邱关源《电路》第五版第7章一阶电路

第 7 章 一阶电路 本章重点 1 暂态及其存在原因的理解 2 初值求解 3 利用经典法求解暂态过程的响应 4 利用三要素法求响应 5 理解阶跃响应 冲激响应 本章难点 1 存在两个以上动态元件时 初值的求解 2 三种响应过程的理解 3 含有受控源电路的暂态过程求解 4 冲激响应求解 教学方法 本章主要是 RC 电路和 RL 电路的分析 本章采用讲授为主 自学 为辅的教学方法 共用 6 课时 课堂上要讲解清楚零输入响应 零状态 响应 全响应 稳态分量 暂态分量 阶跃响应 冲激响应等重要概念 还列举大量例题加以分析和求解 使学生理解动态电路响应的物理意义 并牢固掌握响应的求解方法 授课内容 6 1 动态电路的方程及其初始条件 一 暂态及其存在原因 暂态 从一种稳态到达另一种稳态的中间过程 动态过程 过渡过程 存在原因 1 含有动态元件 dt di CuC dt di LuL 2 存在换路 电路结构或参数发生变化 描述方程 微分方程 一阶电路 能够用一阶微分方程描述电路 二阶电路 能够用二阶微分方程描述电路 n 阶电路 能够用 n 阶微分方程描述电路 解决方法 经典法 三要素法 二 换路 电路中开关的突然接通或断开 元件参数的变化 激励形式 的改变等 换路时刻 通常取 0 换路前一瞬间 换路后一瞬间 0 t 0 t 0 t 0 t 换路定则 c0c0 u tu t L0L0 i ti t C0C0 itit L0L0 utut R0R0 itit R0R0 utut 三 初始值的计算 1 求 C0L0 uti t 给定 C0L0 uti t 时 原电路为直流稳态 断路 短路 0 tt CL 时 电路未进入稳态 0 tt 0 C0C t tutut 0 L0L t ti ti t 2 画时的等效电路 0 t C00 utu t L0L0 i ti t 电压源 电流源CL 3 利用直流电阻电路的计算方法求初始值 例 1 已知 时 原电路已稳定 时 打开开关 S 0t 0t 求 时 各物理量的初始值 0t R 10 S t 0 CuC ic iR2 15 R2 R1 10 uR1 iL L uL 10V 解 1 求 CL 0 0 ui 15 10 10 iL 0 10VuC 0 时 0t CL 0 7 5V 0 0 25Aui 2 画时的等效电路 0t 3 时 0t R1 0 0 25 102 5Vu R2 7 5 0 0 5A 15 i LR1C 0 0 10 0 0uuu 2 CLR 0 0 0 0 25iiiA 例 2 已知 时 原电路已稳定 时 打开开关 S 0t 0t 求 时 0t 1 0 0 ii 4 14 7 4A C S t 0 uC t 10i1 i t i1 iR2 0 uL 0 10 10 15 0 25A 7 5V iC 0 10V uR1 0 14 4A 10i1 0 0i1 0 10i1 i 0 4 i1 0 7 uC 0 10i1 0 解 1 求 C 0 u 时 0t C11 1 1 C 0 14 0 10 0 4 0 0 0 4 0 0 2A 0 28V uiii ii ii u 2 作时的等效电路 0t 时 0t 1 1 0 0 4 14 0 7 0 28 ii ii 1 84 0 A 0 A 33 ii 6 2 一阶电路的零输入响应 RCS KVL 0 ututut CC CRC VAR dudu iCuRiRC dtdt 4A 4 i1 0 10i1 0 i 0 7 28V US R C uR t uC iC t S t 0 C CS C 0 0 du RCuut dt u 零输入响应 指输入为零 初始状态不为零所引起的电路响应 一 RC 放电过程 已知 时 电容已充电至 时 S 由 a 合向 b 0t 0 U0t 求后的 0t CRC ututit 1 定性分析 时 0t C0 0 uU RS0 0 uUU S0 C 0 UU i R 时 0t CC0 0 0 uuU R0 0 uU 0 0 C U i R C tu RC ui CRC 0 0 0tuui 2 定量分析 时 0t C C C0 0 0 0 du RCut dt uU C e t RC utK 令 0t C0 0 1uKU C uR t uC iC t uC t uC U0 U0 U0 R uR iC t Us U0 Us U0 R t 0 S t 0 b a C uR t uC iC t US C0 e 0 t RC utUt RC0 e 0 t RC ututUt 0R C e 0 t RC Uut itt RR 0 e 0 t RC f tft 3 时间常数 RC R 由动态元件看进去的戴维南等效电阻 伏特库仑安培秒 秒 安培伏特安培 C0 ut 的物理意义 衰减到 36 8 所需时间 C0 ut C0 e 0 t RC utUt 0 C00 e t RC utu 00 C000C0 eee 0 368 tt RCRCRC utuUut 的几何意义 由 点作的切线所得的次切距 0C0 t ut C ut 时 电路进入新的稳态 4t t0t0 t uC t U0 uC t0 uC t0 36 8 uc t0 0 4 C0C0C0 4 e1 82 0ututut 2 11 4 22 4eV 0 2s 4eV 0 4s t t u tt u tt 可见 时间常数反映了物理量的变化快慢 越小 物理量变化越快 二 RL 放磁过程 已知时 求时的 0t L0 0 iI 0t LL i tut 利用对偶关系 LC LC iu LC ui GR RC 串联 RL 并联 C C C0 0 0 0 du RCu tdt uU L L L0 0 0 0 di GLi tdt iI L0 e 0 t GL i tIt L GL R 0 L e 0 t GL I utt G 0 e 0 t f tft L R uR t uL t iL t t u1 u2 0 u1 u2 4V 综上所述 一阶电路的零输入响应变化模式相同 即 故求一阶电路的零输入响应时 确定出 0 e 0 t f tft 和 以后 就可以唯一地确定响应表达式 0 f 6 3 一阶电路的零状态响应 零状态响应 指初始状态为零 而输入不为零所产生的电路响应 1 RC 充电过程 已知 求时的 C 0 0u 0t CRC uui 1 定性分析 时 0t 0 0 C u RS 0 uU S C 0 U i R C tu RC ui CSRC 0 0tuUui 2 定量分析 C CS C 0 0 0 du RCuUt dt u CCpCh ututut 为非齐次微分方程任一特解 Cp ut 为对应齐次微分方程的通解 Ch ut 0 iC uR t uC uR iC US US R US uR t uC t iC t C C US uR 0 iC 0 强制响应 与输入具有相同形式 cp u cpS utAAU cpS utU 固有响应 与电路结构有关 ch e t RC utK CS e t RC utUK 0t 令 CSS 0 0uUKKU CSSS e 1 e 0 tt RCRC utUUUt RSCS e t RC utUutU 0 t SR C e t RC Uu it RR 0 t CCpChSC e 1 e 0 tt RC utututUKut 其中 为稳态响应 为暂态响应 必将衰减为 S U C u e t RC K 0 为时间常数RC 0 C0S 1 e t utU 63 2 US uC t0 t uC t US uC t0 uC t0 t0 t0 0 US uC t0 0 C0S 1 e t utU 00 1 SSS 1 e 1 e 1 e tt UUU C0SC0 63 2 utUut 即充电过程中时间常数的物理意义为由初始值上升了稳态值与初始 值差值的 63 2 处所需的时间 时 电路进入新的稳态 4t 3 充电效率 100 C RC W WW 22 CCS 1 22 C WCuU 222 S RCS 00 e 2 t RC UC WRi dtRdtU R 50 例 已知 时 原电路已稳定 时合上 S 0t 0t 求时的 0t C0 utu t 解 已知 0 0 C u 1 时 C u t uR 2 1V 1 1 2 Req 1V uC t 1F 2 S t 0 0 u t C 2 V 3 u 2 求 eq 2 3 R 2 s 3 1 5 C 2 1 e V 0 3 t utt 1 5 0C 12 1 eV 0 33 t u tutt 二 RL 充磁过程 已知 求 时的 利用对偶关系 L 0 0i 0t L i t RL 充磁过程 L LS L 0 0 0 di GLiIt dt i LSL 1 e 1 e 0 tt GL i tIit 例 已知 时 原电路已稳定 时合上 S 0t 0t 求时的0t Lo i ti t 解 已知 L 0 0i t 0 uC u0 0 u t U0 uC t 1V 2 3V 1 3V 1 4 1 2 5 10H 18V S t 0 iL t i0 t iL 5A 1 4 1 2 5 18V US S t 0 R L iL IS L RiL t IS US R G 1 求 时 L i t L 3Ai 2 求 10 2s 5 L R 2 L 3 1 A 0 t i tet L L 2 o 410 20 5e A 0 6 t di i dt i tt 6 4 一阶电路的完全响应 完全响应 指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应 已知 时合上 S C0 0 uU 0t 求时的0t C ut C CS C0 0 0 du RCuUt dt uU CCpChS ee tt RCRC utututAKUK 令 0t CS00S 0 1uUKUKUU CS0S e 0 t RC utUUUt 稳态响应 暂态响应 完全响应 稳态响应 暂态响应 2 5A 1A 2A 3A iL i0 iL t 0 5 1 4 1 2 Req 5 S t 0 R CuC t US t 0 US U0 US U0 uC C0S e 1 e tt RCRC utUU 零输入响应 零状态响应 完全响应 零输入响应 零状态响应 CCCC 0 e 0 t RC utuuut 一阶电路的三要素法 前提 一阶电路 直流激励 ph e t f tf tftAK 令 t 0 fAAf e t f tfK 令 0t 0 1ffK 0 Kff 一阶电路三要素公式 0 e 0 t f tffft 初始值 由的等效电路中求 0 f CL 0 0 ui 0t 必须由的等效电路求 CLRR 0 0 0 0 iuiu 0t 时 C 电压源 零状态下 C 短路0t L 电流源 L 断路 稳态值 时 C 断路 L 短路 f t U0 US US U0 t 0 UC U S 时间常数 R 由动态元件两端看进去的戴维 L RC R 南等效电阻 例 1 已知时已稳定 求时 0t 0t Lo ii 解 1 求 o 0 0 L ii 时 0t 39 A 2 8 2 3 i o 9 0 A 8 i L 923 0 A 834 i 时 0t o 3133 0 A 4248 i 2 求 Lo ii Lo 39 A A 48 ii io 2 2 1 3V 3 4A 2 2 3V io 0 9 8A i iL 0 t 0 iL io io iL 9 A 8 3 A 4 3 A 8 3 A 4 iL t io t S b a 3V3V 1H 2 1 2 3 求 1 s 2 L R 2 L 33 eA 42 t i t 0 t 2 o 93 eA 84 t i t 0 t 例 2 已知 时原电路已稳定 时合上开关 S 求时 0t 0t 0t C uti t 解 1 求 C 0 0 ui 时 0t C 0 20 1 1010Vu C 0 10Vu 时 0t 20 0 1mA 20 i 2 求 时 C ui t 101 1mA 30 104 i C 1 20105V 4 u i t 10k 20k 10k 1mA S t 0 10 F uC t 10V 1mA 10k 10k 10V 10V 20k i 0 1mA 10k 10k 20k i uC 10V uC 0 1mA 10k 20k 10V 3 求 1010 C 5 105 e5 15eV 0 tt utt 1010 1113 1 eemA 0 4444 tt i tt 又 10 C 1013 emA 0 2044 t u i tt 直接用此式求可免去作的等效电路 i t0t 例 3 已知 时 原电路稳定 时 合上 S 0t 0t 求时的 0t L i t 10k 10k 20k Req 10K 36 10 1010 100 1s t 0 uC i i uC 10V 1mA 1 mA 4 5V 16V 2 1 1 5H 5i S t 0 i iL t 16V 2 i 0 1 5H iL t 5 0 i 解 1 求 时 0 L i 0t 0 6 0 8 0 16 L ii i LL 0 2A 0 12A 0 12Aiii 2 求 时 L i t L 3 2A 9 6Aii 3 求 1 eq 111 12225 11 84 iiuii R iiii eq 4s L R 44 L 9 6 129 6 e9 62 4eA tt i t 3i 16V 2 1 1 5i i iL i1 1 2 1 5i i u 外加激励 iL A t 0 12 9 6 例 4 已知 时 原电路稳定 时 打开开关 S 0t 0t 求时的 0t ab ut 开关打开后 利用理想电压源的基本特性 可将原二阶电路分解成 两个一阶电路处理 利用三要素法求出和后 C u L i 2 abCL 41 e4eV 0 tt utuit 6 5 一阶电路的阶跃响应 一 单位阶跃函数 1 定义 00 10 t t t SS S 00 0 t u tUt Ut 2 作用 ba 2 2 4 1F 2V S t 0 2H uC iL t t 0 1 电路 RC Vt 电路 RC S t 0 a 1V b c t 0 S U S ut 起开关作用 起起始作用 2 C 42eV 0 t utt 2 C 2 0 0 42e V 42eV 0 t t t utt t 二 一阶电路的单位阶跃响应 指一阶电路在唯一的单位阶跃激励下所产生的零状态响应 例 求如图所示电路的单位阶跃响应 C St R St 解 利用三要素法 1 求 CR 0 0 SS CR 0 0 0 1VSS 2 求 CR SS CR 12 V V 33 SS 3 求 2s 2 C 1 1 e 3 t Stt V 2 R 21 e V 33 t Stt 零状态 输入 响应是线性响应 全响应不是 SS u tUt 1 0 tt t 0t0 6 3 Vt 1FSC t SR t CSC utUSt RSR utUSt 三 延时单位阶跃函数 0 0 0 0 1 tt tt tt S 1 3 2 4 u ttttt 四 一阶电路的延时单位阶跃响应 指一阶电路在唯一的延时单位阶跃激励下 所引起的零状态响应 如前例电路在延时单位阶跃函数激励下 0 2 C00 1 1 e V 3 t t Stttt 由于零状态响应为线性响应 满足齐性原理和叠加定理 所以前例 电路在上述分段函数作用下的零状态响应为 124 2222 C 1111 1 e 1 e 1 3 1 e 2 1 e 4 V 3333 tttt u ttttt tf t t 0t 0 0 ttf t t0 t 01s2s3s4s 1V 2V 1V 1 S ut 00 tttf t t0 t 0 若该电路中已知 为上述所 C 0 2Vu CCC utuu 2 C 2e t u u 示 6 6 一阶电路的冲激响应 一 单位冲激函数 0 0 0 t t t 0 0 1t dt 单位脉冲函数P 00 1 0 0 t Pt t 0 f ttft 筛分性质 0 0 f tt dtft dtf 所以 00 10 tt t