（概率论与数理统计专业论文）双线性时间序列模型的估计及成片异常点的检测.pdf

d e t e c t i o no fo u t l i e rp a t c h e sa n de s t i m a t i o n 一 1 - 1 o lb 1 1 1 n e a rt i m es e r l e sm o d e l s s u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r o fp r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s b y l il i n g s u p e r v i s o r ：p r o f c h e np i n g s o u t h e a s tu n i v e r s i t y n a n j i n g ，2 1 1 1 8 9 ，c h i n a d e c e m b e r ，2 0 0 9 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：丝日期：趁! 旦l 加 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生 院办理 摘要 时问序列的观察值有时会受到异常事件干扰或者误差的影响，这样就会造成与真实 现象不符合的结果，从而会导致观察值的异常态势，以致与时间序列中的大多数的观察 值不一致我们称这些不正常的观察值为异常值或异常点，它们很可能由不正常的其他 事件引起，比如：工厂工人的罢工、天气因素的突变等，或者仅仅是由于工作人员的记录 或采集的错误异常数据有时可能足具有特殊意义的数据，它们往往能够提供更多其他 有用的信息，检测异常点是我们发现新知识、确定新状态的有力手段因此，异常点的检 测和分析是一项十分有意义、至关重要的数据检测任务 1 9 7 2 年f o x 的一篇开创性的论文是关于a r m a 模型时间序列中的异常点的检测方 法，后来已广泛展开迄今为止，对于线性时间序列模型中的单个异常点的检测已经得 到很好的解决但是，如果异常点在数据中成片出现时，在检测过程中往往就会伴有“掩 盖”和“淹没”现象的发生，使得我们在检测异常点时会遇到很多的困难至今，对于成 片异常点的检测仍然是一个有待进一步解决的问题 本文将在前人的基础上，对于双线性时间序列模型的成片a o 型异常点进行检测 首先分别给出了双线性模型和异常点的概念及其分类；其次给出了双线性模型中参数的 估计；然后提出一种新的b a y e s 过程，即自适应的g i b b s 抽样( a d a p t i v eg i b b ss a m p l i n g ) 方法，对双线性时间序列中a o 型成片异常点进行了检测，最后给出了进一步需要解决 的问题 关键词：矩估计；极大似然估计；m c m c 估计；a o ；成片异常点；双线性时间序列模型； 自适应g i b b s 抽样 中图分类号：0 2 1 2 2 分类号：a m s ( 2 0 0 0 ) ：6 2 j 0 5 ；6 2 f 1 0 a b s t r a c t t i m es e r i e so b s e r v a t i o n sm a ys o m e t i m e sb ea f f e c t e db yu n u s u a le v e n t s ，d i s t u r b a n c e so re r r o r s t h a tc r e a t es p u r i o u se f f e c t si nt h es e r i e sa n dr e s u l t si ne x t r a o r d i n a r yp a t t e r n si nt h eo b s e r v a t i o n s t h a ta r en o ta c c o r dw i t hm o s to b s e r v a t i o n si nt h et i m es e r i e s s u c hu n u s u a lo b s e r v a t i o n sm a yb e r e f e r r e dt oa so u t l i e r s t h e ym a yb et h er e s u l to fu n u s u a le x t e r n a le v e n t ss u c ha ss t r o k e s ，s u d d e n c h a n g e si nap h y s i c a ls y s t e mo rs i m p l yd u et or e c o r d i n go rg r o s se r r o r si nm e a s u r e m e n ta n ds oo n o u t l i e r sm a ys o m e t i m e sb ev e r yi m p o r t a n td a t u mc o n t a i n i n gg r e a tu s e f u li n f o r m a t i o n a sar e s u l t o u t l i e rm i n i n gi sag r e a ti m p o r t a n tt a s ki nt h ef i e l do ft i m es e r i e sa n a l y s i s f o l l o w i n gt h ew o r ko ff o xi nt h ey e a ro f19 7 2 ，o u t l i e rm i n i n gb a s e do nt h ea r m at i m es e r i e s m o d e lh a sb e e nw i d e l yr e s e a r c h e d b yn o w ，s e v e r a lp r o c e d u r e sa r ea v a i l a b l ei nt h el i t e r a t u r et o h a n d l eo u t l i e r sw h i c ha r en o ti np a t c h e si nat i m es e r i e s h o w e v e r ，t h e s ep r o c e d u r em a yb ev e r y i n e f f i c i e n tw h e no u t l i e r so c c u ri nap a t c h t h e ym a yf a i lt od e t e c to u t l i e r sd u et om a s k i n ge f f e c t s t h e yc a na l s om i s p e r c e i v e g o o d d a t ap o i n t sa so u t l i e r s r e s u l t i n gi nw h a ti sc o m m o n l yr e f e r r e d t oa st h es w a m p i n go rs m e a r i n ge f f e c t t h a ti saq u i th a r dq u e s t i o n s b a s e do nt h ef o r m e rw o r k ，t h eo b j e c t i v eo ft h i sp a p e ri st od e t e c tp a t c h e so fa oo u t l i e r s i nb i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l s f i r s t ，t h ep a p e rp r e s e n t e dt h ed e f i n i t i o n sa n dc l a s s i f i c a t i o n so ft h e b i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l sa n do u t l i e r sr e s p e c t i v e l y t h e ni tp r e s e n t e dt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o ni n b i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l s a f t e rt h a t ，i tp r e s e n t e dan e wb a y e sp r o c e s s ，t h a tw a s ，a d a p t i v eg i b b s s a m p l i n gm e t h o d t h i sm e t h o dw a su s e dt od e t e c tp a t c h e so fa oo u t l i e r si nb i l i n e a rt i m es e r i e s m o d e l s i td e a l tw i t hd e t e r m i n a t i o no ft h eo r d e ri nb i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l s t h el a s t s o m e 如r t h e rd i s c u s s i o nw a sg i v e n k e yw o r d s ：m o m e n te s t i m a t e ；m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e ；m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l oe s t i - m a t e ；a o ；p a t c h e so fo u t l i e r s ；b i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l ；a d a p t i v eg i b b ss a m p l e r n 摘要 a b s t r a c t 目录 l 1 1 第一章引言 1 1 1 背景。 1 1 2 研究现状 1 1 3 本文工作 2 第二章双线性模型概述 3 2 1b l ( p ，q ，r s ) 模型的定义 3 2 2b l ( p q ，n5 ) 模型的分类 3 第三章异常点及异常点模型 5 3 1 异常点的定义。 5 3 2 异常点及异常点模型 6 3 2 1a r m a 序列中异常点的模型及分类 6 3 2 2 双线性时闯序列中异常点的模型8 第四章参数估计 1 0 4 1 矩估计方法。1 0 4 1 1 自回归项系数的矩估计1 1 4 1 2 其它参数的矩估计1 2 4 1 3 一些特殊的双线性时间序列模型的矩估计1 2 4 2 极大似然估计方法1 5 4 2 1 基本理论1 5 4 2 2 具体的计算方法1 7 4 3m c m c 估计方法( 标准g i b b s 抽样器) 1 8 4 3 1b a y e s 分析。1 8 4 3 2 参数的m c m c 估计方法1 9 第五章双线性时间序列模型中成片a o 型异常点的检测 2 0 5 1g i b b s 抽样2 0 5 1 1 标准g i b b s 抽样 5 1 2 自适应g i b b s 抽样 5 2 成片a o 型异常点的检测 5 2 1 成片异常点的初步定位和参数的联合估计 5 2 2 二次g i b b s 抽样 第六章模拟计算 6 1 参数估计 6 1 1 参数矩估计的模拟 6 1 2 参数极大似然估计的模拟 6 1 3 参数的m c m c 估计的模拟 6 2 成片a o 型异常点检测的模拟 第七章结论及进一步有待研究的问题 7 1 结论 7 2 进一步有待研究的问题 致谢 参考文献 加 组 射 虬 缸 驼 ：； 驼 勰 弘 们 诣 盯 第一章引言 1 1 背景 时间序列分析是统计学科中应用性较强的一个分支，在金融经济、气象水文、信号 处理、机械振动等众多领域有着广泛的应用 时间序列模型可以分为线性时间序列模型和非线性时间序列模型线性时间序列模型 主要有a r ( p ) 模型、m a ( q ) 模型、a r m a ( p ，g ) 模型、广义a r m a ( p ，q ) 模型、a r i m a ( p ，d ，q ) 模型等，对于线性时间序列模型，有很多学者对它已经做了大量的研究，也都取得了 显著的研究成果；然而，在近几十年非线性时间序列模型才被提出以及对它进行研 究，w i e n e r ( 1 9 5 8 ) 是最早研究非线性现象的，其他许多的统计学家都是利用w i e n e r 模 型得到了各种各样的非线性时间序列模型，比如：广义非线性模型、状态相依模型、非 线性自回归模型、门限自回归模型( t h r e s h o l da u t o - r e g r e s s i v em o d e l ) 、指数自回归模型 ( e x p o n e n t i a la u t o - r e g r e s s i v em o d e l ) 、双线性模型( b i l i n e a rm o d e l ) 而双线性时间序列模 型是g r a n d e r 和a n d e r s o n ( 1 9 7 8 ) 提出的，它是一类非线性的时间序列模型，本文将对该模 型进行参数估计和异常点检测的研究 参数估计方法主要有矩估计方法、极大似然估计方法、m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ( m c m c ) 估计方法，其他的一些方法还有频域估计方法、最小二乘估计、条件最小二乘 估计、反复残差法、递推估计和r o b u s t 估计( 1 9 9 8 ) 等 1 9 7 2 年f o x 在时间序列中提出了异常点的概念，之后在时问序列中异常点的检测与 分析是一项十分有意义的统计任务，我们称这样的检测工作为时间序列异常数据检测或 异常点检测对于检测与分析时间序列中的异常点等相关的问题，有很多学者进行了大 量的研究，也取得了很多的研究成果，并且有些在实际应用中效果很好迄今为止，在 时间序列数据中，如果仅出现单个的异常点，它的检测工作已经得到了很好的解决，但 是，当异常点成片出现时，它的检测工作往往就伴有“掩盖”( 某些异常点不能被成功检 测出来) 和“淹没”( 误将原本不是异常点的数据点检测识别为异常点) 现象的出现，这 样我们的检测工作就会遇到很多困难至今对于成片异常点的检测仍然是个非常棘手的 问题 1 2 研究现状 目前，在时间序列分析领域，很多学者越来越重视多重异常点的检测工作，也提出 了很多种检测的方法c h a n g 和t i a o ( 1 9 8 3 ) ，c h a n g ，t i a o 和c h e n ( 1 9 s 8 ) ，t s a y ( 1 9 8 6 ，1 9 s s ) ， 提出了迭代的方法，用来检测a r m a 模型中田种常见的异常点但是由于检测工作中 ：塞查奎兰堡圭堂堡篁塞：叁三耋 ! l ：童 2 出现“掩盖”和“淹没”的现象，他们提出的这种迭代方法的效果并不是很好c h e n 和 l i u ( 1 9 9 3 ) 对他们提出的迭代方法进行了修改，这种修改的迭代方法是通过联合估计模型 参数和异常点作用大小来消弱“掩盖”和“淹没”的现象，但是没有能够取得较好的效 果因为这种修改的方法是建立在参数估计基础之上的，而在进行参数估计时是假设数 据中不存在异常点的 多重异常点的一种特殊情形是成片可加的异常点b r u c e 和m a r t i n 在1 9 8 9 年第一次 分析了时间序列中的成片异常点，他们提出了一种方法，这种方法是删除连续多个观察 数据来检测成片的异常点但是在观察数据中需要删除多少个数据以及相应的计算程序 还没有得到较好的解决m c c u u o c h 和t s a y ( 1 9 9 4 ) 和b a r n e t t 、k o h n 和s h e a t h e r ( 1 9 9 6 ，1 9 9 7 ) 也提出了一种方法，是用马尔可夫蒙特卡罗( m c m c ) 方法来检测成片异常点，以及计算 a r i m a 模型中各个参数的后验分布特别地，m c c u l l o c h 和t s a y ( 1 9 9 4 ) 研究发现：当异 常点单个出现时，对于a r 模型，运用g i b b s 抽样能较好地检测出单个异常点，以及能有 效的对模型参数进行估计但是当异常点成片出现时，用通常的g i b b s 抽样检测，一般很 难准确的检测出来其主要原因是由于在检测过程中经常会出现“掩盖”和“淹没”现象 为此，本文将提出一种新的b a y e s 过程以克服检测过程中出现的“掩盖”和“淹没”现象 这个新的b a y e s 过程就是自适应g i b b s 抽样( a d a p t i v eg i b b ss a m p l i n g ) ，具体分成三步：第 一步，选取初始值进行g i b b s 抽样，直到m a r k o v 链达到一个平稳状态；第二步，利用第 一次g i b b s 抽样的结果初步识别成片异常点的多少和可能的位置；第三步，利用第二步的 结果再次进行g i b b s 抽样，以加快m a r k o v 链的收敛速度，并取得了较好的模拟效果 1 3 本文工作 本文主要工作是在双线性时间序列模型中进行了参数估计和异常点检测，具体的安 排如下： 第二章，介绍了双线性时间序列模型的定义和分类 第三章，介绍了双线性时间序列模型中异常点的定义和分类 第四章，主要用矩估计方法、极大似然估计方法、m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ( m c m c ) 估计方法等参数估计方法对双线性时间序列模型中的参数进行了估计 第五章，在双线性时间序列模型中，给出了成片a o 型异常点检测的自适应g i b b s 抽 样( a d a p t i v eg i b b ss a m p l i n g ) 方法的理论研究结果 第六章，采用随机模拟的方法检查我们的方法的有效性 第七章，总结本文结论，并提出一些值得我们继续关注的问题 第二章双线性模型概述 2 1b l ( p ，q ，r ，8 ) 模型的定义 本章详细介绍双线性时间序列模型的分类和异常点的分类，主要是因为：一、在现 实生活中，许多的动态系统其本身就是一个双线性系统，比如：我们可以用一个严格的 双线性模型来表示生物种类总数的动态特性；用双线性模型来表示敏感器官的作用，可 以用一响应曲线的自动调节来解释这些器官的高度自适应性和敏感性，它在输入刺激的 平均值上保持最大的灵活度；又如在核反应堆中中子的动力学特性也是一个双线性模型； 模型参考自适应控制系统中的等效非线性系统也是一种双线性模型( m o h l e r1 9 7 3 ，席得 勋1 9 8 9 ) 二、非线性现象可以用双线性模型来有效地近似；在理论上可以证明，我们可 以找到一个双线性系统来任意逼近一个连续的因果泛函( f l i e s sa n dn a r m a n d1 9 8 4 ) 双 线性模型在机械振动分析( 曾鹏1 9 9 5 ) 、旱涝预报( 金菊良等2 0 0 0 a ，2 0 0 0 b ，2 0 0 1 ) 和经济时 间序列中( g a b ra n ds u b b ar a o1 9 8 1 ) 的有效运用也说明了这一点 g r a n d e r 和a n d e r s o n ( 1 9 7 8 ) 定义的阶数为( p ，q ，r ，s ) 的双线性时间序列模型( b i l i n e a r m o d e l ) 满足如下差分方程： pg r5 y t = 西i y t t + a t + 岛毗一j - 4 - t ? i j y t i a t j ( 2 1 ) t = l j = l i = lj = l 式中 玑) 为实随机序列， n t ) 为正态白噪声序列，即 a t ) i i d 一n ( o ，盯2 ) ，并且y t 与a 。独 立( t j 时，锄= 0 ，称( 2 。1 ) 式为上三角双线性时间序列模型( u p p e rt r i a n g u l a rb i l i n e a r m o d e l ) ，简记为u t b l 模型 在l t b l 模型中，或在线性变换下，每一个双线性项均为两个独立随机变量的乘积， 这样计算起来比较容易因此，对双线性时间序列模型的研究主要是针对该类模型及其 3 特殊情形上该模型的一般形式为( 简记为l t b l ( p ，口，n s ) ) ： p口 r0 y t = 也舭i 十n t + 岛n 叫+ o , j y t 斗j a h ( 2 2 ) i = 1 j = lt = l j = o l t b l 模型的一些重要的特殊情形有： ( 1 ) 对角双线性模型( d i a g o n a lb i l i n e a rm o d e l ，简记为d b l ( p ，q ，r ) 模型) ： pg r y t = ( b 4 l i t 一+ a t + 如口t j + 仇犰一4 a t 一 ( 2 3 ) 1 = 1 i = 1 i = 1 ( 2 ) 下次对角双线性模型( l o w e rs u b - d i a g o n a lb i l i n e a rm o d e l ，简记为l s d b l ( p ，口，r ) 模 型) ： p口r y t = 也玑一i + a t + 岛口t j + 叩t 玑一t f a t t ( 2 4 ) 1 = 1 j = l i = 1 ( 3 ) b l ( p ，q ，r ，1 ) 模型： pqr y t = i y t t + m + 易n 州+ r l i y t i a t l i = l j = l i = l 为了计算的方便，我们把它写成如下的形式，简记为b l ( p ，q ，n1 ) 模型： pq r y t = 也轨一t + n t + 易m j + 仇耖t 一一l a t l ( 2 5 ) 1 = 1 i = 1 i = o 这其实就是b l ( p ，q ，1 ，r ) 模型 对于u t b l 模型的特殊情形，因为每一个双线性项均为两个相关的随机变量的乘积， 这给我们的计算带来很对困难，对于研究该模型及其特殊情形，目前的研究成果还不多 所以，这里我们只讨论上次对角双线性模型( u p p e rs u b - d i a g o n a lb i l i n e a rm o d e l ，简记为 u s d b l 0 ，q ，r ) 模型) ： p口 r y t = 0 4 y t 一 + a t + 0 i a t j + 亿轨一i a h 一1 ( 2 6 ) t = l j = l i = 1 下面我们再定义一类重要的双线性时间序列模型可分离的下三角双线性时间序 列模型( s e p a r a b l el o w e rt r i a n g u l a rb i l i n e a rm o d e l ，简记为s l t b l 模型) s l t b l 模型是 一类相当广泛的模型，迄今为止，所研究的所有的特殊的l t b l 模型均为s l t b l 模型的 特例下面我们给出s l t b l 模型的定义： 定义1 ：对于l t b l ( p ，q ，r ，s ) 模型( 2 2 ) 式，如果双线性项组成的代数式，y ( u 1 ，忱) 能分 解成如下形式的两个代数式的乘积，即： 9 ( w l ，u ；2 ) = y l ( _ d l + u 2 ) 2 ( u 1 ) 这里：，y - ( u ) = ；：1 槿e - 4 k w , 讹) = ：o 将e 一鼬，则该模型称为可分离的下三角双线性 时间序列模型( s e p a r a b l el o w e rt r i a n g u l a rb i l i n e a rm o d e l ，简记为s l t b l ( p ，口，r s ) 模型) 第三章异常点及异常点模型 3 1 异常点的定义 对于许多时间序列来说，同一个变量会有一个或多个观察数据，这些数据与其它的 观察数据有明显的不同例如：1 9 6 8 年5 月法国发生的骚乱引起了一些重要的经济变量， 如工业产值的一个骤然下跌，这样的风险，我们从前期的变动模式中根本就不可能预期 得到；另外一个例子就是发生在1 9 8 7 年1 0 月1 9 日的股市上的一次大崩盘，即所谓的“黑 色星期一”，这是经济上的一个特大事件，显然它与其它经济上的一大堆数据在某种意义 上是不一致的这个与其它一大堆数据不一致的数据就是异常数据或异常点( o u t l i e r ) 关于异常点的定义目前还不很明确，不同的学者或不同的领域给出的定义内涵也有所不 同在统计学中，异常点泛指那些与它们的主体不是来自同一分布的少数点 时间序列数据中的异常点的出现的原因有多种多样，我们主要把它们归结为两类 一类是由于工作人员的失误、度量或执行错误所导致产生的。很多学者对这类异常点的 检测有巨大分歧，主要是因为它是由于工作人员的过失造成的，这些异常数据的本身并 不蕴含有效用的商业信息对于时间序列来说，这一类异常点并不是本质的，因为它并 不涉及到序列的内在结构另一类异常数据则是真正的异常点，它们是真实数据的观察 值，但是这些数据和其它数据又不一样，往往我们认为它们是数据变异的结果比如，政 府的一个高级领导人的工资自然远远高于其他普通行政人员的工资，成为一个异常点 我们真正关心的是这一类异常点，它包含对我们有用的信息这一类异常点的检测才是 我们的工作，并从中获得有用的信息，制定出相应的对策本文中所提到的异常点也都 指的是这一类异常点 时间序列中异常点的存在，往往会给传统的建模、参数估计以及检测方法带来很多 困难，使得我们很难建立很好的模型比如通常的最小二乘估计就非常容易受到异常点 的影响如果时间序列数据中存在异常点，当我们进行最j 、- - 乘估计时，它所产生的各 观测量的残差不完全反映异常点的位置，也就是说残差小的未必是“好观察值”，而残差 大的观察值又未必是异常点，这就是所说的“掩盖”( m a s k i n g ) 和。淹没”( s w a m p i n g ) 现象针对异常点存在的问题，可以采用m 估计等稳健算法来抑制异常点的影响，这些 估计只是治标的方法，以抑制异常点的影响为目的，而要达到治本的目的必须对异常点 进行检测、剔除和修正 异常的时间序列( a b e r r a n tt i m es e r i e s ) 或称异常点，只有在一个描述性模型的框架 中，我们才能最容易地对其进行定义例如，假定时间序列y t 由式( 3 1 ) 中的a r ( 1 ) 模型 5 垄童查兰堡主堂篁篁塞：篁三塞墨堂皇墨墨童皇堡型 6 所生成： y t = 4 ) 1 l i t 一1 + a t ， t = 1 ，2 ，n ( 3 1 ) 这里a t 是取自标准正态分布n ( o ，1 ) ，设y o = 1 0 0 且 1 现在，我们完全可以这样认 为，在t = 2 0 的观察值等于1 0 0 0 的概率几乎为0 然而，我们假定y 的数据是由一个统计 代理机构来记录，而当我们在下载这些数据时，不知什么原因发生了一个错误，y 2 0 错误 的变成了1 0 0 5 而不是1 0 5 在这种情况下，我们就观测到一个新的变量孵，它与式( 3 1 ) 中 的y t 基本相同，仅仅一个值发生了变化对于这个疗变量，我们很容易就可以发现，虻。 与娃的数据的一般的变动模式不一致事实上，对于大多数数据点，虻= 咖l 址1 这一等 式是近似成立的，而对于蠕，很显然这一关系并不满足因此，我们就称可主。为一个异常 点由于存在不同类型的异常点，因此在下一节，我们将介绍异常点的模型及其分类 3 2 异常点及异常点模型 本节分别给出了a r m a 及b l i p ，q ，r ，s ) 序列中异常点的数学定义及其分类 3 2 1a r m a 序列中异常点的模型及分类 最早在时间序列领域提出了异常点的定义和分类的是f o x ( 1 9 7 2 ) 在这之前的异常点 分析都主要是基于独立同分布的变量。本文我们对时间序列中的异常点采用如下的模型 和分类 设y t 满足p 阶平稳自回归q 阶可逆滑动平均模型，简记为a r m a ( p ，q ) 模型，即 玑，t = 0 ，- 4 - 1 ， 为零均值平稳序列，适合线性随机差分方程 西( b ) 轨= o ( b ) a t( 3 2 ) 其中 咖( b ) = l 一咖( 1 ) b 一西( 2 ) b 2 一一咖( p ) b p 0 ( b ) = 1 0 ( a ) b 一0 ( 2 ) b 2 一一o ( q ) b q b 为后移算子，即b y t = y t k ，b a t = a t - k ，k = 0 ，1 ，2 ，； a t ) 为正态白噪声序列，即a t 独立同分布，服从n ( o ，矿2 ) ；且西( b ) ，o ( s ) 满足如下条件： ( 1 ) 西( b ) 与0 ( b ) 无公因子； ( 2 ) 多( b ) 的根全在单位圆外，通常称为平稳性条件； ( 3 ) 8 ( b ) 的根全在单位圆外，通常称为可逆性条件 壅查奎堂堑圭兰堡垒塞： ：= ：= =：篓三塞量童皇垦量童皇堡型：= 7 在具体场合，常常需要将( 3 2 ) 式表达成如下两种形式： 轨= 妒( b ) 口t ( 3 3 ) 妒( b ) = 咖( b ) 一1 0 ( b ) = 1 + 妒1 b + 妒2 8 2 + ， 且i 也i 被一负指数函数所控制，即存在正常数g l ，9 2 ，使得 l 仇i g l e 一卯，t 0 这保证了器。i 仇1 2 0 0 ，从而无穷滑动( 3 2 ) 式在均方意义下是收敛的 ( i i ) 逆转形式： 丌( b ) = 一( b ) 一1 砂( b ) = 1 7 r 1 b 一丌2 8 2 ， 栌玑舶器侥 ( 3 5 ) 其中玑是满足( 3 2 ) 式的一般a r m a ( p ，口) 过程，侥是在t 时刻这一异常点的影响，p ( 况= 1 ) = g 表示在t 时刻以s 的概率大小发生一个异常点，勰ab 是滞后算子的一个多项式，把 ( 3 2 ) 式和( 3 5 ) 式合计为如下形式： f 咖( b ) 玑= o ( b ) a t t 删m 船风忙1 2 ，了 屉 模型( 3 6 ) 式是时间序列异常点模型的一般式这里免是观察序列，玑是一个不含异常点 由( 3 6 ) 式，根据异常点影响的不同将异常点分为以下几种情况： ( 1 ) 附加异常点模型( a d d i t i v eo u t l i e r ，a o 模型) 翼h ( b = 1) 壅查奎堂堑圭兰篁篁窒：塞三耋墨童塞墨量童塞堡型 8 ( 2 ) 革新异常点模型( i n n o v a t i o no u t l i e r ，i o 模型) a ( b )o ( b ) h ( b )咖( b ) ( 3 ) 水平漂移异常点模型( l e v e ls h i f t ，l s 模型) a ( b ) l h ( b 1 1 一b ( 4 ) 暂时性异常点模型( t e m p o r a r yc h a n g e ，t c 模型) a ( b ) 1 一= _ _ - _ _ _ _ _ - 一 h ( b 1 l 一6 b 显然，a o 模型对应于过失误差异常点，这种模型描述只影响某一点观察值，假定仅 第j 个数据点勺为a o 由a o 的特征知，它是一种孤立的异常点，即仅乃的数据表示为 异常，并不波及到后继的观测值而i o 模型则反映在某点处对白噪声序列产生干扰的 异常点，这种干扰具有后效性假定第j 个数据点乃为最先出现的，d 异常点，通过模 型的动态结构勰使得它的后继点勺+ ，乃+ 2 ，也表现出一定的异常也就是说这种异 常点具有记忆性，如石油危机对汽车销售的持续影响，政策变化对经济序列的持续影响 等l s 模型是一种水平漂移的异常点，与，d 模型一样，这种异常点的影响是持久的t c 模型是a o 模型和l s 模型的一个推广，它像a o 模型在发生的时刻有一个强影响，随后 这种影响会波及到以后的观察数据但是，t c 模型的影响不是持久的，而是成指数衰减 的假定第j 个数据点乃为t c 型异常点，它的影响将随着模型的动态结构勰逐渐消 失，这里6 是衰减率 这p q 种异常点是我们常见的异常点( c h a n ge ta 1 ，1 9 9 8 ；t a s y ，1 9 9 8 ) ，此外还有其他类型 的异常点，但一般都是这四种异常点的组合，例如v c ( v a r i a n c ec h a n g e ) 和r o ( r e a l l o c a t i o n o u t l i e r ) 从上面我们可以看到，在性质上a o ，l s 是t c 的特例，前两者兼有后者的性质，一 般认为时间序列中最基本的异常点是a o 和1 0 这两类异常点这两类异常点都有极其重 要的意义，但由于i o 型异常点是与时间序列的结构相关的，这在一定程度上给我们的工 作带来了困难，因此本文将注重于a o 型异常点的检测 3 2 2 双线性时间序列中异常点的模型 我们来看最一般的双线性模型，即b l ( p ，q ，ns ) 模型，它的一般式如( 2 1 ) 式所定义： pq r5 y t = 衄h + m + 乃n t j + 叩i j y t i a t j i = 1 i = 1i = 1 i = 1 式中 耽) 为实随机序列， 毗) 为正态白噪声序列，即 n c ) i i d 一n ( o ，( 7 2 ) ，并且玑与a t 独 立( t 3 ) 童童奎堂堡圭兰堡垒塞：= = ：= ：= ：篁三塞塞童皇星墨童查堡型 ：9 显然，b l ( p ，g ，n5 ) 模型是线性a r m a ( p ，q ) 模型的直接推广如果( 2 1 ) 式中，对 v1 l r ；1 jss ，有= 0 ，则就是一个a r m a ( p ，口) 模型 这里我们只考虑a o 型异常点，则籍= 1 ，由异常点的模型( 3 5 ) 式可得a o 型异常 点的模型为： 施= 饥+ 民侥( 3 7 ) l 玑2 善p 西t t 一 + 口t + ；耋如n 一，+ i ! = ：l j 壹= l 叩巧剪一t a t 一， ( 3 8 ) i 栌川反 一“7 e = ( 毋l ，也，p 1 ，6 1 2 ，如，7 1 1 ，7 1 2 ，7 1 。，叩r l ，叩r 2 ，m s ) 石= ( 露。+ 1 ，品。+ 2 ，矗) p = ( 伟。+ 1 ，伟，+ 2 ，风) 石= ( z l ，z 2 ，z n ) k = ( 纨一1 ，y t p ，a t l ，a t g ，可t l a t 一1 ，饥一l 缸一5 ，y t r a t 一1 ，y t r a t 一。) 则模型( 3 8 ) 可以转化为： f 轨= e k + a t ( 3 9 ) 【忽= y t + 盈展 其中祝为观测到的序列，讥为真实序列( 可能观测不到) ，况是异常点指示函数，风是在 t 时刻这一异常点的影响， 口t ) 为正态白噪声序列，即 口t ) i i d 一n ( 0 ，口2 ) ，并且y t 与口t 独立( t q ( 鼋+ 的取值见 表4 1 ) 时，均有t p 吼。( 詹) 一也r 。( 后- i ) = 0 ( 4 1 ) t = l 表4 1 ：各种模型q + 的取值表 l t b l ( p ，q ，r ，s ) g + = n m 。a a x x ( ( 口q , ，r r ) - - 1 ) ，, p # - - 0 。 s l t b l ( p ，口，r ，s ) 扣 毗m a x ( q , ，r - 黥： d b l ( p ，q ，r )g + = m a x ( q ，r ) l s d b l 0 ，q ，r )q + = m a x ( q ，r 1 ) b l ( p ，q ，r ，1 ) g = m a x ( q ，1 ) u s d b l ( p ，q ，r ) q = m a x ( q ，r + 2 ) 取七= q + + 1 ，q + + 2 ，矿+ p ，得： 也r v v ( q + 1 一1 ) = 吼”( 矿+ 1 ) = 1 p 也r v ( 矿+ 2 一i ) = 吼口( g + 2 ) t = 1 p 4 , i r p 口( q + + p 1 ) = 吗v ( g + p ) 用岛。( 七) 代替r 口v ( ) ，得到毋= ( 西1 ，锄，如) 的矩估计： 占= a 一1 袁 ( 4 2 ) r l ，v ( 矿)也口( 矿一1 ) r ”( 矿+ 1 一p ) 、 a ：i 嘞“i “)! 吼“矿2 - p l a ( 口+ p 一1 ) a ，o + p 一2 ) 岛v ( 矿) p 扈。：( 七) = 表也壳v l ( 南一i + 歹) ( 4 4 ) 其中南= 1 z t 与轨的样本双互协方差为： p b z y ( 1 ) = 一也岛。( 1 i r + l 一 ) ( 4 5 ) i = o 其中一；o = 1 下面利用怠：( 七) ，度，( f ) 对一些特殊双线性模型中双线性项的系数给出矩估计方法 4 1 3 一些特殊的双线性时间序列模型的矩估计 4 1 3 1d b l ( p ，0 ，7 ) 模型的矩估计 由第二章的( 2 3 ) 式知，d b l ( p ，0 ，r ) 模型为： 对于d b l 0 ，0 ，r ) 模型，有等式： r 一知 r ：；( 七) = 盯2 【占2 + t t r k + ( 如p ( o ) + 盯2 + p 2 ) e 讯，