谈数学思想在二次函数教学中的渗透

谈数学思想在二次函数教学中的渗透 安庆市宜秀区五横初中 戴向阳 电话 邮 日本著名数学教育家米山国藏说 我搞了多年的数学教育 发现学生们在初中 高 中阶段学习的数学知识 离校后不到一两年 便很快忘光了 然而 无论他们从事什么 工作 唯有深深铭刻于头脑中的数学精神 数学思维方法 研究方法 却随时的发生作 用 使他们受益终生 可见教给学生数学思想方法的重要 数学思想是数学的精髓 它游 走在基本知识与方法之间 它主导着数学方法的方向 并引导合理的方法解剖数学知识 作用于已知与未知之间 数学思想与方法没有明显界限 方法中必有思想 思想中露出方 法 思想统帅方法 方法统管基础知识 数学学什么 知识忘了 可去查阅课本资料 思想丢了 唤回来就难了 因为数学思 想是建立在广泛的数学活动经验上 千锤百炼而成的 不是一蹴而就的 在一定意义上 会了数学思想 就会了自我独立研究能力 高分低能从此说拜拜 二次函数作为初中教材的特殊地位 表现在它包含着丰富的数学思想方法 它担负着 对这些思想方法进行系统介绍 传授 渗透与强化的重任 进而完备学生数学思想方法的 学习 其主要有转化思想 数形结合思想 函数思想 方程思想 转化思想 就是当某个问题不易直接获解时 可试着转化为另一形式或类型的问 题 使问题获得简便的解法 利用转化数学思想 可把一些代数或几何问题化为直观的二 次函数来解答 例 m 为何值时 关于 x 的方程有两个不相等的实根 2 140 xmxm 且一根大于 另一根小于 解 构造二次函 2 14yxmxm 因 a 1 0 所以函数图象是开口向上的抛物 于是 关于 x 的方程有两个不相 2 140 xmxm 等的实根 且一根大于 另一根小于 这相当于 图 图 抛物线与 x 轴有两个交点 且一点在点 2 0 的左边 另一点在点 2 0 的右边 如 图 即相当于 x 2 时 y 0 所以 故 2 2124 0mm 10 3 m 数形结合思想 数形结合是指把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合 起来 使代数问题几何化或几何问题代数化 从而将抽象的思维与形象思维结合的一种思 想方法 函数是初中数学中数形结合的典型内容 运用函数的图象和性质能直观地反映数 学问题中 数 与 形 之间的内在联系 正所谓 数缺形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 二次函数学习是树立 数形结合思想 观念的最佳时 期 关键时期 数形的辩证统一 体现了数学的和诣美 统一美 例 求使得不等式当 x 时恒成立的实数对 p q 2 2xpxq 解 对于函数 当 x 的值连续增加 时 要使函数值的变化幅度不大于 只 2 yx 能使 x 从 变到 2 如图 所示 令 因它与的图象形状相同 位 2 yxpxq 2 yx 置不同 所以由平移可知 当 x 时 要使恒成立 2 2xpxq 的图象只能如图 所示 此时抛物线的顶点坐标为 3 2 2 yxpxq 解得 p 6 q 7 故所求的实数对只有 6 7 2 3 p 2 332pq 4 2 2 1 1 3 3 5 5 2 2 2 图 图 函数思想 是指从函数的视角审察问题 建立函数模型 解决方程 不等式 几 何问题 实际问题 方案设计与面积问题等 下面是一道中考题 大多考生是通过相似建 立等量关系 再用二次函数求最值 解答比较复杂 但是用下面函数方法要简洁 明了的 多 例 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 4 所示 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 E A F A M P B M P B D N C D N C 图 4 图 5 解解 如图 5 所示建立直角坐标系 设矩形 PNDM 面积为 S 因 P 点在线段 AB 上运动 令 P x y 则 y 是 x 的一次函数 于是 S xy 显然 S 是 x 的二次函数 设 当 P 点在 A 点 即 x 2 时 S 2 4 8 当 P 点在 B 点 即 x 4 时 2 saxbxc S 4 3 12 当 P 点在 AB 的中点 即 x 3 时 S 3 3 5 10 5 从而有 4a 2b c 8 a 0 5 16a 4b c 12 解得 b 5 所以 2 x 4 2 0 50 5sxx 9a 3 b c 10 5 c 0 此二次函数的图象开口向下 对称轴为 x 5 当 x 5 时 函数的值是随 x 的增大而增 大 对 2 x 4 来说 当 x 4 时 S 有最大值 S最大 1 2 42 5 4 12 另解另解 如图 所示建立直角坐标系 则有 A 2 4 B 4 3 于是 AB 的解析式为 y 0 5x 5 故令 DN x 时 DM 0 5x 5 若设矩形 PNDM 面积为 S 于是S x 0 5x 5 0 5x2 5x 2 x 4 此二次函数 的图象开口向下 对称轴为 x 5 当 x 5 时 函数的值是随 x 的增大而增大 对 2 x 4 来说 当 x 4 时 S 有最大值 S最大 1 2 42 5 4 12 在进行课堂教学时 教师 不应仅重视对数学知识的传授 还应注意对其中所蕴涵的数 学思想和方法的提炼和总结 只有这样才能在教学中全面地落实 数学课