广东省中山市高考数学二模试卷 文（含解析）.doc

广东省中山市2 015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题1在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2函数f（x）=的定义域为( )a（，0b（，0）c（0，）d（，）3已知向量=（1，n），=（1，n），若与垂直，则|等于( )a1b2cd44一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )a12，24，15，9b9，12，12，7c8，15，12，5d8，16，10，65函数是( )a周期为的奇函数b周期为的偶函数c周期为2的奇函数d周期为2的偶函数6一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )a57.2，3.6b57.2，56.4c62.8，63.6d62.8，3.67从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是( )abcd8已知条件p：|x+1|2，条件q：5x6x2，则p是q的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件9下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2（，0），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）”的函数是( )af（x）=x+1bf（x）=x21cf（x）=2xdf（x）=ln（x）10若两个分类变量x和y的列联表为：y1y2合计x1104555x2203050合计3075105则x与y之间有关系的可能性为( )a0.1%b99.9%c97.5%d0.25%二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分（一）必做题（1113题）11设函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则a=_12在边长为a的正方形abcd内任取一点p，则p到点a的距离大于a的概率是_13阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量s和t的值依次是_和_（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分（几何证明选讲选做题）14如图，点a，b，c是圆o上的点，且ab=4，acb=45，则圆o的面积等于_（坐标系与参数方程选做题）15已知直线的极坐标方程为cossin+2=0，则它与曲线（为参数）的交点的直角坐标是_三、解答题：本大题共6小题，共80分16设函数f（x）=msinx+cosx（xr）的图象经过点（）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值（）若，其中a是面积为的锐角abc的内角，且ab=2，求ac和bc的长17围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）（）将y表示为x的函数：（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用18某校2015届高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130140分数段的人数为2人（1）估计这所学校成绩在90140分之间学生的参赛人数；（2）估计参赛学生成绩的中位数；（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率19如图，四边形abcd为矩形，ad平面abe，ae=eb=bc=2，f为ce上的点，且bf平面ace，bdac=g（1）求证：ae平面bce；（2）求证：ae平面bfd；（3）求三棱锥eadc的体积20已知各项都不相等的等差数列an的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项（1）求数列an的通项公式及an及前n项和sn；（2）若数列bn满足bn+1bn=an（nn*），且b1=3，求数列的前n项和tn21已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f（1）=0（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间；（3）令a=1，设函数f（x）在x1、x2（x1x2）处取得极值，记点m（x1，f（x1），n（x2，f（x2）证明：线段mn与曲线f（x）存在异于m，n的公共点广东省中山市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题1在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的混合运算 分析：化简复数为a+bi （a、br）的形式，可以确定z对应的点位于的象限解答：解：复数=故选c点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题2函数f（x）=的定义域为( )a（，0b（，0）c（0，）d（，）考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据函数f（x）的解析式，列出不等式，求出解集即可解答：解：函数f（x）=，lg（12x）0，即12x1，解得x0；f（x）的定义域为（，0故选：a点评：本题考查了根据函数的解析式，求函数定义域的问题，是基础题目3已知向量=（1，n），=（1，n），若与垂直，则|等于( )a1b2cd4考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为0得到1+n2=0，所以n=1，得到=（1，1），利用向量模的坐标公式进而求出|的值解答：解：因为向量=（1，n），=（1，n），并且与垂直，所以=0所以1+n2=0，解得n=1，所以=（1，1）所以|=故选c点评：本题考查向量垂直的充要条件以及向量的求模的计算公式，此题属于基础题4一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )a12，24，15，9b9，12，12，7c8，15，12，5d8，16，10，6考点：分层抽样方法 分析：先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数解答：解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，=10，=6，故选d点评：本题主要考查分层抽样方法5函数是( )a周期为的奇函数b周期为的偶函数c周期为2的奇函数d周期为2的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性 专题：计算题分析：利用诱导公式化简函数，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项解答：解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：故选b点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题6一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )a57.2，3.6b57.2，56.4c62.8，63.6d62.8，3.6考点：极差、方差与标准差 专题：计算题分析：首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果解答：解：设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+xn），方差为s2=，每一组数据都加60后，=（x1+x2+xn+60n）=+60=2.8+60=62.8，方差s2=+（xn+6062.8）2=s2=3.6故选d点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变7从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是( )abcd考点：互斥事件与对立事件 专题：计算题；概率与统计分析：分析四组事件，中表示的是同一个事件，前者包含后者，中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件解答：解：在恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，只有第三所包含的事件是对立事件故选：c点评：分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件8已知条件p：|x+1|2，条件q：5x6x2，则p是q的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：充要条件；四种命题 专题：计算题分析：根据所给的两个命题，解不等式解出两个命题的x的值，从x的值的范围大小上判断出两个命题之间的关系，从而看出两个非命题之间的关系解答：解：p：|x+1|2，x1或x3q：5x6x2，2x3，qp，pqp是q的充分不必要条件，故选a点评：本题考查两个条件之间的关系，是一个基础题，这种题目经常出现在2015届高考卷中，注意利用变量的范围判断条件之间的关系9下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2（，0），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）”的函数是( )af（x）=x+1bf（x）=x21cf（x）=2xdf（x）=ln（x）考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据增函数的定义便知要找的函数f（x）在（，0）上为增函数，所以根据一次函数，二次函数，指数函数，以及对数函数的单调性即可找到正确选项解答：解：根据已知条件知f（x）需在（，0）上为增函数；一次函数f（x）=x+1在（，0）上为减函数；二次函数f（x）=x21在（，0）上为减函数；指数函数f（x）=2x在（，0）上为增函数；根据减函数的定义及对数函数的单调性，f（x）=ln（x）在（，0）上为减函数；c正确故选c点评：考查增函数、减函数的定义，以及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性10若两个分类变量x和y的列联表为：y1y2合计x1104555x2203050合计3075105则x与y之间有关系的可能性为( )a0.1%b99.9%c97.5%d0.25%考点：独立性检验的应用 专题：计算题；概率与统计分析：由列联表中的数据代入公式查表求解即可解答：解：代入公式k2=6.11查表可得，p（k25.024）=0.025；故10.025=97.5%；故选：c点评：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分（一）必做题（1113题）11设函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则a=0考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题分析：由函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则可得f（0）=0，从而可求解答：解：因函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则f（0）=0，f（0）=a=0故答案为：0点评：本题主要考查了奇函数的性质f（0）=0（定义域内有0）的应用，利用该性质可以简化基本运算属于基础试题12在边长为a的正方形abcd内任取一点p，则p到点a的距离大于a的概率是1考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形abcd的面积，及动点p到定点a的距离|pa|a对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案解答：解：满足条件的正方形abcd，如下图示：其中满足动点p到定点a的距离|pa|a的平面区域如图中阴影以外所示：则正方形的面积s正方形=a2阴影部分的面积s阴影=故动点p到定点a的距离|pa|a的概率p=1故答案为：1点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关13阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量s和t的值依次是2550和2500考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s，t的值，当满足条件n2，退出循环，输出s，t的值由等差数列的求和公式即可得解解答：解：模拟执行程序框图，可得n=100，s=0，t=0不满足条件n2，s=100，n=99，t=99，n=98不满足条件n2，s=100+98，n=97，t=99+97，n=96不满足条件n2，s=100+98+96，n=95，t=99+97+95，n=94不满足条件n2，s=100+98+4，n=3，t=99+97+3，n=2不满足条件n2，s=100+98+4+2，n=1，t=99+97+3+1，n=0满足条件n2，退出循环，输出s，t的值由于s=100+98+4+2=2550t=99+97+3+1=2500故答案为：2550，2500点评：本题主要考查了程序框图和算法，考查了等差数列的求和公式的应用，属于基本知识的考查（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分（几何证明选讲选做题）14如图，点a，b，c是圆o上的点，且ab=4，acb=45，则圆o的面积等于8考点：圆內接多边形的性质与判定 专题：直线与圆分析：要求圆o的面积，关键是求圆的半径r，求半径有如下方法：构造含半径r的三角形，解三角形求出半径r值；或是根据正弦定理，=2r，求出圆的半径后，代入圆的面积公式即可求解解答：解：法一：连接oa、ob，则aob=90，ab=4，oa=ob，r=，则s圆=；法二：，则s圆=点评：求圆的半径有如下方法：构造含半径r的三角形，解三角形求出半径r值；如果圆为abc的外接圆，则根据正弦定理，=2r；如果圆为abc的内切圆，则根据面积公式s=lr（其中l表示三角形的周长）（坐标系与参数方程选做题）15已知直线的极坐标方程为cossin+2=0，则它与曲线（为参数）的交点的直角坐标是（1，1）考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，然后联立方程组求解解答：解：由cossin+2=0，得xy+2=0，由，式两边平方得：x2=1+sin2，把代入得：x2=y（0y2）联立，解得：或（舍去）两曲线交点的直角坐标为（1，1）故答案为：（1，1）点评：本题考查了化曲线的极坐标方程为直角坐标方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共80分16设函数f（x）=msinx+cosx（xr）的图象经过点（）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值（）若，其中a是面积为的锐角abc的内角，且ab=2，求ac和bc的长考点：解三角形；三角函数的最值 专题：综合题分析：（）根据函数图象过一点，把此点的坐标代入，利用特殊角的三角函数值即可求出m的值，进而确定出f（x）的解析式，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的值域得到f（x）的最大值和最小值；（）根据已知的等式，代入确定出的f（x）的解析式，化简后得到sina的值，由a的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出a的度数，然后根据三角形的面积公式，由ab和sina的值求出ac的长，最后由ac，ab及cosa的值，利用余弦定理即可求出bc的长解答：解：（）函数f（x）=msinx+cosx（xr）的图象经过点，m=1，函数的最小正周期t=2当时，f（x）的最大值为，当时，f（x）最小值为（）因为，即，a是面积为的锐角abc的内角，ac=3由余弦定理得：bc2=ac2+ab22abaccosa=7，点评：此题考查了三角函数的恒等变形，余弦定理，三角形的面积公式，以及正弦函数的周期及值域熟练掌握三角函数的恒等变形是解本题的关键17围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）（）将y表示为x的函数：（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用考点：函数模型的选择与应用；函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；应用题分析：（i）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得 ，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（ii）根据（i）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值解答：解：（）设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x2）+1802a=225x+360a360由已知ax=360，得 ，所以 （ii）因为x0，所以 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元点评：函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一18某校2015届高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130140分数段的人数为2人（1）估计这所学校成绩在90140分之间学生的参赛人数；（2）估计参赛学生成绩的中位数；（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率考点：频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：（1）先求学校的总人数，再求90140分之间的频率，总人数乘以此频率即为所求（2）由频率分布直方图，结合求中位数和平均数的方法，即可找到众数，求得中位数和平均数（3）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果解答：解：（1）130140分数段的人数为2人又130140分数段的频率为：0.00510=0.0590140分之间的人数为20.05=40人（2）90100，100110，110120，120130，130140之间的人数依次为：40100.01=4人，40100.025=10人，40100.045=18人，40100.015=6人，2人参赛学生成绩的中位数的估计值为+110=113分（3）第一组共有400.0110=4人，记作a1、a2、a3、a4；第五组共有2人，记作b1、b2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：a1，a2、a1，a3、a1，a4、a2，a3、a2，a4、a3，a4；a1，b1、a2，b1、a3，b1、a4，b1；a1，b2、a2，b2、a3，b2、a4，b2；b1，b2共有15种结果，设事件a：选出的两人为“黄金搭档组”若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故p（a）=点评：本题考查频率分布直方图和中位数平均数的求法，注意公式：频率=的灵活应用考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，考查等可能事件的概率，考查用列举法来数出事件数，这是一个概率与统计的综合题目19如图，四边形abcd为矩形，ad平面abe，ae=eb=bc=2，f为ce上的点，且bf平面ace，bdac=g（1）求证：ae平面bce；（2）求证：ae平面bfd；（3）求三棱锥eadc的体积考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 分析：（1）由已知中ad平面abe，adbc，得到bc平面abe，即aebc，又由bf平面ace，即bfae，再由线面垂直的判定定理即可得到ae平面bce；（2）连接gf，由已知bf平面ace，我们易得gfae，由线面平行的判定定理，可以得到ae平面bfd；（3）由已知可得三棱锥eadc的体积等于三棱锥eabc的体积，求出三棱锥eabc的体积，即可得到棱锥eadc的体积解答：解：（1）证明：ad平面abe，adbc，bc平面abe，aebc又bf平面ace，bfae，bcbf=b，ae平面bce（2）连接gf，bf平面ace，bfcebe=bc，f为ec的中点；矩形abcd中，g为两对角线的交点且是两线段的中点，gfae，gf平面bfd，ae平面bfd，ae平面bfd（3）三棱锥eadc的体积等于三棱锥eabc的体积veabc=故棱锥eadc的体积为点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，及直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间中直线与平面的平行及垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键20已知各项都不相等的等差数列an的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项（1）求数列an的通项公式及an及前n项和sn；（2）若数列bn满足bn+1bn=an（nn*），且b1=3，求数列的前n项和tn考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设等差数列an的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a1，根据等差数列的通项公式和求和公式，分别求得an及前n项和sn；（2）由（1）中的an和sn，根据迭代法得：bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1，结合条件化简后求得bn，再利用裂项法求得，代入前n项和tn再相消后化简即可解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，则，解得an=2n+3（2）由（1）得，an=2n+3，且sn=n（n+4），bn+1bn=an，bnbn1=an1=2n+1（n2，nn*）当n2时，bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=an1+an2+a1+b1=sn1+b1=（n1）（n1+4）+3=n（n+2），对b1=3也适合，bn=n（n+2）（nn*），则=点评：本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式，以及迭代法求数列的通项，裂项法求和，注意由数列的通项公式的特点来确定数列求和的方法21已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f（1）=0（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间；（3）令a=1，设函数f（x）在x1、x2（x1x2）处取得极值，记点m（x1，f（x1），n（x2，f（x2）证明：线段mn与曲线f（x）存在异于m，n的公共点考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件 专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）据求导法则求出导函