初中数学一元一次方程应用题大总结.pdf

一元一次方程应用题大总结一元一次方程应用题大总结 一元一次方程的应用题 是中学阶段学习方程问题的第一个重点和难点 所以同学需要多加 注意 这是我查找资料 问了一些老师后 花一点时间帮孩子总结的 希望对孩子有帮助 一 方程的有关概念一 方程的有关概念 1 方程 1 方程 含有未知数的等式就叫做方程 2 一元一次方程 2 一元一次方程 只含有一个未知数 元 x 未知数 x 的指数都是 1 次 这样 的方程叫做一元一次方程 例如 1700 50 x 1800 2 x 1 5x 5 等都是一元一次方程 3 方程的解3 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 叫做方程的解 注 方程的解和解方程是不同的概念 方程的解实质上是求得的结果 它是 一个数值 或几个数值 而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过 程 方程的解的检验方法 首先把未知数的值分别代入方程的左 右两边计算它 们的值 其次比较两边的值是否相等从而得出结论 二 等式的性质二 等式的性质 等式的性质 1 等式两边都加上 或减去 同个数 或式子 结果仍相等 用式子形式表示为 如果 a b 那么 a c b c 等式的性质 2 等式两边乘同一个数 或除以同一个不为 0 的数 结果仍相等 用式子形式表示为 如果 a b 那么 ac bc 如果 a b c 0 那么 a c b c 三 移项法则三 移项法则 把等式一边的某项变号后移到另一边 叫做移项 四 去括号法则四 去括号法则 1 括号外的因数是正数 去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同 2 括号外的因数是负数 去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变 五 解方程的一般步骤五 解方程的一般步骤 1 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 2 去括号 按去括号法则和分配律 3 移项 把含有未知数的项移到方程一边 其他项都移到方程的另一边 移项要 变号 4 合并 把方程化成 ax b a 0 形式 5 系数化为 1 在方程两边都除以未知数的系数 a 得到方程的解 x 六 列一元一次方程解应用题的一般步骤六 列一元一次方程解应用题的一般步骤 1 列方程解应用题的基本步骤 注意 1 初中列方程解应用题时 怎么列简单就怎么列 即所列的每一个方程都直接 的表示题意 不用担心未知数过多 简化审题和列方程的步骤 把难度转移到 解方程的步骤上 2 解方程的步骤不用写出 直接写结果即可 3 设未知数时 要标明单位 在列方程时 如果题中数据的单位不统一 必须 把单位换算成统一单位 尤其是行程问题里需要注意这个问题 2 设未知数的方法 设未知数的方法一般来讲 有以下几种 1 直接设元 题目里要求的未知量是什么 就把它设为未知数 多适用于 要求的未知数只有一个的情况 2 间接设元 有些应用题 若直接设未知数很难列出方程 或者所列的方 程比较复杂 可以选择间接设未知数 而解得的间接未知数对确定所求的量起中 介作用 3 辅助设元 有些应用题不仅要直接设未知数 而且要增加辅助未知数 但这些辅助未知数本身并不需要求出 它们的作用只是为了帮助列方程 同时为 了求出真正的未知量 可以在解题时消去 4 部分设元 与 整体设元 转换 当整体设元有困难时 可以考虑设其一 部分为未知数 反之亦然 如 数字问题 题型一 数字问题题型一 数字问题 1 多位数字的表示方法 一个两位数的十位数字 个位数字分别为 a b 其中 a b 均为整数 1 a 9 0 b 9 则这个两位数可以表示为 10a b 一个三位数的百位数字为 a 十位数字为 b 个位数字为 c 其中均为整数 且 1 a 9 0 b 9 0 c 9 则这个三位数表示为 100a b c 2 奇数与偶数的表示方法 偶数可表示为 2k 奇数可表示为 2k 1 其中 k 表 示整数 3 三个相邻的整数的表示方法 可设中间一个整数为 a 则这三个相邻的整数可 表示为 a 1 a a 1 例 1例 1一次数学测验中 小明认为自己可以得满分 不料卷子发下来一看得了 96 分 原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了 结果自己的答 案比正确答案大了 36 而正确答案的个位数字是十位数字的 2 倍 正确答案是 多少 例 2例 2某年份的号码是一个四位数 它的千位数字是 2 如果把 2 移到个位上去 那么所得的新四位数比原四位数的 2 倍少 6 求这个年份 题型二 日历问题题型二 日历问题 1 在日历问题中 横行相邻两数相差 1 竖列相邻两数相差 7 2 日历中一个竖列上相邻 3 个数的和的最小值时 24 最大值时 72 且这个和 一定是 3 的倍数 3 一年中 每月的天数是有规律的 一 三 五 七 八 十 十二这七个月 每月都是 31 天 四 六 九 十一这四个月每月都是 30 天 二月平年 28 天 闰年 29 天 所以 日历表中日期的取值是有范围的 例 3 例 3 下表是 2011 年 12 月的日历表 请解答问题 在表中用形如下图的平行 四边形框框出 4 个数 1 若框出的 4 个数的和为 74 请你通过列方程的办法 求出它分别是哪 4 天 2 框出的 4 个数的和可能是 26 吗 为什么 例 4 例 4 如图 框内的四个数字的和为 28 请通过平移长方形框的方法 使框内 的数字之和为 68 这样的长方形的位置有几个 能否使框内的四个数字之和为 49 若能 请找出这样的位置 若不能 请说明理由 题型三 和差倍分问题题型三 和差倍分问题 和 差 倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几 1 当较大量是较小量的几倍多几时 2 当较大量是较小量的几倍少几时 例 5例 5一部拖拉机耕一片地 第一天耕了这片地的 第二天耕了剩下部分的 还 剩下 42 公顷没耕完 则这片地共有多少公顷 例 6例 6牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方 一个过路人牵着一只肥 羊从后面跟了上来 他对牧羊人说 你赶的这群羊大概有 100 只吧 牧羊人答 道 如果这群羊增加一倍 再加上原来这群羊的一半 又加上原来这群羊一半 的一半 连你这只羊也算进去 才刚好凑满 100 只 问牧羊人的这群羊共有多 少只 题型四 行程问题题型四 行程问题 1 相遇追及 要掌握行程中的基本关系 路程 速度 时间 相遇问题 相向而行 这类问题的相等关系是 各人走路之和等于总路程或 同时走时两人所走的时间相等为等量关系 甲走的路程 乙走的路程 全路程 追及问题 同向而行 这类问题的等量关系是 两人的路程差等于追及的路 程或以追及时间为等量关系 同时不同地 甲的时间 乙的时间 甲走的路程 乙走的路程 原来甲 乙相距的路程 同地不同时 甲的时间 乙的时间 时间差 甲的路程 乙的路程 2 环形跑道 环形跑道上的相遇和追及问题 同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等 于一圈的路程 同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程 3 流水行船问题 顺流速度 静水速度 水流速度 逆流速度 静水速度 水流速度 水流速度 顺流速度 逆流速度 4 火车过桥问题 车上 离 桥问题 车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程 所走路程为一个车长 车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程 所走的路程为一个成长 车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程 所走路成为一个车长 桥长 车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程 所行路成为桥长 车长 行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意 并注意两者运动时出 发的时间和地点 例 7例 7有甲 乙 丙三人同时同地出发 绕一个花圃行走 乙 丙二人同方向行 走 甲与乙 丙背向而行 甲每分钟走 40 米 乙每分钟走 38 米 丙每分钟走 36 米 出发后 甲和乙相遇后 3 分钟和丙相遇 求花圃的周长 例 8例 8某人从家里骑摩托车到火车站 如果每小时行 30 千米 那么比火车开车 时间早到 15 分钟 若每小时行 18 千米 则比火车开车时间迟到 15 分钟 现 在此人打算在火车开车前 10 分钟到达火车站 则此人此时骑摩托车的速度应为 多少 例 9例 9一小船由 A 港到 B 港顺流需行 6 小时 由 B 港到 A 港逆流需行 8 小时 一天 小船从早晨 6 点由 A 港出发顺流行至 B 港时 发现一救生圈在途中掉落 在水中 立即返回 1 小时后找到救生圈 问 1 若小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港需多少小时 2 救生圈是何时掉入水中的 题型五 工程问题题型五 工程问题 其基本数量关系 工作总量 工作效率 工作时间 合做的效率 各单独做的效率的和 当工作总量未给出具体数量时 常设总工作量为 1 分析时可采用列表或画图来帮助理解题意 例 10 例 10 有甲 乙 丙三个水管 独开甲管 5 小时可以注满一池水 甲 乙两管 齐开 2 小时可注满一池水 甲 丙两管齐开 3 小时注满一池水 现把三管一 齐开 过了一段时间后甲管因故障停开 停开后 2 小时水池注满 问三管齐开 了多少小时 例 11 例 11 检修一住宅区的自来水管道 甲单独完成需 14 天 乙单独完成需 18 天 丙单独完成需 12 天 前 7 天由甲 乙两人合作 但乙中途离开了一段时间 后 2 天由乙 丙两人合作完成 问乙中途离开了几天 题型六 商品销售问题题型六 商品销售问题 在现实生活中 购买商品和销售商品时 经常会遇到进价 标价 售价 打折等 概念 在了解这些基本概念的基础上 还必须掌握以下几个等量关系 利润 售价 进价 利润 进价 利润率 实际售价 标价 打折率 1 利润率问题 其数量关系是 商品的利润 商品售价 商品的进价 商品利润率 商品利润 商品进价 100 注意打几折销售就是按原价的百 分之几出售 商品售价 商品标价 折扣率 2 银行储蓄问题 其数量关系是 利息 本金 利率 存期 本息 本金 利息 利息税 利息 利息税率 注意利率有日利率 月利率和年利率 年利率 月利率 12 日利率 365 例 12例 12某商场经销一种商品 由于进货时价格比原进价降低了 使得利润增加 了 8 个百分点 求经销这种商品原来的利润率 例 13例 13某商品月末的进货价为比月初的进货价降了 8 而销售价不变 这样 利润率月末比月初高 10 问月初的利润率是多少 题型七 方案决策问题题型七 方案决策问题 在实际生活中 做一件事情往往会有多种选择 这就需要从几种方案中 选择最 佳方案 如网络的使用 到不同旅行社购票等 一般都要运用方程解答 把每一 种方案的结果先算出来 进行比较后得出最佳方案 例 14例 14某开发商进行商铺促销 广告上写着如下条款 投资者购买商铺后 必须由开发商代为租赁 5 年 5 年期满后由开发商以比原商 铺标价高20 的价格进行回购 投资者可在以下两种购铺方案中做出选择 方案一 投资者按商铺标价一次性付清铺款 每年可以获得的租金为商铺标价的10 方案二 投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款 2 年后每年可以获得的租金为 商铺标价的10 但要缴纳租金的10 作为管理费用 1 请问 投资者选择哪种购铺方案 5 年后所获得的投资收益率更高 为什么 注 2 对同一标价的商铺 甲选择了购铺方案一 乙选择了购铺方案二 那么5年后 两人获得的收益将相差5 万元 问 甲 乙两人各投资了多少万元 例15 例15 有一个只允许单向通过的窄道口 通常情况下 每分钟可以通过9 人 一天 王老师到达道口时 发现由于拥挤 每分钟只能有3 人通过道口 此时 自己前面还 有36 个人等待通过 通过道口后 还需7 分钟到达学校 1 若绕道而行 要15 分钟到达学校 从节省时间考虑 王老师应选择绕道去学校还 是选择通过拥挤的道口去学校 2 若在王老师等人的维持下 几分钟后秩序恢复正常 每分钟仍有3 人通过道口 结果王老师比拥挤的情况下提前了6 分钟通过道口 问维持秩序的时间是多少 题型八 配套问题题型八 配套问题 配套 型应用题中有三组数据 1 车间工人的人数 2 每人每天平均能生产的不同的零件数 3 不同零件的配套比 利用 1 3 得到等量关系 构造方程 一般地说 2 3 两个数据可以预先给定 例如 在给出 2 3 两组数据的 基础上 如何确定车间工人人数 使问题有整数解 例 16例 16某车间有 28 名工人 生产一种螺栓和螺母 每人每天平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个 一个螺栓要配两个螺母 第一天安排 14 名工人生产螺栓 14 名工人生产螺母 问第二天应分配多少人生产螺栓 多少人生产螺母 才能 使两天总的生产效率最高 例 17例 17某车间有 62 个工人 生产甲 乙两种零件 每人每天平均能生产甲种 零件 12 个或乙种零件 23 个 已知每 3 个甲种零件和 2 个乙种零件配成一套 问应分配多少人生产甲种零件 多少人生产乙种零件 才能使每天生产的这两种 零件刚好配套 题型