：风险模型；分红上界：m a r k o v 过程；常返性 中图分类号：0 2 1 1 6文献标识码：a l l i t sk n o w nt h a tt h es u r p l u sp r o c e s sw i t h o u tt h ec o n s t a n td i v i d e n db a r r i e ri nt h e c l a s s i c a lr i s km o d e li sam a r k o vp r o c e s s ，i tf i r s td i s c u s s e st h em a r k o v i a np r o p e r t i e so f t h es u r p l u sp r o c e s sw i mt h ec o n s t a n td i v i d e n db a r r i e ra n dg i v e st h ec o n d i t i o n so f e c i l - r e n c ee r e t h e nf o rt h ec o m p l e t e l yd i s c r e t ec a s e ，i ta l s od i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo ft h e s t a b l ed i s t r i b u t i o n k e y w o r t l s ：r i s km o d e l ；d i v i d e n db a r r i e r ；m a r k o vp r o c e s s ；r e c u i t e n t c l cn u m b e r ：0 2 11 6d o c u m e n tc o d e ：a l u 第一章基本概念与模型定义 在对经典风险模型的研究中，许多学者都深入讨论了保险公司在有限时 间内的生存概率或破产概率，以及破产时保险公司的盈余的性质等问题比 如d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 主要研究了当理赔量为指数分布的组合时破产概 率和破产前盈余的分布函数的解析表达式：d i c k s o n ( 1 9 9 2 ) ，d i c k s o n 和w a t e r s ( 1 9 9 2 ) ，d i c k s o n 和d o sr e i s0 9 9 6 ) ，w i l l m o t 和l i n ( 1 9 9 8 ) 以及s c h m i d l i ( 1 9 9 9 ) 讨论 了破产前盈余的分布和破产时亏损的分布的解析性质以及它们的关系；d i c k s o n 和w a t e r s ( 1 9 9 1 ) 考虑了当理陪量完全离散时这些分布的递归计算；d il o r e n z o 和t e s s i t o r e ( 1 9 9 6 ) 给出了破产前盈余分布的数值逼近；d e l b a e n ( 1 9 9 0 ) 以及h e a r d 和l e f e v r e ( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ) 考虑了破产时刻的性质；l i n 和w i u m o t ( 1 9 9 9 ) 以及l i n ( 2 0 0 0 ) 用不同的方法解决亏损更新方程；龚日朝和杨向群( 2 0 0 1 ) 考虑了完全 离散二项风险模型下有限时间内的生存概率；龚日朝( 2 0 0 1 ) 还研究了一个推 广后的p o i s s o n 风险模型的破产概率；董英华和张汉君( 2 0 0 3 ) 给出了带干扰的 双p o i s s o n 风险模型的破产概率等等 但在实际中，许多情况下保险公司似乎都倾向于考虑存在分红上界时盈余 过程的变化因为当盈余到达某一水平时，保险公司会分发红利给它的股东比 如说，如果在某一策略下，破产的概率非常小，保险公司更关心存在分红上界时 盈余的累积 d ef i n e t t i ( 1 9 4 0 ) 第一个提出了当盈余过程到达给定的b 则分发红利的 风险模型；b i i h l m a r m ( 1 9 7 0 ) 讨论了离散时间盈余过程的几种分红策略，对连 续的情况他得到了当理赔额为指数分布时方程的显式解；g e r b e r ( 1 9 7 9 ) 得到 了破产时刻的l a p l a c e 变换的表达式；s e g e r d a h l ( 1 9 7 0 ) 讨论了固定吸收上界时 的破产概率，即一旦到达上界即停止的风险过程，他也发现了当理赔额为指 数分布时的显式解：d i c k s o n 和g r a y ( 1 9 8 4 a ) 扩充 s e g e r d a h l ( 1 9 7 0 ) 在理赔额 为g a m m a 分布和超指数分布时的结果；在另一篇文章中，d i c k s o n 和g r a y 0 9 8 4 b ) 在s e g e r d a h l ( 1 9 7 0 ) 的模型中发展了估计破产概率的另一种方法：之后，上界 策略由多种方法被研究对复合p o i s s o n 风险模型的分红上界策略的研究更 多可见g e r b e r ( 1 9 7 2 ，1 9 7 3 ，1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) ，p a u l s e n 和g j e s s i n g ( 1 9 9 7 ) ，g e r b e r 和s h i u 第一章基本概念与模型定义 2 ( 1 9 9 8 ) ，a l b r e c h e r 和k a i n h o f e r ( 2 0 0 2 ) 以及h 0 9 a a r d ( 2 0 0 2 ) 一些文章把注意力集 中在对不同最优标准下的上界策略的最优性，另一些文章则投入于不同上界模 型中一些量( 诸如破产时间和破产时的损失) 的计算中 本文则主要研究对存在固定分红上界b 时盈余过程的马氏性质，对完全离散 复合二项风险模型，更进一步地讨论了其常返性质以及平稳分布是否存在等，并 给出了在正常返情况下平均回转时间的一个上界与下界 定义1 1 【1 】给定z if 0 ，1 ，2 ，) ，f z + jf 1 ，2 ，) ，给定在某概率空间 ，莎，p ) 上的： ( 1 ) 取值于z + 的独立同分布随机变量砰，i = 1 ，2 ，相同分布为：p ( y = 力= p j ，j = 1 ，2 ， ( 2 ) 具有参数p 的二项随机序列n ；f 研) ) 函，p ( o ，1 ) 即n 具有零初 值、平稳独立增量性，且具有参数为p 、项数为n 的二项分布b ( n ，力如果 n ； ( n ) ) 函与 蚱耀i 独立则称 以) 函为完全离散复合二项风险模型其中 n = 0 ，1 ，2 ， 实际背景：在保险公司的事务中，我们假定 ( 1 ) 只在离散时刻n 进行最多一次陪付并收取保费，在连续时间段研一1 ，n 中进行的赔付以及收取的保费均视为在时刻n 进行的 ( 2 ) 保险公司在时刻n = 0 ，有初始资本u ( u 0 ) 而且只通过收取保费而获 得收入，假定每单位时间有c 元的收入，仅有的支出是投保人发生事故后，公司 对其赔付我们还可假定： 公司在时刻n 进行赔付的次数为矗有二点分布： p ( 靠= 1 ) = p ，p ( 磊= 0 ) q 1 p ， - i n ：1 ，2 ， n ( n ) 为时刻，l 为止赔付的总次数，即 ( o ) = 0 ，研) = 致，v n = 1 ，2 ， t = j 在实际中，t 靠：n = l ，2 ，) 相互独立，因而易证n ( ( n ) 】。n = 0 是参数为p 的二 项随机序列 砖 m 一m+ = 醵 第一章基本概念与模型定义 3 记第i 次赔付量为y l ，而且 e ) 茎l 为取正值的独立同分布随机变量序列 于是到时刻n 为止的总赔付量s 仰) ： 州n ) s ) ；k 扛l 其中，若( n ) = 0 ，约定s ( n ) = 0 并且假定：e ( r ) = p - b o o ，e 陋m ) o ) 的标准p 0 i s s o n 过程，表示理赔到达过程 y = iy 1 ) 翟l 是取值于( o ，o o ) 的1 i d ，且独立于 ( f ) l ( 1 2 ) 本文考虑的是存在分红上界且为常数b ( b “) 时的风险模型，l 啡 在第一 次到达b 之前与 仉) 的状态相同，但当 阢 一旦超过水平b 时，i 哪) 就停留在b 不再增长，这时保险公司就以单位时间c 的速率连续分发红利，直到发生新的理 陪使它跌落b 第一章基本概念与模型定义4 让扩( f 1 表示存在分红上界b 时的盈余过程，并假定初始盈余u b ( o ) = h 无 分红上界的盈余过程满足方程： d u ( t ) = c d t d s ( t ) ( 1 3 ) 而存在分红上界的盈余过程满足： ( f ) = c 埘d t - ( ，) d s i 删f u b ( ，) ( t ) ： ( 1 4 ) 图形如上：其中兰色的为u ，红色的则为u 6 ，黑色的为两者重叠部分 下面引入所用到的马氏过程的一些定义与性质： 2 】给定概率空间( q ，莎，p ) 和一个流( 舅) ，这时我们简单地说带流概率空间 ，莎，( 舅) ，p ) x 是以( e ，芎) 为状态空间的( 舅) 一适应的随机过程称随机过 程x 相对于流( 舅) 具有m a r k o v 性( 或( 舅) 一m a r k o v 过程，如果对s ，t t ，s t 及 b 芎，有 p ( x t 研箩：) = p ( x f 口 墨) 过程x 有m a r k o v 性当且仅当对任何j l ，s n , tet 且0 s l 0 称工，y 互达，如果工可达y 且y 可达x f l t c h a p m a n k o l m o g o r o v 方程，状态间互达关系是等价关系称x 不可分，如果e 的任何两个状态可互达 第一章基本概念与模型定义 6 对y e ，令f y ：= i n f n 1 ：墨= ) ) ( 约定i n f o = o o ) ，容易验证r y 是一个 停时，它被称为是状态y 的首达时这是一个非常基本的停时，有许多性质和应 用 对n 0 ，令脚：= p ( r y = n ) ，再定义五j ：= p 1 ( r y 0 一个状态xee 称为是常返的，如果从x 出发以概率1 回到x ，即五。 0 ， 否则x 称为非常返的m a r k o v 链x 称为是常返的，如果其所有状态常返；称为非 常返如果其所有状态非常返 在个互达等价类中，或者所有状态是常返的，或者所有状态是非常返的 子集c c e 称为是闭的，如果对任何x e ，酊p w = 1 ，或等价地，对任何 工c , y 硭c ，有p 。= 0 ，即一旦马尔可夫链进入c ，就不再离开所有x 的常返 状态全体是个闭子集x 不可分当且仅当e 没有非平凡闭子集如果x 可达y ，x 常返，那么y 也可达x 因此y 也常返因此所有x 的常返状态全体是个闭子集 设状态y 是常返的，称它是正常返的，如果平均回转时间有限 挎：= e y ( r y ) = 删 0 l 的最大公因 数，( 如集合是空，d ( 砷：= 0 ) 若d ( 曲= 1 ，称x 是非周期的称m a x k o v 链是非周 期的，如果其所有状态都是非周期的 e 上的一个概率分布( 丌，：y d 称为是转移矩阵p 的平稳分布，如果 以硒= 乃，y c e x e e 定义1 5 一个随机过程 x f ，t t l 称为一个鞅，如果 ( 1 ) 以隅f ) o 。，对所有的f 成立： ( 2 ) 如果对任意的n 1 且n o j 0 ，令 焉= “+ m 一x j ，n = o ，1 ，2 ， f = l 则称 r 甜篇为r + 一型离散风险模型 记墨的分布列为：p ( x = 力= 钉，：0 ，1 ，2 ，由于墨，i = l ，2 ，独立同 分布，且x l = 筌：) r j ，易得耳与x l 的分布具有如下关系： q o = 1 一p ，q l = p - p i ， i = 1 ，2 引理2 1 u 一型离散风险模型和r + 一型离散风险模型i r ；i l _ 等价，即两者 可互相转化 证明：囱首先证明蟛一离散风险模型是巩型的，令 t i = m i n i ：i 0 ，x f 0 l t 2 = m i n l i ：i 丁l x f 0 l = m i n l i ：i l i ，墨 0 ) 8 第二章离散的情形9 令y f = 黾，( 帕= s u p k ，t k n ) ，n = 1 ，2 ，( o ) = 0 ，则蟛= “+ c n 一酬由y j 且耳与( 功具有u - 型模型中的性质，即一离散风险模型是以一型的 反之再证明u n 是p 一型的只要令墨= 一) e ，则“= - t - c n - - ：lx f ，且 x i 为独立同分布随机变量序列，即得证 口 故以下我们都假定u _ i 。+ o o 是r - 型离散风险模型，即 巩= “+ 一y x i ，n = 0 ，l ，2 ， ( 2 2 ) j 丘j 由于在u 为到达b 之前，扩同u 的行为一样，但一旦( ，到达b ，则u 6 维 持在b 不动，直到发生理赔使u 有下落，这时扩也下落，且下降幅度与( ，相 同 对应于此模型的有分红上界b 的盈余过程破，我们有： 磁 蔷的状态空间是伽：ns 料 球= w o = “，“b 根据分红上界模型的定义，假定到n 时刻我们都知道破是的移动情况了， 下一步对( l ，如果破加上u 的增量不超过b ，则u 鲁1 即为u ：加上u 的增 量；如果和大于b ，则【，鲁l = b 因此，容易验证，u 6 是下述定义的过程： 嚷。= b 啡+ 巩“一巩蕃磊= = 铭：= 谠；： 利用此模型，我们可以直接得到扩的马尔可夫性： 定理2 1 哦l 善是m a l k d v 链 证明：令玩= o r w l ，w n 则g a b 玩 u 是独立增量的，即“+ l 一以，以一巩“，u l 巩，巩相互独立 c ，一u n 与u o ，u l ，玑相互独立 一玑与磷，u ? ，钟相互独立 第二章离散的情形 1 0 i f y b i f y = b ， p ( 吨l = y l 破= x ，昨l = 靠“，u ? = x 1 ) = p ( 哦+ 巩+ i 一巩= y u 6 n = 工昧i = 如“，u ? = x 9 = p ( 巩+ l u n = y x l u 6 = x ，u 。b l = x n l ，u ? = x o = p ( u n + l 一巩= y 一功= p ( c 一蜀+ 1 = y x ) = p ( 蜀+ 1 = c + x y ) = 丌抖j r p ( u 鲁l = y l u b = z ) = p ( 啡+ 巩+ l 一巩= y l 哦= 曲 = p ( u 。l 一= y x l 哦= 曲 = p ( 巩+ i 一以= y j ) p ( 吨l = 纠破= 工吃j = 而- j ，讲= 翔) = p ( 哄+ u 州以b l v b 。= x ，吨i = x n “，讲= x i ) = p ( 以+ l 一以b 一州啦= x ，畦l = x n “，讲：x o = p ( 以+ 1 一u n b 一曲= p ( c 一蜀+ 1 b 一曲 c + ，一x - b = p ( 墨+ lsc + z 一6 ) = ：丌。 p ( u 基l = b l 哦= z ) = p ( 联b + 巩+ 1 一巩纠破= z ) = p ( “+ l u n b x l v 6 = x ) ：p ( 以+ i u n b 一曲 综上，p ( 盘l = 纠哦= x ，u 鲁l = x n _ l ，u ? = x 1 ) = 尸( 【盘l = y i 破= z ) 且与 n 无关 所以驴是m a r k o v 的 下面讨论这个变换的一些性质： y x b 且y 。x + + 。c p 曲：f + x - 6 。；t r 。一c z 。 10i f x b c 口 第二章离散的情形 1 1 为讨论u b 的常返性，先引进几个引理： 引理2 2 ( m a r c i n k i e w e c z - z y g m u n d ) 设 墨，n 1 l 为i i d ，v 序列，0 p 2 ， 这时存在常数列 g ) ，使 舰n 一 ( x j g ) = o 一 的充要条件是 e x i o o 且这时g 可取为 g = 。0 蹦。矿i f o 。 p p 0 ) ， 贮。= i n f l n 1 ：s 。 a 0 ，l i m s ：0 0 ，a c ，e t + 0 ，r i m s = 一0 0 ，a c ，e l 0 ，s 。= 墨i 置，且 垒三0 n 则p ( n = o o ) = 0 ，尸( 一= o o ) = 0 ，且 p ( 1 i m s u p s 。= ) = 1 = p ( 1 i m i n f s 。= 一o o ) 证明：参见( 【5 】，p 1 4 9 ) 口 由于e u z 蔓e u = h + 呱c e x a ) ，当e x l c 时，e 巩一一，e 啡_ 一o o 对保险公司来说没有意义，因此考虑e x l c 的情况， 首先给出e l ( 1 - c 对矿的零常返性的证明 第二章离散的情形1 2 定理2 2 如果e x l = c 且x l 不恒为c ，则过程u 是常返的，对过程u 6 来说 b 是零常返的 证明：如果e x i = c ：葛0 e i x , f _ e x l = c o 。 利用引理2 2 ，取p = 1 ，g = c n ，则l i m 竿= l i m 学= 0 ”月_ + ” 再由引理2 3 ，得到u 是常返的 沪会无穷次到达b 对过程沙来说b 是常返的，b 能到达的点也是常返的 令t b = i n f n l ：巩6 ，瓦= i n f n 1 ：破纠 已证譬三0 ，依次利用引理2 5 和引理2 4 可知，对过程u ，e t b = 0 0 若过程u 扩从x ( x 6 ) 出发， 则n c ) 所以对驴来说，b 是零常返的 口 很多情况下，保险公司都希望单位时间的保费收入c 要大于e x l ，因此，以 下的讨论我们都针对e x l 口j ，口 0 ，贝0e l o o 且1 i m 口- + e 。t a = 面再1 证明：参见( 【5 】，p 1 5 1 ) 接着，我们先给出d o o b 停止定理的一个推广形式 引理2 7 设 ，n 0 是鞅，f 是停时，如果 ( t ) p ( z 0 0 ) = 1 ； ( 2 ) e l x f l n ) ) = 0 ； 那么e 墨= e x o 证明：参见( 2 】，p 1 2 0 1 2 1 ) 口 口 第二章离散的情形 1 3 下面我们给出扩的正常返性的证明 定理2 3e x c 时，对过程扩来说b 是正常返的，且平均回转时间介于 1 + 毁c 二- e ! 型x i与1 + 蕊c 之间 证明：e x l c 时，因为1 i m 巩= o o ，a c ，所以过程u 6 会无穷次到达b ，b 是常返的 令巧= i n f n 1 ：破纠，则p ( 巧 m ) = 1 若过程以扩从x ( x 6 ) 出发： 则n 死时破= 巩e = 死由引理2 6 ，e x t b o o 又e x ( u n + l l 玩) = e ( 以+ c 一墨+ l i 舅。) = “+ c e x i 令k = 以一n ( c e x l ) = “一冬1 ( x j e x l ) ，则e x ( k + lj 舅) = n 】是鞅由引理2 7 有b v n = e ，v o 即e ：( 【，n 一( c e x l ) 乃) = j ， 又bsu n = u r b 一1 + c x n b 十c x 死墨扫十c 己巧= 最n ；攀筹 。b 一+ 踊c - - x ，帆 c ) = 1 + e ( 西一蜀( 瓦) ；x l c ) c ) 州笔篡掣；酗。 = ，+ 等掣i f l a 所以b 是正常返的，且平均回转时间介于1 + e ( x i i - 旷c , x t c ) 与1 + 丽c 之间 口 注2 1 对扩来说，b 是正常返的，b 能到达的状态是个闭集，也都是正常 返的，所以u 6 第一次到达b 后的过程以及从b 出发的过程，我们仍记作u 6 ，都 是正常返的且是不可分非周期的 第二章离散的情形 1 4 这是因为p b b = 毋 0 ，若不然q l = 0 ，i = 0 ，1 ，c ，则e x l = i q l p + 1 ) 曼g j ：c + 1 c 矛盾所以p 2 p o ，硪m o ，因此6 的周期 为i 我们知道一个不可分非周期m a r k o v 链可分为三种情况： ( 1 ) 链是非常返的，这时。础 0 ，存在平稳分 布 所以当e x i c 时驴存在平稳分布，且平稳分布为满足下列方程组 ( 2 3 ) ( 2 5 ) 的解： 驴i ， ( 2 3 ) v y m ) = 0 ，且c m 此例中，u 和沪过程都是非减的， 则p b b = 1 ， fc + z 一6 1 q l i f 6 一c j b p ”一1o i 。t r ， 0 ) 的标准p o i s s o n 过程； y = y f 】至l 是取值于( 0 ，o o ) 的i i d ，且独立于 ( f ) 而存在分红上界的盈余过程满足： ( 3 1 ) 矾) = 高f ) d s 鞘f u b ( t o ) b 帅) s ( f ) = y f j = l 下面我们证明方程( 3 2 ) 的解( 3 3 ) 具有马尔可夫性，再介绍两个引理： 引理3 2 设对每个t t 存在一取值于可测空间( e ，留) 的抽象函数 五( u ) g 为使函数“曲关于矿代数莎，f r 可测，充分必要条件是存在 某个定义在e 。= e + e + 中的留”= 留+ 留+ 可测函数，( 札娩，) ( x l e ) ， 使 “o j ) = ，( 坼，( u ) ，如( ) ，) 证明：参见( 【6 】，p 3 2 5 ) 口 引理3 3 如对任一j ，t ls 1 ，有 知( ) = f ( x 。( 0 0 ，) ，l ( c ，y 2 ( w ) ，) 其中f 为绍”一留可测函数，y i ( t o ) ( i = l ，2 ，) 是与( ) ，h t ，u s 】独立的 随机变量，则 丑( 曲，f t 】是马氏过程 证明： 叼任取s l j 2 s 。 s ，s i t ，只要证 ，、 e ( f ( x y ly 2 ，) a ，动= jp 0 吖( x ，y l ，y 2 ，) a l x , ) p ( d )( 3 4 ) j 口 对任意a 留及b j r l x ”，工h ，x s ) 成立 因f 一1 ( a ) i ( ( 戈，y l ，y 2 ，) ：f ( x ，y l ，y 2 ，) a l 留”，故只要证对任意r i 留。， 有 ， p ( ( x 。y l 。y 2 ，) e ，功= fp ( ，y l ，y 2 ，) r l i x 。) p ( d ) ( 3 5 ) j b 先考虑形为a l + a 2 * 的，利用y i ( i = 1 ，2 ，) 对x 。的独立性，上式化为 p ( ( x se a l , y le a 2 , 此a 3 ，研= j = p ( y 1e a 2 , 弛a 3 ，飙“。) p ( 如) ， 如b = ( x s ，c l ，工c n ，x s c ) ，由假设中y f ( f = 1 ，2 ，) 的独立性， 知( 3 5 ) 的确成立利用 一系方法，即知( 3 5 ) 对一切b 莎 j ，z 。，x s 】成立 再利用一次 一系方法，便得证( 3 4 ) 口 由此我们可以得到连续时间参数下扩的马氏性 定理3 1 u 6 ( f ) ；t 0 是m a r k o v 过程 第三章连续的情形 1 8 证明：由( 3 3 ) 可知，对计冬f ，有 u 6 ( f ) = u 6 ( 丁) 4 - f “u 6 ( s ) ) d s 一眵( f ) 一s ( 丁) 】 j 7 令舅= 矿 s ( 丁) ，t r j 则u 6 ( t ) 只 s 是独立增量的，u 6 与s ( t ) 一s ( 丁) 相互独立 u b ( t ，) 是。尹 【，6 ( t ，叫) ，s ( v ，) 一s ( 丁u ) ，丁蔓v f l 的可测函数 由引理3 2 ，存在无穷维b o r e l 可测函数f ( x o ，x l ，x 2 ，) ( x i r i ) 及“【t ，妇，i = 1 ，2 ，使 u 6 ( f ) = “u 6 ( t ) ，s ( t 1 ) 一s ( t ) ，s ( t 2 ) 一s ( 丁) ，t ) 由于u b ( s ，) 只( s 丁) ，故s ( v ，u ) 一s ( 丁，o j ) ，( 丁v r ) 与u 6 ( s ，u ) 05f ) 独立 于是由引理3 3 ，便证明了 泸( r ) ，t 0 j 是马尔可夫过程 口 下面讨论 谚l 的常返性质： 定理3 2 当e y i y f 1 i l 由于s ( n ) 一s 铆一1 ) = 鬻1 + l e 令墨= ! 一l y i ，则 墨) 是独立同分布随机变量序列，且s 铆) = 翟l 墨， 因此利用离散情形的结论，易知 当e ( 墨) c 即e ( z 答0 1 h l e ) c 时，过程u b 是正常返的； 由e 【s ( f ) 】_ 7 t t e y l ，所以当e y l 0 ，x 0 ，存在n 使得：n 5 墨t 0 ：u t 6 j ，则由上式t b 掣另 一方面，由定理2 2 ，e 露= m 所以b n = 。o 得到过程的零常返性 口 第三章连续的情形 1 9 类似离散的情况，可得 推论3 1 e y l j c 时，过程u 6 的平均回转时间介于1 + 型警铲与 1 + ；= 面c 之间 至此，我们得到了存在分红上界的盈余过程的马氏性，并给出了零常返与正 常返的充分条件 参考文献 【1 】龚日朝，杨向群完全离散二项风险模型下有限时间内的生存概率【j 】应用 概率统计，2 0 0 1 1 1 ，7 ( 4 ) ：4 3 1 4 3 6 2 】应坚刚，金蒙伟随机过程基础【m 】上海：复旦大学出版社，2 0 0 5 ：6 8 - 8 9 ，1 2 0 1 2 1 3 】柳向东，杨向群两类离散风险模型的等价性【j 】湖南师范大学自然科学学 报，2 0 0 2 1 2 ，2 4 ( 4 ) ：1 - 5 【4 】汪嘉冈现代概率论基础【m 】上海：复旦大学出版社，1 9 8 8 ：9 8 【5 】y u a ns h i hc h o w ，h e n r yt e r c h e r p r o b a b i l i t yt h e e r y m 1 n e wy o r kb e r l i n h e r d e l b e r g ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 8 ：1 4 8 - 1 5 1 【6 】王梓坤随机过程通论 m 】北京：北京师范大学出版社，1 9 9 6 ：1 3 6 ，3 2 5 【7 】m i r c e ag r i g o r i u s t o c h a s t i cc a l c u l u sa p p l i c m i o n si ns c i e n c ea n de n g i n e e r - i n g u b o s t o n b a s e l b e r l i n ：b i r l d i i i u s e r ，2 0 0 2 ：2 7 1 【8 】r o bk a a s ，m a r cg o o v a e r t s ，j a nd h a e n e ，m i c h e ld e n u i t m o d e r na c t u a r i a lr i s k t h e o r y m b o s t o n ：k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，2 0 0 1 ：4 5 1 0 8 9 】g e r b e rh u ，s h i ue s w o nt h et i m ev a l u eo f r u i n j n o r t ha m e r i c a na c t u a r i a l j o u r n a l ，1 9 9 8 ，2 ( 3 ) ：4 8 - 7 8 【1 0 1l i i lx s ，、m u m o tg e ，d r e k i cs t e v e t h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t hac o n s t a n t d i v i d e n db a r r i e r j i n s u l a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，2 0 0 3 ，3 3 ：5 5 1 5 6 6 【1 1 】s h u a n m i n gl i ，j o s dg a r f i d o o nac l a s so f r e n e w a lr i s km o d e l sw i t i lac o n s t a n t d i v i d e n db a r r i e r j i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，2 0 0 4 ，3 ( 3 5 ) ：6 9 1 7 0 1 参考文献 2 l 【1 2 】n a nw a n g ，k o n s t a d i n o sp o l i t i s s o m ec h a r a c t e r i s t i c so fas u r p l u sp r o c e s s i nt h ep r e s e n c eo fa l l u p p e rb a r r i e r l j h l s i l r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o - n o m i c s ，2 0 0 2 ，3 0 ：2 3 1