高考数学 专题四 知能演练轻松闯关 新人教A版(1).doc

2014年高考数学 专题四 知能演练轻松闯关 新人教a版1在四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，abcd，abc90，abpbpcbc2cd，平面pbc平面abcd.(1)求证：ab平面pbc；(2)求平面adp与平面bcp所成的二面角(小于90)的大小解：(1)证明：因为abc90，所以abbc.因为平面pbc平面abcd，平面pbc平面abcdbc，ab平面abcd，所以ab平面pbc.(2)取bc的中点o，连接po.因为pbpc，所以pobc.因为平面pbc平面abcd，平面pcb平面abcdbc，po平面pbc，所以po平面abcd.如图，以o为原点，ob所在的直线为x轴，在平面abcd内过o垂直于bc的直线为y轴，op所在的直线为z轴建立空间直角坐标系oxyz.不妨设bc2.由abpbpcbc2cd可得p(0，0，)，d(1,1,0)，a(1,2,0)，所以(1，1，)，(2,1,0)设平面pad的法向量为m(x，y，z)因为所以令x1，则y2，z.所以m(1,2，)取平面bcp的一个法向量n(0,1,0)所以cosm，n.所以平面adp和平面bcp所成的二面角(小于90)的大小为.2(2013安徽省名校联考)如图所示，在多面体abcda1b1c1d1中，上、下两个底面a1b1c1d1和abcd互相平行，且都是正方形，dd1底面abcd，ab2a1b12dd12a.(1)求异面直线ab1与dd1所成角的余弦值；(2)已知f是ad的中点求证：fb1平面bcc1b1；(3)在(2)的条件下，求二面角fcc1b的余弦值解：以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(2a，0,0)，b(2a,2a,0)，c(0，2a,0)，d1(0,0，a)，f(a，0,0)，b1(a，a，a)，c1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，cos，异面直线ab1与dd1所成角的余弦值为.(2)证明：(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，fb1bb1，fb1bc.bb1bcb，fb1平面bcc1b1.(3)由(2)知，为平面bcc1b1的一个法向量设n(x1，y1，z1)为平面fcc1的一个法向量又(0，a，a)，(a,2a,0)由得令y11，则x12，z11，n(2,1,1)，cos，n，即二面角fcc1b的余弦值为.3(2013济南市模拟)如图，在直角梯形abcp中，apbc，apab，abbcap2，d是ap的中点，e，f，g分别为pc，pd，cb的中点将pcd沿cd折起，使得pd平面abcd.(1)求证：平面pcd平面pad；(2)求二面角gefd的大小；(3)求三棱锥dpab的体积解：(1)证明：pd平面abcd，pdcd.又abbcapad，apab，四边形abcd为正方形，cdad.又pdadd，cd平面pad.cd平面pcd，平面pcd平面pad.(2)如图，以d为原点，分别以dc，da，dp为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系dxyz.则g(2,1,0)，e(1,0,1)，f(0，0,1)，故(1,0,0)，(1,1，1)设平面efg的法向量为n(x，y，z)，即，.取n(0,1,1)，取平面pcd的一个法向量(0,1,0)，cos，n.结合图知二面角gefd的大小为45.(3)三棱锥dpab的体积vdpabvpdabsabdpd222.4(2012高考大纲全国卷)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小解：法一：(1)证明：因为底面abcd为菱形，所以bdac.又pa底面abcd，所以pcbd.如图，设acbdf，连结ef.因为ac2，pa2，pe2ec，故pc2，ec，fc，从而，.因为，fcepca，所以fcepca，fecpac90，由此知pcef.因为pc与平面bed内两条相交直线bd，ef都垂直，所以pc平面bed.(2)在平面pab内过点a作agpb，g为垂足因为二面角apbc为90，所以平面pab平面pbc.又平面pab平面pbcpb，故ag平面pbc，agbc.因为bc与平面pab内两条相交直线pa，ag都垂直，故bc平面pab，于是bcab，所以底面abcd为正方形，ad2，pd2.设d到平面pbc的距离为d.因为adbc，且ad平面pbc，bc平面pbc，故ad平面pbc，a，d两点到平面pbc的距离相等，即dag.设pd与平面pbc所成的角为，则sin .所以pd与平面pbc所成的角为30.法二：(1)证明：以a为坐标原点，射线ac为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.则c(2，0,0)，设d(，b,0)，其中b0，则p(0,0,2)，e(，0，)，b(，b,0)于是(2，0，2)，(，b，)，(，b，)，从而0，0，故pcbe，pcde.又bedee，所以pc平面bed.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面pab的一个法向量，则m0，m0，即2z0且xby0.令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面pbc的法向量，则n0，n0.即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n(1，)因为二面角apbc为90，所以平面pab平面pbc，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，所以cosn，所以n，60.因为pd与平面pbc所成角和n，互余，故pd与平面pbc所成的角为30.5(2012高考北京卷)如图(1)，在rtabc中，c90，bc3，ac6.d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图(2)(1) 求证：a1c平面bcde；(2) 若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(3) 线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由解：(1)证明：acbc，debc，deac.dea1d，decd，de平面a1dc.dea1c.又a1ccd，a1c平面bcde.(2)如图所示，以c为坐标原点，建立空间直角坐标系cxyz，则a1(0,0,2)，d(0,2,0)，m(0，1，)，b(3,0,0)，e(2,2,0)设平面a1be的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又(3,0，2)，(1,2,0)，令y1，则x2，z，n(2,1，)设cm与平面a1be所成的角为.(0,1，)，sin |cosn，|.cm与平面a1be所成角的大小为.(3)线段bc上不存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直理由如下：假设这样的点p存在，