北京市朝阳区2016届高三第二次(5月)综合数学文试题含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学答案（文史类） 一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C B A A C 二、填空题： （满分 30 分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 10 7212 ,2 1 0 2x , 5 ( , 2 0 ,1) U 2 1 9 6 0 , 5 （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题： （满分 80 分） 15. （本小题满分 13 分） 解： ( ) 在 中，因为 2 1c o s 2 1 2 s i ， 所以 6 因为 3 , s i n 6 s i C，由正弦定理解得 32a 6 分 ( ) 由 6s i n , 032 得 3. 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ，得 2 2 1 5 0 . 解得 5b 或 3b （舍） . 1 5 2s i b c A . 13 分 16. （本小题满分 13 分） 解：（ ） 7 9 + 8 4 + 8 8 + 8 9 + 9 3 + 9 5= = 8 86x 甲， 7 8 + 8 3 + 8 4 + 8 6 + 9 5 + 9 6= = 8 76x 乙. 4 分 （ ）甲区优秀企业得分为 88,89,93,95 共 4 个，乙区优秀企业得分为 86,95,96 共 3 个 有基本事件为（ 88,86），（ 88,95），（ 88,96），（ 89， 86），（ 89,95），（ 89,96），（ 93,86），（ 93,95），（ 93,96）（ 95,86）（ 95,95）（ 95,96）共 12 个 . 其中得分的绝对值的差不超过 5 分有（ 88,86），（ 89， 86），（ 93,95），（ 93,96），（ 95,95），（ 95,96）共 6 个 . 则这两个企业得分差的绝对值不超过 5 分的概率 6112 2p .13 分 17. （本小题满分 13 分） 解： ( )因为 2a ， 4a ，9以9224 . 将 11a 代入得 )81()1()31( 2 , 解得 0d 或 3d . 因为数列 以 3d . 数列 ( 1 ) 3 3 2na n n .6 分 （ ）因为对任意 n N ， 6n 时，都有6 所以6 0d ， 6765,所以 760,则 116 0,5 因此156d a d . 又1a， dZ ， 0d ， 故当 1d 时， 156a， 此时 1a 不满足题意 . 当 2d 时，110 12a， 则1 11a ， 当 3d 时， 115 18a,1 16,17a , 易知 3d 时 ,1 16a ， 则 1a 的最小值为 11. 13 分 18. （本小题满分 14 分） 解：（ ）因为 为等边三角形， O 为 中点， 所以 E 又因为平面 平面 平面 面 E ， 平面 所以 平面 又因为 平面 所以 D 4 分 （ ）连结 因为四边形 菱形， 所以 D 因为 ,E 的中点， 所以 /D ，所以 F 由（ ）可知， 平面 因为 平面 所以 E . 因为 A O O F OI ，所以 平面 又 因为 平面 所以平面 平面 9 分 （ ）当点 P 为 的三等分点（靠近 A 点）时， /面 证明如下： 设 ,F 的交点分别为 ,结 因为四边形 菱形， ,E 的中点， 所以 12 设 P 为 靠近 A 点的三等分点， 则 12A P N M C，所以 /N 因为 平面 平面 所以 /面 由于 /F ， 平面 平面 所以 /面 即 /面 因为 B M P M MI ， 所以平面 /面 因为 平面 所以 /面 F O B C D A E P M N 可见侧棱 存在点 P ，使得 /面 且 12 14 分 19. （本小题满分 13 分） 解 ： ( ) 函数 () 0, 222( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )( ) = a x a x a x . （ 1） 当 0a 时， 1 , 令 ( ) 0 ，解得 01x，则函数 ()01)， 令 ( ) 0 ，解得 1x ，函数 ()+（ ， ） . 所以函数 ()01)， ，单调递减区间为 1+（ ， ） . （ 2） 当 01a时， 1 1a, 令 ( ) 0 ，解得 01x或 1则函数 ()(01)， ； 令 ( ) 0 ，解得 11 ，函数 ()1)a（ ，. 所以函数 ()01)， ， 1 +)a （ ，单调递减区间为 11)a（ ，. （ 3） 当 1a 时， 22( 1 )( ) = 0x 恒成立， 所以函数 ()+ )（ ， . （ 4） 当 1a 时， 101a, 令 ( ) 0 ，解得 10 或 1x ，则函数 ()10)a（ ， ， 1+ )（ ， ； 令 ( ) 0 ，解得 1 1，则函数 ()( 1)a，. 所以函数 ()0)a（ ， 1+ )（ ， ，单调递减区间为 1( 1)a，. 7 分 （ ）依题意，在区间 1 ,e) 1. 222( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )() a x a x a x ， 1a . 令 ( ) 0 得， 1x 或 1 若 ，则由 ( ) 0 得， 1，函数 ()1,e )上单调递增 . 由 ( ) 0 得， 1 1e x,函数 ()1,1e)上单调递减 . 所以m i n( ) (1 ) 1 1f x f a ，满足条件； 若 1，则由 ( ) 0 得， 11e x a或 1； 由 ( ) 0 得， 1 1. 函数 ()1,e ), 11( , )e 在 1( ,1) m i n 1( ) m i n ( ) , ( 1 ) ef x f f， 依题意 1( ) 1e(1) 1 ，即 2 ，所以 2； 若 1a ，则 ( ) 0 ) ,em i n 1( ) ( ) 1ef x f，不满足条件； 综上， 2a . 13 分20. （本小题满分 14 分） 解 ： ( )依题 2a ， 222c ， 所以椭圆 C 离心率为 222e.3 分 （ ）依题意 0 0x ，令 0y ，由 00 12xx ，得02x x ，则02( ,0)A x . 令 0x ，由 00 12xx ，得01y y ，则01(0, )B y . 则 的面积0 0 0 01 1 2 122O A A O B x y x y . 因为00( , )P x C 2 2 12x y上，所以 2 200 12x y. 所以 2 0020 0122 2y ，即0022，则001 2 所以0011 22O A A O B . 当 且 仅 当 2 2002x y ，即0021, 2 时， 面 积 的 最 小 值 为2 8 分 （ ）由 2200102 ，解得 022x . 当0 0x 时， (0, )P , ( , 2 )Q ,此时2 1，2 1. 因为22F Q F 所以三点2,Q P 当 (0, )P 时，也满足 . 当0 0x 时，设 ( , ) m ,1 ，则 ( , )22,代入直线 l 的方程，得： 20 0 02 4 0x m y n x . 设直线1k ，则002 ， 所以0 0 02 2 0y m x n y . 由 20 0 00 0 02 4 02 2 0x m y n xy m x n y ，解得 22002200244 ， 20 0 02200484x y . 所以 2 2 20 0 0 0 02 2 2 20 0 0 02 4 4 8( , )44x x x y x y x . 当点 P 的横坐标与点 2F 的横坐标相等时，把 0x ， 220 2y 代入 22002200244 中得 m ，则 2,Q P F 三点共线 . 当点 P 的横坐标与点 2F 的横坐标不相等时 , 直线2x . 由 022x ， 0 2x . 所以直线2 02 2 20 0 0 0 022 2 2 2 200 0 0 0 02200484 4 824 2