立体几何解答题中的二面角问题[文档资料]

立体几何解答题中的二面角问题 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 在高考数学理科试题中每年有 80%的试卷考查二面角的求解问题，虽然难度不算大，但是真正得满分的也只有 40%左右比例的考生，主要原因是考生找不到二面角的平面角或计算错误 .下面介绍一些求解二面角的常用策略 . 策略 1：定义法 例 1 （ 2013 年高考山东理科卷第 18题）如图 1 所示，在三棱锥 P-ABQ 中， PB 平面 ABQ， BA=BP=BQ， D， C，E， F 分别是 AQ， BQ， AP， BP 的中点， AQ=2BD， PD与 EQ交于点 G， PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH. （ ）求证： ABGH ； （ ）求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 难度系数 0.60 分析 第（ ）问要证明线线平行，可先证明线面平行；由（ ）可知 ABGH ，而 AB 平面 PBQ，从而 GH 平面PBQ，于是根据二面角的定义，我们很容易找到二面角的平面角 . （ ）证明：由于 D， C， E， F 分别是 AQ， BQ， AP， BP的中点，所以 EFAB ， DCAB. 所以 EFDC. 由 于 EF？埭平面 PCD， DC？奂平面 PCD，所以 EF 平面 PCD. 由于 EF？奂平面 EFQ，平面 EFQ 平面 PCD=GH，所以EFGH. 又 EFAB ，所以 ABGH. （ ）解：在 ABQ 中， AQ=2BD， AD=DQ，所以ABQ=90 ，即 ABBQ. 由于 PB 平面 ABQ，所以 ABPB. 由于 BPBQ=B ，所以 AB 平面 PBQ. 由（ ）可知 ABGH ，所以 GH 平面 PBQ.又 FH？奂平面 PBQ，所以 GHFH. 同理可得 GHHC. 所以 FHC 为二面角 D-GH-E 的平面角 . 设 BA=BQ=BP=2，连接 FC. 在 RtFBC 中，由勾股定理可得 FC= ；在 RtPBC中，由勾股定理可得 PC= . 又 H 为 PBQ 的重心，所以 HC= PC= ，同理有 FH= . 在 FHC 中，根据余弦定理可得 cosFHC= = - ，即二面角 D-GH-E 的余弦值为 - . 小结 本题主要考查线面平行、线线平行的相互关系以及二面角的求法 .用定义法求二面角时，首先观察公共棱是否垂直两个平面内与二面角的公共棱交于同一点的两条直线组成 的平面，或者说两个平面内是否有两条直线垂直于公共棱 .如果有，一般用定义法求解，找出该角组成的三角形，然后解三角形 .本题的主要扣分点是许多考生没有先证明 ABBQ ，特别是在用向量法求解二面角时，若题中没有明显的三线两两互相垂直的关系，一般要先证明垂直关系 .本题要用到平面几何的两个主要性质： 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角； 重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍 . 策略 2：向量法 例 2 （ 2013 年高考陕西理科卷第 18题）如图 2，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心，A1O 平面 ABCD， AB =AA1= . （ ）证明： A1C 平面 BB1D1D； （ ）求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小 . 难度系数 0.60 分析 第（ ）问将线面垂直转化为线线垂直来证明 .由于正方形的对角线相互垂直，又 A1O 平面 ABCD，有明显的建立坐标系的条件，用定义法求解不好找，所以选择用向量法求解 . （ ）证明：由于 A1O 平面 ABCD，且 BD？奂平面ABCD，所以 A1OBD. 在正方形 ABCD 中， ACBD ，且A1OAC=O ，所以 BD 平面 A1AC.又 A1C？奂平面 A1AC，所以A1CBD. 在正方形 ABCD 中， AO=1；在 RtA1O A 中， A1O=1. 设 B1D1 的中点为 E1，则四边形 A1OCE1 为正方形，所以 A1CE1O. 又 BD？奂平面 BB1D1D， E1O？奂平面 BB1D1D，且BDE1O=O ，所以由上可得 A1C 平面 BB1D1D. （ ）解：如图 3，以 O 为原点，以 OA为 x 轴的正方向，以 OB为 y 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有 B（ 0， 1， 0） ， C（ -1， 0， 0）， A1（ 0， 0， 1）， A（ 1， 0，0）， =（ -1， 1， 0）， =（ -1， 0， -1）， = ， = + = + =（ -1， 1， 1） . 由（ ）可知，平面 BB1D1D 的一个法向量 n1 = =（ -1， 0， -1）， =（ -1， 1， 1）， =（ -1， 0， 0） . 设平面 OCB1 的法向量 n2 =（ x， y， z），则n2 =0 ， n2 =0 ，于是有 -x+y+z=0， -x=0，解得 x=0， y=-z.取 y=1，得 z=-1，故 n2=（ 0， 1， -1） . 所以 cos= = = . 由图 3 可知，平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角为锐角，所以所求的夹角为 . 小结 用向量法求解二面角时，其基本步骤是： 建立坐标系，写出相关点的坐标，一个平面只需写出不共线的三个点的坐标 . 找出两个平面的法向量，若不能直接找到，则可以建立方程组求解 .在高考试卷中，两个平面的法向量一般是一找一求 . 求出两个法向量的夹角的余弦值 . 根据图形判断二面角的大小与法向量夹角大小的关系，从而确定二面角的大小 .考试中许多考生直接将法向量的夹角当成二面角的夹角的大小而丢分，法向量的夹角与二面角的大小 是相等或互补关系，一般要通过图形来确定 .本题最大的难点是 B1点的坐标写不出 .当点的坐标不能直接求解时，我们可以通过向量相等或向量的加减法来得到，这是一种常用的方法 . 策略 3：三垂线法 例 3 （ 2013 年高考辽宁理科卷第 18题）如图 4， AB是圆的直径， PA垂直圆所在的平面， C 是圆上的点 . （ ）求证：平面 PAC 平面 PBC； （ ）若 AB=2， AC=1， PA=1，求二面角 C-PB-A 的余弦值 . 难度系数 0.65 分析 第（ ）问要证明面面垂直，可将 其转化为证明线面垂直来实现 .解答第（ ）问时，由图 5，过点 C 容易作出平面 PAB 的垂线，所以用三垂线法求二面角比较简便 . （ ）证明：由 AB是圆的直径，得 ACBC. 由 PA 平面 ABC， BC？奂平面 ABC，得 BCPA. 又 PAAC=A ， PA？奂平面 PAC， AC？奂平面 PAC，所以 BC 平面 PAC.由于 BC？奂平面 PBC，所以平面 PBC 平面 PAC. （ ）解：如图 5，过点 C 作 CMAB 于点 M.由于 PA平面 ABC， CM？奂平面 ABC，所以 PACM ，则 CM 平面 PAB.过点 M 作 MNPB 于点 N，连接 NC.由三垂线定理得 CNPB ，所以 CNM 为二面角 C-PB-A 的平面角 . 在 RtABC 中， AB=2， AC=1，得 BC= ， CM= ， BM= . 在 RtPAB 中，由 AB=2， PA=1，得 PB= .由于BNMBAP ，所以 = ，即 MN= . 在 RtCNM 中， CN= ，则 cosCNM= ，所以二面角 C-PB-A 的余弦值为 . 小结 三垂线法是求二面角最常用的方法之一，其步骤是： 过一个平面内的一点作另一个平面的垂线，然后过垂足作出公共棱的垂线， 从而得到一个直角三角形 . 求出所得