（基础数学专业论文）三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张.pdf

摘要 外代数是一类具有很强的应用背景的代数，在交换代数以及射影空 间上凝聚层范畴等的研究上有着重要应用但其表示方面一直没有研 究e i s e n b u d 与郭分别用不同的方法刻画了外代数上的周期模( 6 1 1 1 1 3 ) ， 郭及学生进一步研究了外代数上其它有限复杂度的模 郭通过研究表示矩阵而研究外代数上有限复杂度的不可分解模设 k 是一个代数闭域，m 是外代数a y 上的复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模，并设 一s a 【胡_ h 一s a 2 】乌s a 【l 】乌s a o 】乌m _ 0 是m 的一个极小投射分解，则m 的表示矩阵即，1 关于s a 0 】和s a 1 】某 个基的矩阵a 。可以表示为以v 中元素为元素有相等对角元a 的三角矩 阵，即 o 0 8 a n n 一1 el 丑n 啦 2 0 口 一 n 口 吻 札 卜、 对于y 中线性无关的元素n ，6 ，具有形如l 6 口 i 的表 l 示矩阵的线性模称为( a ，6 ) 一型单列线性模，佗称为其长度( 【1 5 】) ，它是一 类结构较为简单的线性模，它具有唯一的线性子模链， 1 5 】中用这类模讨 论了复杂度为2 的k o s z u l 模，而本文讨论这一类模的非线性扩张问题， 并得到以下定理： 定理设y 是域k 上的3 维向量空间，a = a v 为外代数，m ，l 分别为 循环长度为佗，仇的( a ，b ) 型单列线性a 一模和( a ，c ) 型单列线性a 一模， 且m 为0 次生成模，工为1 次生成模，其中a ，b 为向量空间中线性无关的 元素，若 是非线性扩张，则互不同构的模最多构成一个p 2 m n _ 1 族 关键词：外代数，k o s z u l 模，极小投射分解，复杂度，表示矩阵 a b s t r a c t e x t e r i o ra l g e b r a sa r ew i d e l yu s e di ns t u d y i n gc o m m u t a t i v ea l g e b r a sa n dt h e c a t e g o r i e so fc o h e r e n ts h e a v eo v e rp r o j e c t i v es p a c e b u tt h e r e s e e m sn os y s t e m a t i c s t u d vo nt h e i rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r ya n du n t i lt h ew o r ko fe i s e n b u d ( 【6 】) a n d g u o ( 1 3 1 ) t h ed e s c r i b et h em o d u l e so fc o m p l e x i t yo n e ( p e r i o d i cm o d u l e s ) i nd e - p e n d e n t l y g u oa n dh i ss t u d e n t sa l s os t u d yt h ek o s z u lm o d u l e so fo t h e rf i n i t e c o m p l e x i t yr e c e n t l y g u oe t c s t u d yt h em o d u l e so ff i n i t ec o m p l e x i t yo v e rt h ee x t e r i o rm g e b r a s b yt h e i rr e p r e s e n t a t i o nm a t r i x s u p p o s e t h a tki sa na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d i fm i sa ni n d e c o m p o s a b l ek o s z u lm o d u l eo fc o m p l e x i t yo n eo v e re x t e r i o ra l g e b r a ，a n d a s s u m et h a t 一s 人【纠生一s 人【2 】乌s 人【1 】乌s a 【o 】乌m _ 0 i sam i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o no fm ，ar e p r e s e n t a t i o nm a t r i xo f mh a st h ef o r m (娄。：二。；。n三一，至。n l e tkb ea na l g e b r a i c a l l yd o s e df i e l d vb ea n3 - d i m e n s i o n a ll i n e a rs p a c eo v e r k , a = 八yb et h ee x t e r i o ra l g e b r ao v e rv mb e ai n d e c o m p o s a b l ek o s z u la m o d u l eo fc o m p l e x i t yo n e w ew i l ld i s c u s st h ep r e s e n t a t i o nm a t r i xo fb yc h o o s i n g t h eb a s i so fs a i 】s u i t a b l y , i = 0 ，1 ，t h e nt h e r ee x i s tab a s eo ，b ，co fv s u c ht h a tt h e r e p r e s e n t a t i o nm a t r i xh a st h ef o l l o w i n gf o r m 、llliiiii， 0 o ；o o o o o 一 k 2 0 o m o l 1 j 。 蚴 ，-。一 l ( b ，c ) ，i j 一1 ，1 i 咒一1 , a n di ( a ，b ) i sas u b s p a c es p a n n e db yn ，b l e ta ，bb el i n e a r l yi n d e p e n d e n te l e m e n t si nv ，t h el i n e a rm o d u l ew h 0 8 e ，。、 p r e s e n t a t i 。nm a t r i ) 【o ft h ef o r m l 6口 l i sc a u e du n i s e r i a lh n e a r r 一 m o d u l eo ft y p e ( a ，6 ) ，a n d 佗i si t sl e n g t h i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h en o n - l i n e a r e x t e n s i o no fs u c hm o d u l e sa n dp r o v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e ml e tkb eaf i e l d ，vb ea3 - d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eo v e rk , a vi s ae x t e r i o ra l g e b r ao fv l e ta ，ba n d a ，cb et w op a i rl i n e a r l yi n d e p e n d e n tv e c t o r s i nv ，a n dl e tm ，lb et w ou n i s e r i a lf i n e a rm o d u l e so ft y p e ( a ，6 ) a n d ( a ，c ) o v e r a v w i t ht h ec y c l i cl e n g t h 扎，mr e s p e c t i v e l y t h e r ea r ea tm o s tp 2 m n 一1f a m i b e so f m o d u l e sns u c ht h a tt h ef o l l o w i n gi sa nn o nl i n e a re x t e n s i o n 0 _ m _ n _ l _ o k e yw o r d s ：e x t e r i o ra l g e b r a ，k o s z u lm o d u l e ，m i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o n ，c o r n - p l e x i t y , r e p r e s e n t a t i o nm a t r i x i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名； 旁碱 啉u 7 年钼朋 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密a ( 请在以上相应方框内打。、”) 作者签名， 导师签名： 旁强 沂豸孑 日期：哆年石月厶日 日期，7 年弘，明 。 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 1 绪论 外代数，也称交错代数或g r a s s m a n n 代数，是g r a s s m a n n 在1 9 世纪 4 0 年代发现的定义在向量空间v 上的代数设v 是域k 上的向量空 间，t ( v ) = kov + ( v ov ) o 是v 的张量代数，向量空间v 上的外代数 定义为a = a ( v ) = t ( v ) i ，其中j 为由 zoz i z y ) 所生成的理想，若 取秒l ，v 2 ，为v 的一个基则人= a v = o a ；是个分次代数，其中 为以 ，。；1 1 j 1 如 0 ，且d i m p ( m ) a t 对几乎所有的 t 均成立的最小的数d 代数a = i + = 0a i 称为分次代数，若对任意的i ，j ，a t a i + i 外代数 是一个分次代数，代数a 上的模m = 善。舰称为分次a 一模，若对任 意的i ，j ，a m j 舰卅 硕士学位论文 对于任意整数n ，定义移位模m f n 】= - 汪b o o 。蟛，其中蟛= 舰抑 设m ，v 是两个分次模，a 是一个确定的数，如果，是m 到使得 ，( 坞) c p 佃的态鼽则称，为一个。次态射 用g r m o da 表示有限生成的分次a 一模范畴，对象集为有限生成的 分次a 一模全体，态射为0 次模同态一个模m = 芒。舰称为t o 次生 成的，若存在t o ，当t t o 时= 0 ，且m = 人必。 若有，仇五r p t - 1 ( m ) ，则称此分解为极小投射分解若m 是由i 次 生成的，有如上的投射分解，且p ( m ) 为tq - i 次生成的投射模，则说m 有线性分解，也称m 为线性模；若m 为0 次生成的且m 有线性分解，则 称m 为k o s z u l 模由定义可知，线性模的线性投射分解是它的一个极小 投射分解如果代数a 的零次单模都是k o s z u l 的，则称a 为k o s z u l 代 数 外代数是一类重要的自入射k o s z u l 代数，而k o s z u l 对偶可以看作 b b g 对应的一种推广事实上，b e r n s t e i ng i n z b e r g 和s o e r g e l 证明了k o s z u l 对偶代数的导出范畴是三角等价的( 4 】) g r e e n 和m a r t i n e z - v i l l a 从表示的 角度研究了k o s z u l 代数给出对偶的k o s z u l 模结构的刻画( 【1 1 【1 2 】) 对 外代数模的刻画工作不多，2 0 0 2 年e i s e n b u d 给出了外代数上周期模的刻 画( 【7 】) 郭及其学生从复杂度为1 的k o s z u l 模的角度给出了另一个刻画 ( 【1 3 】) 并推广了代数表示中管范畴的理论( 【1 4 】) ，证明其k o s z u l 模具有循 环k o s z u l 模的滤结构( 【1 7 】) 事实上，m a r t i n e z - v i u a 和z a c h a r i a 已证明对 k o s z u l 自入射代数的分次模，其某个合冲模具有以线性模为子商模的滤 结构( 【2 1 1 ) 在本文中，我们总是假定k 是一个代数闭域，v 是k 上的3 维向量空 间，a = a v 是指v 上的外代数 郭及其学生研究k o s z u l 模所使用的方法是研究主理想环上模的结 构定理所使用的表示矩阵方法的一种发展，表示矩阵对于确定模的结 构无疑是十分重要的若人是一个代数，a 上投射模的态射范畴记为 m o r p h ( t p ( a ) ) ，其对象为投射模之间的态射，：只_ 岛，两个对象，到，7 的态射为使得下图交换的同态对( g 。，仍) ， 只 三 b l 夕1土夕2 爿 足 2 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 其中g i ：只_ 只，i = 1 ，2 是a 一模同态，于是c o k e r ：m o r p h ( p ( a ) ) 一 m o d a ，_ c o k e r f 定义了一个函子设c 是一个a 模，c 的极小投射 表示的前两项为尸l 上r c _ 0 ，则c o k e r 垒c 导出一个等价g ： m o r p h p ( a ) r m o d a ，其中r 是m o r p h p ( a ) 上的一个关系( 【2 】的第1 v 章的命题1 2 ) 取定自由模的基，则态射厂对应于一个元素属于人的矩 阵( 2 4 1 ) 研究代数上的模可以转化为研究其所对应的表示矩阵 对于k o s z u l 模和k o s z u l 对偶，有许多不同角度的研究( 1 】i 5 】 9 】j 【1 0 ， f 1 4 j ， 1 6 1 ，【1 8 】，f z o ，f 2 3 】) m a r t i n e a - v i l l a 和z a c h a r i n 在【2 1 j 中指出，自入射k o s z u l 代数上每一分次模m 的某个合冲模q t m 具有线性模的滤链而e i s e n - b u d 在f 6 】中指出，对复杂度为1 的模有仔m 竺m ，考虑外代数上非线性 分次模的结构自然需要探讨线性模的非线性扩张 ra 6n、1 外代数上具有形如i ”i的表示矩阵的线性模m 称 l 一 为( a ，b ) 的单列线性模，n 称为其循环长度它是具有唯一线性子模链0 = m o m 1 sm ”= m ，满足对t = 1 ，2 ，3 ，n ，m m 卜1 型a 叫( 口) 的 不可分解线性模( 【1 5 】) 本文讨论三维空间上单列线性模的非线性扩张 问题 模的扩张是模论研究的有趣的问题，它与同调代数，广义导子等有 着密切的联系( 2 5 】， 2 6 】) 在t a m e 遗传代数中，我们知道给定虚根对应一 个p ，簇不可分解模，其证明就源于对k r o n e e k e r 代数上单模扩张的研究 我们讨论三维空间上两个单列线性模的非线性扩张问题，即当m ，三为 单列线性模而在正合列0 _ m 一_ l _ 0 中，不是线性模的情形 我们证明了下面的结论： 定理设y 是域k 上的3 维向量空间 a = a y 为外代数，m ，l 分别为 循环长度为仃，m 的( a ，b ) 型单列线性a 一模和( a ，c ) 型单列线性a 一模， 且m 为0 次生成模，l 为1 次生成模，其中a ，b 为向量空间中线性无关的 元素，若 是非线性扩张，则互不同构的模最多构成一个舻撇。族 我们的证明使用表示矩阵的方法进行，并在证明过程中，将情况分 3 硕士学位论文 为b ，c 线性无关与b ，c 线性相关两种在述定理中，若a ，b 分别为m ，l 的表示矩阵，则的表示矩阵为f = ( 三三) 我们具体给出c 的可 能情形这便给出了扩张模的具体结构： 1 若 a = o00 6n0 0b 口 0 0o 00 l 00i l 0 0i i i bq ，n n ( ：，：) 。m + n ，。+ “，t = 1 ，2 ，m 一1 ；歹= 2 ，3 ，佗， ( 。0 m ，三) 。m + 竹，。m + n ，歹= 2 ，3 ，n ， ( 差，吕) 。+ n ，。+ 。，t = 1 ，2 ，m 一1 ， ( 。0 m ，三) 。m + n ，。m + n ， ( g o j ：) 。m + 。，x 。m + 。，z = ，2 ，m ；歹= ，2 ，3 ，n ， ( ：三) ， 4 ，ji。i-i-i_- 0 0 0 0 0 o o ；6 0 o 口；0 o d 参；0 0 6 0 ；0 ，fj-。一 = b 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 其中： d 蚰 0 0oo0 0 0 0 0 00 0 ；6 c o0 o0 0 o 0 6 c 0 0 0 0000 0 啦赫丑。 ( 表示第( m ，j i ) 位置为o a 2 ，第( m ，j i 一1 ) 位置为6 c 其它位置的元素都为0 的矩阵，其中：歹= 2 ，3 ，几) ， d i 12 一誊兰 5 其它位置的元素都为0 o ；0 0 0 0 ；0 0 ；0 0 o 0 ；0o；o扣o；o c 硒 硕士学位论文 ( 表示第( i ，j ) 位置为0 6 ，其它位置的元素都为0 的矩阵，其中：i = 1 ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，3 ，n ) 2 若 则 b = 0 0 a0 ba ： 0 0 0 0 口0 ca ： 0 o l 三卜 a | ，m m ，m ；歹= 1 ，2 ，佗， ，m ；j = 2 ，3 ，n ， ，n 一1 ， ，m ， 6 00 o；o曲0；o 00 0 0 0 ；6 o 6 o ；o ，。一 = a ! 舂；料 撕 忡 堵 阵 = = 一引 = 姬弋 、n 、n 门 。心 下、，、二、 以o 0 0 o o 0 o 0 ：墨ooo乃o 一 一 f ( 己瑚 ( 吾玢 其中， d , j o0 00 0 - 2 a c 0b c oo 0o t ：2 ，3 ，m ；j = 1 ，2 ，n ( 表示第( i ，j ) 位置为b c ，第( i 一1 ，歹) 位置为 一2 a c ，其它位置为0 的矩阵) ， e , j 0 ： 0 0 0 ： o 00 0 o 0 一曲 00 00 0o o 0o o 00 0 a c0 0 00 0 i ：2 ，3 ，m ；j = 2 ，3 ，n ( 表示第( i ，歹) 位置为b c ，第( 瓦j + 1 ) 位置为 一2 a c ，其它位置为0 的矩阵) ， j ：l ，2 ，佗一1 ( 表示第( 1 ，j ) 位置为b c ，第( 1 ，j + 1 ) 位置为- 2 a c ，其它 7 0 ；o 0 0 o ；0 0 ；o o 0 0 ；0 0 ；0 0 0 0 ；0 、liii， o 0 ；0 o o ；0o ；o k 0 ；0 0 o ；0 0 0 ；o ，-_i-l-l_ll、 = 弓 硕士学位论文 位置为0 的矩阵) ， g 1 = 0 0 0 o a c0 0 0 0 0 0 ： 0 0 o ： 0 i = 1 ，2 ，m ( 表示第( i ，1 ) 位置为a c ，其它位置为0 的矩阵) j = 1 ，2 ，佗( 表示第( m ，j ) 位置为a b 其它位置为0 的矩阵) 8 、lilllli， 0 ；o 0 o ；0 o 0 ；0 k o ；0 0 o ；o o ，f-i-lii_ili、 = g 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 2 预备知识 设k 为域，y 为k 上m 维空间，t ( v ) = 尼ovo ( yov ) o 为y 的 张量代数，外代数人= a v 定义为t ( v ) 的商代数a = t ( v ) i ，其中，为 由 z xix y 】生成的理想 设a 为分次代数，m = 善。m t 为分次a 模，对于任意整数n ，定义 s h i f t 模= 善m n l p ，其中m ( 佗】p = m 帅则作为a 模m n j 笺m ( a ) 若存在t o 满足t t o 时，m t = 0 且m = a 尬。，则m 为由t o 次生成 的 ( b ) 若m 存在投射分解： 一p t ( m ) 3 _ p i ( m ) 乌p o ( m ) 乌m _ 0 满足i m f t r p t 斗则称此分解为极小投射分解 ( c ) 若m 为i 次生成的且有投射分解： 一p t ( m ) 一p i ( m ) 乌p o ( m ) 乌m _ 0 满足只o 0 ) 为t + i 次生成的投射模，则说m 有线性分解若m 为0 次生成的，且m 有线性分解的，称m 为k o s z u l 模 ( d ) 若m 的极小投射分解为 一p t ( m ) 乌_ p i ( m ) 乌p o ( m ) 乌m _ 0 ， 则m 的复杂度c a m 定义为： c a m = i n f d zlp c a t d 一1 ，了a r ，v t o ) 由定义可知，k o s z u l 模的线性投射分解是它的极小投射分解 2 5 】中引入了层维数向量与l o e w y 矩阵的概念 设a = 竺oa i 为分次代数：a o 垡s lo o ， s , l t i 礼) 为人上的 互不同构的单模，则任意有限生成的人模均有合成列：o = m r m m o = m 用m l 表示 m j 一1 坞i l j 7 - ) 中同构于s ；的个数定义 d i m m = ( m 1 一，) 设a = o 墨。a ；m 为t o 次生成的有限生成分次a 模， 若m 无投射模作为直和项，则r m m = 0 ，且m = m t 。+ 舰0 + 1 + + 慨。+ 。- 1 自入射代数上的模m 的层维数向量定义为( 2 5 1 ) 9 硕士学位论文 m = ( 要h 兰， f 出m m ：f 击m ( r m 2 m i ：l m m ( 0 + d l i 妇。二咖，夕【。如_ j l = ( 妻。亨亏喜 犯5 】中证明如果m 是k 。s z m 模， 则i d i m l 2 。m = l i d i m m 设一t =，1 t m 为m 维列向量， 则，是m 维列向量空间的基，从而a 上的任意k o s z u l 模的层维 数向量可由v lv 2 ，线性表示 我们知道在复杂度为1 的不可分解线性模的极小投射分解为_ s a m 乌一s a 2 乌s a 1 】乌s a o 】乌m _ 0 我们分别取定s a 嘲与 s a t 一1 】的基e p e 孑与e _ 1 e 5 。因为 ( e s a t 一1 】，所以可以 设五( e ：) ) = ；：。口汐毋_ 1 所以有 称a = ( 吃) 为五对应的矩阵，其中a 1 称为m 的表示矩阵，由于以是 零次映射，且 e ) 1 1 i s ) 是s 人嘲中的t 次齐次元素，而 e 5 卜1 1 1 i s ) 1 0 1研；斧1 o ；o 一 一 ；1 o 2 卜 麓西 毋 ，-_1-i_。i_i b 孙 鼬 口 o o 他勉 以 n 0 n u n n 0 0 口 毋毋毋 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 月s a l t l j 下驯c l 叭丌认7 l 糸以。召tn 12 ，1 z ，了s 若改变s h t 的基为e i t “e 5 t “，则存在元素属于k 的可逆矩阵p ，使 彳导 ( i 至) = p ( 1 至i ) c 尸( i 兰i ，= a t ( ! 三三篓) c ( 耋) ，= p 一1 a t ( 篓三篓 矩阵分别为a 。，a 件。，贝o + ，le g - 。l ：五i 。豺。n 磐” 誊孽蛾麓 故 + ，对应的矩阵为a a i i 进行 e 3 ( t - - i ) 的、夕 一业d d u 郴移甜甜 、，、， l l 一 一 o，02 e e 硕士学位论文 一个矩阵a = a l l a12alt i 称为是不可分解的，若a 经过初 等行和列变换后a 不能写成形如( 含量) 的对角块的形式根据定 引理舭设矩阵a 为( 三二三三) 。n ，其中。n k 若m 是外代数人上的复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模，m 有极小投 射分解_ s a 嘲乌一s a 2 乌s 人 1 】乌s a o 乌m 一0 ，若对i ：0 ，l ，2 ， 适当的选择s a i 】的基，可使得 和无对应的矩阵为a - = a 2 ，并且具有 ( a0 0 a 2 1 a0 口。，1a s ，2 n 的形式，其中0 a v 取定y 的一个基v 。= a ，忱，可使得任意 的i 歹，a 巧的线性表达式中a 的系数为0 卜- 丁 1 2 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 则称m 为( a ，b ) 单列线性模 这时，m 有唯一的滤链 0 = m ocm 1c cm n = m 使得对t = 1 ，2 ，n m m 卜1 竺h v ( o ) ，这是由a 所确定的线性模 1 3 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 模的扩张的表示矩阵 设y 是代数闭域k 上的3 维向量空间，a y 是y 的外代数，设m ，三是 a v 上的两个单列线性模，并设0 一m 一_ l _ 0 是一个非线性扩张 这样不是一个线性模不妨设m 是一次生成的由于的复杂度为 1 ，由【6 】可知q t 竺n 由【2 1 】知，若l 是t 次生成的，则有1 t 而m 的l o e w y 长度为3 ，从而t 3 于是我们有t = 2 设a ，b ，c 是y 上三个线 性无关的向量并设m 的极小投射分解为： h _ + lp t ( m ) 皇幺p 2 ( m ) 皇p i ( m ) p o ( m ) 鱼m 一0 l 的极小投射分解为： g _ t + lp t ( l ) 马骂p 2 ( l ) 骂p i ( l ) 马p o ( l ) 骂l _ 0 ， 由马掌引理可知，的极小投射分解为： h _ t + 1 只( m ) 0 p t ( l ) 一_ h 2p i ( m ) 0 p i ( l ) 马p o ( m ) o p o ( l ) 乌三一0 ， 其中：h 。：f 五o1 , w t ：p t ( m ) _ r l ( l ) 蚴g t 设m 的表示矩阵为a ，l 的表示矩阵为b ，则我们有的表示矩阵 y g ：t t = ( c ab 0 ) ，其中c 为w l 所对应的矩阵由于肘是。次生成的乒 是1 次生成的，我们得到，c 中的元素都属于a 2 y 由前面讨论知道，若，t 所对应的矩阵为a 。，g t 所对应的矩阵为鼠，可 适当选取投射模的基使得：a = a ，b t = b 若h 。所对应的矩阵为凰，由 于q 。竺n 可设h t = h 由f 6 】知，当n 与口，线性无关时，( o ，6 ) 型单列线性模与( o ，b ，) 型单列 线性模没有非平凡扩张因此我们可以假定m 和均为( a ，b ) 单列线性 模，或者m 和分别为( o 6 ) 单列线性模和a ，c ) 单列线性模，其中6 ，c 线性无关设m 为循环长度为n 的( o ，b ) 型单列线性模，三为循环长度为 m 的( o ，c ) 型单列线性模，则它们的表示矩阵分别为： 1 5 a = 硕士学位论文 、 l 及b ： i ai ，l n 口 m m 我们有以下定理： 定理设y 是域k 上的3 维向量空间，a = a y 为外代数，m ，l 分别为 循环长度为佗，m 的( a ，b ) 型单列线性人一模和( a ，c ) 型单列线性a 一模， 且m 为0 次生成模，l 为1 次生成模，其中a ，b 为向量空间中线性无关的 元素，若 0 一m 一一l o 是非线性扩张，则互不同构的模最多构成一个p 2 舢_ 1 族 证明这个定理时，我们将情况分成两种，即：b = c 和6 ，c 线性无关 两种情形因此定理是通过两个命题，两个引理而证明的具体过程如 下： 命题3 1 设y 是域后上的3 维向量空间，a = a v 为外代数，m ，工分别 为循环长度为佗，m 的( a ，b ) 型单列线性a 模，为a 上复杂度为1 的模， 且m 为0 次生成模，l 为1 次生成模，其中a ，b 为向量空间y 中线性无 关的元素，若 0 _ m 一_ l - 0 示矩阵为a = 【茎 ：j ! ! )。，则的表示矩阵为： 玢 ，三的表示 6 0 0 6 表 的 一 一6 彳 o 0 一 若 口6 o 张， 扩 = 陛 c 口 线 为 非 阵 是 矩 a c 埔 = f 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 且c 可由以下矩阵的线性组合得到： 0 0000 0 0 0o0 = 10 0 ；b c a c 0 0 0 ；6 c 0 0 0 0 0 0 0 0000 0 ( 表示第( i ，歹) 位置为a c ，第( i ，j + 1 ) 和( i l ，歹) 位置为 b c 其它位置的元 素都为0 的矩阵，其中。i = 1 ，2 ，m 一1 ；j = 2 ，3 ，n ) ， 砜j = l 0 0000 - 0 1 i ( 表示第( m ，歹) 位置为a c ，第m ，j 一1 ) 位置为；b e 其它位置的元素都为0 的矩阵，其中：j = 2 ，3 ，n ) ， d i 1 = ( 表示第( i ，1 ) 位置为a c ，第( i + 1 ，1 ) 位置为；b c 其它位置的元素都为0 0 ；0 o 0 o ；0 0 ；0 o 0 0 ；0o；o批oo 硕士学位论文 的矩阵，其中：i = 1 ，2 ，m 一1 ) ， c 珏 ，00 0 i i： ： d r a , l = i jo0 in co o ( 表示第( t 歹) 位置为n 6 其它位置的元素都为0 的矩阵，其中：i = 1 ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，3 ，n ) 证明：由f 2 = 0 号c a + b c = 0 令对于c a + b c 的( 1 ，j ) 位置，有：c i j a + + 1 6 + b e 4 1 j + a x 巧= 0 又劬a 2 v ，故令：= 0 6 + 幻6 c + s i j a c 令2 幻= 8 i j + l + 8 i l j 其中s 町= 8 协+ 1 = 0 1 8 00 0；0曲o；o 00 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 其中， l 0 1 。 a a = l 【。0 f 一1 耻i 。 i 0 n n n x n = 0 由于方程组中没有出现，故z 巧中的a b 系数无法确认，属于自由 变化的未知量 “kk l o 0 一 a l 0 0 一 b o a oa 研o o o 汜 。皤 o 汜o o 0 o 0 o o o 0 o o o o o o o o o o d 一 o o o 硕士学位论文 在上方程组中，令8 订为自由变量，但可得c 由以下矩阵生成： d o = 0 ： o 0 o ： o o0 0o 0 b c o0 00 00 0 o0 0 a c0 0 6 c 0 0 00 0 ( 表示第( i ，j ) 位置为a c ，第( t j + 1 ) 和0 1 ，歹) 位置为；6 c 其它位置的元 素都为0 的矩阵，其中：i = 1 ，2 ，m 一1 ；j = 2 ，3 ，n ) ， ( 表示第( m ，j ) 位置为a c ，第( 仇，j 一1 ) 位置为6 c 其它位置的元素都为0 的矩阵，其中：j = 2 ，3 ，佗) ， d i ，1 ( 表示第( z ，1 ) 位置为a c ，第( i + 1 ，1 ) 位置为；6 c 其它位置的元素都为0 的矩阵，其中：i = 1 ，2 ，m 一1 ) ， l 00 0 l ： ： d m l l = i l 00 0 l a c0 0 2 0 o ；o 0 0 ；o o o ；0 c 0；0扣 o ；o o 0 ；0 o ，-。 = 。j m d 0 ；o 0 0 0 ；0 0 ：0 0 o 0 ；oo；o批o；o 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 = ( 表示第( ，歹) 位置为曲，其它位置的元素都为0 的矩阵，其中：i = 1 ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，3 ，n ) 通过上面的分析我们知道，c 可为若干个给定形式矩阵的线性组合 这些矩阵张成一个为2 m n 的k 上的向量空间，而其相差一个非零倍数 时，显然对应于同构扩张因而它们构成一个p z 栅- 1 簇于是便有引理3 1 引理3 1 设y 是域k 上的3 维向量空间，a = a v 为外代数，m ，l 分别 为循环长度为n ，m 的( a ，b ) 型单列线性a 模，且m 为0 次生成模，l 为1 次生成模，其中a ，b 为向量空间中线性无关的元素，若 0 一m 一一三一0 是非线性扩张，则互不同构的模最多构成一个舻。族 命题3 2 设y 是域k 上的3 维向量空间，人= a v 为外代数，m ，l 分别 为循环长度为n ，m 的( a ，6 ) ，( a ，c ) 型单列线性人模，为a 上复杂度为1 的模，其中a ，6 ，c 为向量空间y 中线性无关的元素，若 o m 一一三_ 0 是非线性扩张，若m 的表示矩阵为4 2 1 0 a b ，三的表示 站x 仃 00 0；o曲0；0 0o 硕士学位论文 矩阵为b = ( 茎手：i ! ；至) m m ，则的表示矩阵为： 矩阵为b 2 【主j ：，! ：兰j 则的表示矩阵为： f = ( 三三) ， d t j = 00 00 0 - 2 a c o厶c oo 00 i = 2 ，3 ，m ；j = 1 ，2 ，n ( 表示第( 瓦j ) 位置为6 c ，第( i 一1 ，歹) 位置为 一2 a c ，其它位置为0 的矩阵) ， e t j = 0 ： 0 0 0 ： 0 0o 00 0 - a b o0 o0 00 0 0o 0 00 o a c0 0 0o 0 乃e 0 俐0 b ca c 00， 0 ；0 o 0 0 ；0 0 ；o 0 0 o ；0 0 ；0 0 o o ；0 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 歹= 1 ，2 ，礼一1 ( 表示第( 1 ，j ) 位置为6 c ，第( 1 ，j + 1 ) 位置为一2 a c ，其它 位置为0 的矩阵) ， g l = o 0 o 0 a c0 o 0 0 0 0 ： 0 0 0 ： 0 t = 1 ，2 ，m ( 表示第( i ，1 ) 位置为a c ，其它位置为0 的矩阵) 歹= 1 ，2 ，n ( 表示第( m ，歹) 位置为n 6 其它位置为0 的矩阵) 证明：由勺a 2 v 可设= k i j a b + l i j b c + s i j a c ，又f 2 = 0 ，由勺o + + l b + 6 c i l j + 口= 0 可得：2 b + 8 i ，j + l + 一l j = o ，i = l ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，仇故 该方程组有m 礼个方程，有3 m n 个未知量，且由表达式可以看出，s n ， 不参与计算，属于自由量解此方程组可得c 由以下矩阵生成： d i j = 00 00 0 - 2 a c 0b c o0 00 i = 2 ，3 ，m ；j = 1 ，2 ，n ( 表示第( i ，j ) 位置为b c ，第( i 一1 ，j ) 位置为 2 3 、lllllll， 0 ；o 0 0 ；0 0 0 ；0 k 0 ；0 o o ；0 o ，。一 = g 0 ；0 0 0 o ；o 0 ；o o o oo 0 ；o 0 o o ；o 硕士学位论文 一2 a c ，其它位置为0 的矩阵) ， e t j 0 ： 0 0 0 ： 0 00 00 0 - a b 00 00 00 0 oo o 00 0 a c0 o 0o 0 乃= 0 0 b ca c0 o 1 ， g 1 = 0 0 0 0 a c0 0 0 o 0 0 ： 0 0 0 ： 0 吣0 - 0 0 0 - - 0 ) ， 2 4 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 通过上面的分析我们知道，c 可是若干个给定形式矩阵的线性组合 这些矩阵张成一个为2 m n 的k 上的向量空间，而其相差一个非零倍数 时，显然对应于同构扩张因而它们构成一个 p 2 r n n 。簇这便有引理3 2 ： 引理3 2 设y 是域k 上的3 维向量空间，人= a y 为外代数，m ，l 分别 为循环长度为n ，m 的( a ，6 ) ，( a ，c ) 型单列线性a 模，且m 为0 次生成模，l 为1 次生成模，其中a ，b ，c 为向量空间y 中线性无关的元素，若 0 _ m _ _ 三_ 0 是非线性扩张，则互不同构的模最多构成一个p 2 m n 。族 由引理3 1 和引理3 1 ，便有定理成立 2 5 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 结语 这一篇文章主要是在复杂度为1 的k o s z u l 模的基上，研究复杂度为 1 的非k o s z u l 模的表示矩阵本文研究的对像主要是这样一类复杂度为 1 模，满足：存在两个复杂度为1 的k o s z u l 模m ，l ，使得：o _ m 一 己一0 为正合列y 的维数为2 和3 的时候，m ，l 的表示矩阵已经有 人做出了很好的结论本文主要讨论的情况是：当y 的维数为3 ，且m ，三 的表示矩阵为两类比较特殊的情况下的的表示矩阵 2 7 三维空间上外代数一类周期线性模的非线性扩张 参考文献 【1 】1b e i l i n s o n ，a ，v g i n s b e r g w s o e r g e l k o s z u ld u a l i t yp a t t e r n si nr e p r e s e n t a t i o n t h e o r y 【j 】a m e r m a t h s o c ，1 9 9 6 ，9 ( 2 ) ：4 7 2 5 2 7 【2 】a u s l a n d e r ，m ，i r e i t e n s s m a l r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa r t i na l g e b r a s m c a m b