解读上海中考数学压轴题(上海新教材)PPT课件.ppt

解读十年中考压轴题 中考数学系列讲座 1 一 二期课改的简要情况 一 单项试验阶段 1999 2001 二 整体试验阶段 2002 2007 二 二期课改课程理念 让课程适应每一位学生的发展 一 课程应为学生提供多种学习经历 丰富学习经验 二 课程要关注学生的全面发展 个性发展 持续发展 三 课程要注重实践 创导学习方式的改变 四 实现课程目标 功能 结构的整合 三 二期课改的数学课程理念 一 正确处理基础与发展的关系 二 充分关注数学课程中的学习过程 三 增强数学课程内容的基础性 选择性 现实性 四 拓广创造性学习的课程渠道 五 重视现代信息技术的应用 全称 上海市中小学 幼儿园课程教材改革第二期工程 一 二期课改与中考数学压轴题 2 从 接受 走向 接受 探究 培养提问 质疑 思考 探究的习惯 发掘思维探究的因素 从 一维 走向 三维 知识与技能过程与方法情感 态度与价值观 二期课改最显著的两个特点 3 改变学习方式 改变单一的接受性学习方式 倡导接受与体验 探究 发现相结合的学习方式 改变单一的个体学习方式 倡导独立自主与合作交流相结合的学习方式 4 1 二期课改对中考数学命题的影响 3 立足课本 注重考查 双基 2 试题的易 中 难的比由过去的7 2 1到现在的8 1 1坚持 以能力立意 的命题原则 4 加强了获取信息和处理信息能力 图形操作能力 运用数学知识解决问题能力的考查力度 1 试题总量由原来27题改为25题 从2005年 总分由原来120分改为150分 从2006年 由多项选择改为单项选择 5 2 二期课改对中考数学压轴题的影响 突出新课改理念 加强对探究能力 数学思想方法 数学思维能力 特别是数学思维的灵活性和数学发散思维能力等方面进一步得到体现 应引起足够重视 压轴题越来越 动 起来了 从过去静态的封闭的经典试题走向了现在开放的动态的探究的精彩生成 6 以2007年压轴题为例说明压轴题在试题结构上没有大的变化 仍旧涉及了代数 几何中函数 相似 圆 等边三角形 解直角三角形等诸多知识点及能力要求 融入了动态几何的变与不变特性 方法上体现解决动态几何问题的常见思路 从封闭走向开放 从静态走向动态 起点高 走出考场第一问需作辅助线 第三问的设计 对学生的读题 理解 画图 分析 综合解决问题的能力要求较高 它能区分学生是否具有分类讨论思想 是否能运用思维的灵活性和严谨性画出图形 完成正确的讨论 学生具有多大的学习潜力 能通过该问题的解决过程很好地鉴别出来 图1 7 图31 备用图 考题25已知 MAN 600 点B在射线AM上 AB 4 如图31 P为直线AN上一动点 以BP为边作等边三角形BPQ 点B P Q按顺时针排列 点O是 BPQ的外心 1 当点P在射线AN上运动时 求证 点O在 MAN的平分线上 2 当点P在射线AN上运动 点P与点A不重合 时 AO与BP交于点C 设AP x AC AO y 求y关于x的函数解析式 并写出函数的定义域 3 若点D在射线AN上 AD 2 圆I为 ABD的内切圆 当 BPQ的边BP或BQ与圆I相切时 请直接写出点A与点O的距离 2007年 8 9 3 2009年中考数学阅卷与中考数学评价 一个真实的故事 要不要给这1分 10 2009年中考数学评价 11 1 中考压轴题究竟考什么 二 解读近十年上海中考数学压轴题 12 13 14 主要一般方法 观察与实验 运动与静止 形象与抽象 分析与综合 归类与猜想 特殊与一般 主要知识点 圆 切线 相似三角形的判定与性质 线段与射线 函数解析式与定义域 主要数学思想 字母表示数的思想 图形运动思想 数形结合思想 变量及函数思想 方程思想 分类讨论思想 主要数学方法 待定系数法 类比的方法 压轴题考什么 15 图形运动本质上是点的运动 点的运动可以用数量 字母 来刻画 常常根据相似三角形的性质或勾股定理或面积计算等来建立函数关系式 有了函数关系式 往往通过列等式 解方程来求特定位置的几何量 最常见的是在 变 中探求 不变 上海压轴题最喜欢考什么 图形运动中的函数关系问题 16 2 上海中考数学压轴题的题型 1 探究动态变化中的不变 图形运动中的动态探究型问题 是以图形中的一些元素的运动变化为载体来探究图形中的某些元素之间在变化过程中相互依存关系的本质特征 这些本质特征中也包含 变中不变 的这种特殊情况 所谓 变中不变 对于一个元素而言 是指该元素虽然处于变化过程中 但它的某些属性不变 对于两个或两个以上的元素而言 是指这些元素虽然处于变化过程中 但它们的某些属性之间的关系不变 动态探究型 17 图1 分析 当点P在弧AB上运动时 半径OP的位置发生着变化 但由圆的特性可知 半径OP的长度始终不变 同样 当点P在运动时 线段GO GP GH中的位置都发生了变化 那么这其中 有没有长度保持不变的线段 就成了很自然的一问 利用直角三角形和重心的性质我们可以知道 18 例2 2006 压轴题 已知点P在线段AB上 点O在线段AB的延长线上 以点O为圆心 OP为半径作圆 点C是圆O上一点 1 如图 如果AP 2PB PB BO 求证 CAO BCO 2 如果AP m m是常数 且m 1 BP 1 OP是OA OB的比例中项 当点C在圆O上运动时 图2 求AC BC的值 结果用含m的式子表示 下略 分析 由于点C在圆O上运动变化 所以AC BC的位置和长度也在变化 OP是OA OB的比例中项 即OC是OA OB的比例中项 所以 CAO BCO仍成立 所以有 当点C是直线AO与圆O的交点时 结论也成立 尽管由于点C运动变化引起AC BC的长度变化 但AC与BC的比值保持不变 在2002 2004 2007年的压轴题中也都有关于 变中不变 的探究 对 变中不变 的考查体现了数学文化的魅力 19 图形运动中的动态探究型问题 的根本是探究图形中的某些元素之间在变化过程中的相互依存关系 用数学的眼光来看这些相互依存关系实际上就是函数关系 所以 求图形运动变化过程中某些变量之间的函数解析式是研究这类问题的最常见的手法 为此 这十年的中考数学压轴题几乎年年 除2004 2006年 考查这种背景下的函数解析式及函数定义域 2 探究动态中的变量关系 20 3 探究动态中的存在与否 在动态图形运动中探究存在与否 主要包括 探究问题的结论是否成立探究符合要求的对象是否存在 是否唯一探究使结论成立的条件 包括一个或几个使结论成立的条件 等 21 例4 2002 压轴题 操作 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上 并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动 直角的一边始终经过点B 另一边与射线DC相交于点Q 探究 设A P两点间的距离为x 1 当点Q在边CD上时 线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系 试证明你观察得到的结论 2 当点Q在边CD上时 设四边形PBCQ的面积为y 求y与x之间的函数解析式 并写出函数的定义域 3 当点P在线段AC上滑动时 PCQ是否可能成为等腰三角形 如果可能 指出所有能使 PCQ成为等腰三角形的点Q的位置 并求出相应的x的值 如果不可能 试说明理由 22 分析 本题的第 3 小题就是探究符合要求的对象存在与否以及使结论成立的条件是什么的问题 这里的关键有两个方面 一是要用x表示出 PCQ三边的长 即 另一方面是对哪两边作为等腰三角形的腰进行分类讨论 通过解方程得到 所以使 PCQ成为等腰三角形的条件是 在2000和2004的压轴题中也有关于 存在与否 成立与否 的探究 但这样的问题都存在一个 隐患 混淆了 充分 与 必要 23 探究型问题中有一种就是探究条件与结论的变化关系 即当条件发生变化时结论是否变化或当条件发生变化时结论发生怎样的变化或哪些结论可以推广到更一般的情况 4 探究动态中的结论推广 24 例4 2004 压轴题 分析 本题就是层层探究在不同的条件下结论能否推广的问题 如果不能推广 结论将随条件变化有哪些变化 解决问题 1 2 3 的方法完全一样 都是通过待定系数法求函数解析式 然后通过解方程和计算而得相应的结论 由于过程中的算理基本上一样的 所以甚至可以通过类比直接写出相应的结论 A点坐标为 1 0 改为 A点坐标为 t 0 其它条件不变 25 5 探究动态中的精彩瞬间 图形运动中的动态探究型问题 的最终目的是研究变化过程中能否有我们期待或遐想的精彩出现 如果出现了 它应该在什么情况下出现 26 备用图 例5 2008 压轴题 已知AB 2 AD 4 DAB 90 AD BC 如图 E是射线BC上的动点 点E与点B不重合 M是线段DE的中点 1 设BE x ABM的面积为y 求y与x的函数解析式 并写出函数的定义域 2 如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切 求线段BE的长 3 联结BD 交线段AM于点N 如果以A N D为顶点的三角形与 BME相似 求线段BE的长 27 分析 第 2 小题中的 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切 和第 3 小题中的 以A N D为顶点的三角形与 BME相似 都是遐想的精彩 像这样的遐想我们还可以编出许多 解决第 3 小题比第 2 小题多了分类讨论的数学思想 其实第 2 小题中把 外切 改为 相切 也是需要分类讨论的 本题的本质是用x 即BE的长 表示出图中随点E在射线BC上运动变化而变化的那些线段的长度 这些函数解析式如果求得 那么一切的精彩瞬间都是普遍规律的特例了 事实上 如果求得图中分成的五个三角形中的 与 的面积解析式 则本题的第 3 小题很容易解决 或 28 3 中考压轴题究竟从哪里来 1 从简单问题组合中来 29 1 Rt PHO的重心为G PHO 900 PO 6 则GH 2 Rt PHO的重心为G PHO 900 PO 6 D为0H的中点 设PH x 则DH PD PG 3 PGH中 GH 2 PH x PG 当 PGH等腰三角形时 则x D 2 2 x 2000年 6 x x 0 舍 30 2000年 3 PGH为等腰三角形时 x 31 为什么基础题都会 组合起来就不会 平时教学没有这方面的设计意识 老师宁可用剪子 拼 题 也不用大脑 组 题 宁可重新发一张练习题 也不在原有题上组合一题 32 3 中考压轴题究竟从哪里来 2 从相近问题讨论中来 33 1 如图 已知在等腰梯形ABCD中 AD BC AD BC P在线段AD上 点P与点A D不重合 BPC A 求证 ABP PCB PCB DPC x 5 x 2 2 P 2001年 2 已知在梯形ABCD中 AD BC AD BC AD 5 AB DC 2 P在线段AD上 点P与点A D不重合 且 BPC A 求AP的长 34 3 已知在等腰梯形ABCD中 AD BC AD BC 如果点P在AD边上移动 点P与点A D不重合 且满足 BPF A PF交直线BC于点E 请作出图形 F 与梯形的边长有关 35 4 已知在等腰梯形ABCD中 AD BC AD BC 如果点P在AD边上移动 点P与点A D不重合 且满足 BPE A PE交线段BC于点E PE交线段DC的延长线于点Q 求证 ABP DPQ 36 5 已知在等腰梯形ABCD中 AD BC AD BC 如果点P在AD边上移动 点P与点A D不重合 且满足 BPE A PE交线段BC的延长线于点E PE交线段DC于点Q 求证 ABP DPQ 37 2001年 考题27 已知在梯形ABCD中 AD BC AD BC 且AD 5 AB DC 2 1 如图 P为AD上的一点 满足 BPC A 求证 ABP DPC 求AP的长 2 如果点P在AD边上移动 点P与点A D不重合 且满足 BPE A PE交直线BC于点E 同时交直线DC于点Q 那么 当点Q在线段DC的延长线上时 设AP x CQ y 求y关于x的函数解析式 并写出函数的定义域 当CE 1时 写出AP的长 不必写出解题过程 1 1 38 1 矩形BMNC中 点P在MN边上移动 点P与点M N不重合 且满足 BPQ 900 Q是PQ与边NQ的交点 1 证明 BMP PNQ2 连PC 如果三角形PNC是等腰三角形 证明 BMP PNQ 2002年 1 2 3 39 2 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上 并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动 点P与点A C不重合 直角的一边始终经过点B 另一边与边DC相交于点Q 设AP x PQ y 求y与x之间的函数解析式 并写出函数的定义域 x y y 40 3 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上 并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动 点P与点A C不重合 直角的一边始终经过点B 另一边与DC的延长线相交于点Q 设AP x PQ y 求y与x之间的函数解析式 并写出函数的定义域 x y y 41 4 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上 并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动 直角的一边始终经过点B 另一边与射线DC相交于点Q 当点P在线段AC上滑动时 设AP x PCQ是否可能成为等腰三角形 如果可能 指出所有能使 PCQ成为等腰三角形的点Q的位置 并求出相应的x的值 如果不可能 试说明理由 42 考题27 操作 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上 并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动 直角的一边始终经过点B 另一边与射线DC相交于点Q 探究 设A P两点间的距离为x 1 当点Q在边CD上时 线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系 试证明你观察得到的结论 2 当点Q在边CD上时 设四边形PBCQ的面积为y 求y与x之间的函数解析式 并写出函数的定义域 3 当点P在线段AC上滑动时 PCQ是否可能成为等腰三角形 如果可能 指出所有能使 PCQ成为等腰三角形的点Q的位置 并求出相应的x的值 如果不可能 试说明理由 图5 图6 图7的形状大小相同 图5供操作用 图6和图7备用 图5图6图7 2002年 43 线段射线直线 分类讨论 相近概念 44 3 中考压轴题究竟从哪里来 3 从特殊问题推广中来 45 的图象于点C和D 直线OC交BD于点M 直线CD交y轴于点H 1 求H的纵坐标y 1 在直角坐标平面内 O为坐标原点 A 1 0 B 2 0 过点A和B作x轴的垂线 分别交二次函数y 2004年 46 的图象于点C和D 直线OC交BD于点M 直线CD交y轴于点H 1 求H的纵坐标y 3 在直角坐标平面内 O为坐标原点 A t 0 B 2t 0 t 0 过点A和B作x轴的垂线 分别交二次函数y 47 同学发现两个结论 2004年考题27 数学课上 老师出示图和下面框中条件 如图 在直角坐标平面内 O是坐标原点 A 1 0 点B在x轴上且在点A的右侧 AB OA 过点A和B作x轴的垂线 方便交二次函数的图象于点C和D 直线OC交y轴于点H 记点C D的横坐标分别为 点H的横坐标为 1 请你验证结论 和结论 成立 2 请你研究 如果将上述框中的条件 A点的坐标为 1 0 改为 A点的坐标为 t 0 t 0 其它条件不变 结论 是否仍成立 请说明理由 3 进一步研究 如果如果将上述框中的条件 A点的坐标为 1 0 改为 A点的坐标为 t 0 t 0 又将条件 改为 其它条件不变 那么有怎样的数值关系 写出结果并说明理由 48 1 如图 在 ACO中 AO 2CO 4BO 求证 CAO BCO 2 如图 在 ACO中 OC2 OB OA 求证 CAO BCO 2006年 CAO BCO CAO BCO 49 3 如图 已知OC是OA OB的比例中项 OB OC 1 OC 1 AB m 1 m是常数 且m 1 求AC BC的值 结果用含m的式子表示 讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系 并写出相应m的取值范围 CAO BCO m 50 2006年 考题25已知点P在线段AB上 点O在线段AB的延长线上 以点O为圆心 OP为半径作圆 点C是圆O上一点 1 如图 如果AP 2PB PB BO 求证 CAO BCO 2 如果AP m m是常数 且m 1 BP 1 OP是OA OB的比例中项 当点C在圆O上运动时 求AC BC的值 结果用含m的式子表示 3 在 2 的条件下 讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系 并写出相应m的取值范围 51 3 中考压轴题究竟从哪里来 4 从正面问题逆向中来 52 2 如图 在Rt ABC中 B 90 O是边AC上一点 O与点A C不重合 AB 4 BC 3 OD AB于点D 设OA x OD y 求y关于x的函数解析式 2005年 x 53 3 在Rt ABC中 B 90 AB 4 BC 3 有一直角三角板的直角顶点E放在边CA上 E与点C A不重合 两直角边的一边与直线AB交于点D 另一边与直线AB 直线CB分别交于点P 点F 且PE 2ED 1 如果AP 2 求线段BF的长 2 如果AP 6 求线段BF的长 BF 1 BF 1 54 2005年考题25 在 ABC中 ABC 90 AB 4 BC 3 O是边AC上的一个动点 以点O为圆心作半圆 与边AB相切于点D 交线段OC于点E 作EP ED 交射线AB于点P 交射线CB于点F 1 如图8 求证 ADE AEP 2 设OA x AP y 求y关于x的函数解析式 并写出它的定义域 3 当BF 1时 求线段AP的长 图8图9 备用图 55 2003年 56 x y 1 x y 57 3 ABCD是正方形 点E是边AD的中点 点F是边DC上任意一点 点F与点A D不重合 将 DEF沿直线EF翻折后得 D1EF1 证明 2 当点E在边AD上但不是AD