高二数学选修1 极大值与极小值1 课件.ppt

3 3 2极大值与极小值 单调性与导数的关系 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 如果f x 0 则f x 为常数函数 b 复习 函数y f x 在点x1 x2 x3 x4处的函数值f x1 f x2 f x3 f x4 与它们左右近旁各点处的函数值 相比有什么特点 观察图像 一 函数的极值定义 一般的 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 函数的极大值与极小值统称为极值 极值即峰谷处的值 不一定最大或最小 使函数取得极值的点x0称为极值点 数学建构 3 极大值与极小值没有必然关系 极大值可能比极小值还小 注意 1 极值是某一点附近的小区间而言的 是函数的局部性质 不是整体的最值 2 函数的极值不一定唯一 在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值 观察与思考 极值与导数有何关系 在极值点处 曲线如果有切线 则切线是水平的 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法 看极值与导数之间有什么关系 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 f x 0 f x 0 极小值 f x 0 数学建构 请问如何判断f x0 是极大值或是极小值 f x 0 x1 在极大值点附近 在极小值点附近 f x 0 f x 0 f x 0 二 判断函数极值的方法 x2 左正右负为极大 右正左负为极小 注意 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的 是局部性质 因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值 并对同一个函数来说 在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值 例 判断下面4个命题 其中是真命题序号为 可导函数必有极值 函数在极值点必有定义 函数的极小值一定小于极大值 设极小值 极大值都存在 函数的极小值 或极大值 不会多于一个 例1求函数的极值 解 定义域为r y x2 4 由y 0可得x 2或x 2 当x变化时 y y的变化情况如下表 因此 当x 2时 y极大值 17 3 当x 2时 y极小值 5 0 0 极大值17 3 极小值 5 求可导函数f x 极值的步骤 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 把定义域划分为部分区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 1 确定函数的定义域 例2求函数y x2 1 3 1的极值 解 定义域为r y 6x x2 1 2 由y 0可得x1 1 x2 0 x3 1 当x变化时 y y的变化情况如下表 因此 当x 0时 y极小值 0 点评 一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号 1 函数y f x 的导数y 与函数值和极值之间的关系为 a 导数y 由负变正 则函数y由减变为增 且有极大值b 导数y 由负变正 则函数y由增变为减 且有极大值c 导数y 由正变负 则函数y由增变为减 且有极小值d 导数y 由正变负 则函数y由增变为减 且有极大值 d 练习 a 注意 数形结合以及原函数与导函数图像的区别 2 例3已知函数f x x3 ax2 bx c 当x 1时取得极大值7 当x 3时取得极小值 求这个极小值及a b c的值 函数在时有极值10 则a b的值为 a 或b 或c d 以上都不对 c 注意 f x0 0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代入检验 3 略解 1 由图像可知 2 注意 数形结合以及函数与方程思想的应用 故当x a时 f x 有极大值f a