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文档简介

一元二次方程的整数解问题 一元二次方程的整数解问题一直是数学竞赛中的热点问题 古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合 涉及面广 解法灵活 备受关注 一 整系数问题 例1k为自然数且关于x的方程 k 1 x2 px k 0有两个正整数解 求p的值 已知k为整数 一元二次方程 6 k 9 k x2 117 15k x 54 0的解为整数 求k的值 动脑筋 小结 整系数的整数根问题 可对两根和 积 或两根进行整除性分析 解 k 6且k 9方程分解得 x1x2 k x1 x2均为整数 6 k的值为 解得k的值为 5 7 3 9 3 159 k的值为 解得k的值为 8 10 7 11 6 12 3 15 k为3 7 15时 原方程的解为整数 x为何整数时 代数式9x2 23x 2可以分解为两个连续正偶数的积 求x的值 小结 是完全平方数时 方程必有有理根 例2 p为质数且方程x2 px 580p 0的两根都是整数 求p的值 例3 二 非整系数问题 例4方程kx2 k 1 x k 1 0的根为整数求实数k的值 a是正实数 已知存在唯一实数k使得关于x的方程 x2 k2 ak x 1999 k2 ak 0的两根都是质数 求a的值 小结 非整系数问题可用韦达定理消去系数 解不定方程 三 非全整数根问题 关于x的方程 ax2 2 a 3 x a 13 0至少有一个整数根 且a为非负整数 求a的值 例5 当m为整数时 关于x的方程 2m 1 x2 2m 1 x 1 0是否有有理根 如果有 求出m的值 如果没有 请说明理由 例6 试求所有这样的正整数a 使得方程ax2 2 2a 1 x 4 a 3 0至少有一个整数解 小结 非全整数根问题 一般可用如下方法 1 变更主元2 局部分解3 法 总结与反思 一元二次方程的整数解问题 根据系数与根的特征 一般
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