2016年山东省烟台市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山东省烟台市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题：每小题 5 分，共 50 分每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上 1已知集合 U=2， 0， 1， 5，集合 A=0， 2，则 ） A B 0， 2 C 1， 5 D 2， 0， 1， 5 2在复平面内，复数 z= 2i 为虚数单位）表示的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数 f（ x） = 的定义域为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1 C 1， +） D（ 1， +） 4如图中的三个直角三角形是一个体积为 35几何体的三视图，则侧视图中的 h（ ）A 5 6 7 8下列说法正确的是（ ） A “x2+x 2 0”是 “x l”的充分不必要条件 B “若 a b 的逆否命题为真命题 C命题 “ x R，使得 21 0”的否定是： “ x R，均有 21 0” D命题 “若 x= ，则 的逆命题为真命题 6在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 A=60， a= ， b+c=3，则 ） A B C D 2 7执行如图的程序框图，若输入 n 为 4，则输入 S 值为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 10 B 11 C 21 D 6 8若直线 22=0（ m 0， n 0）过点（ 1， 2），则 + 最小值（ ） A 2 B 6 C 12 D 3+2 9定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x） +f（ x） 1， f（ 0） = 1，则不等式 x） 2（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ ， 0） B（ ， 2） C（ 0， +） D（ 2， +） 10点 F 为双曲线 C： =1（ a， b 0）的焦点，过点 F 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 A，与另一条渐近线交于点 B若 3 + =0，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共有 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把正确答案填在答题卡相应的位置 11圆 C 以抛物线 y 的焦点为圆心，且被该抛物线的准线截得的弦长为 6，则圆 C 的标准方程式是 12已 知实数 x， y 满足不等式组 ，则 2x+y 的最大值为 13设向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ，则向量 与 + 的夹角为 14已知长方形 ， ， ， M 为 中点，则在此长方形内随机取一点 P，P 与 M 的距离小于 1 的概率为 15已知定义在 R 上的函数 f（ x） = ，若直线 y=a 与函数 y=f（ x）的图象恰有两个交点，则实数 a 的取值范围是 第 3 页（共 19 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答时写出必要的文字说 明、证明过程或推理步骤 16植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第 25， 30），第 2 组 30， 35），第 3 组 35， 40），第 4 组 40， 45），第 5 组 45， 50，得到的部分频率分布表如下： 区间 人数 频率 第 1 组 25， 30） 50 2 组 30， 35） 50 3 组 35， 40） a 4 组 40， 45） 150 b （ 1）求 a， b 的值； （ 2）现在要从年龄较小的第 l， 2， 3 组中用分层抽样的方法随机抽取 6 人担 任联系人，在第 l， 2， 3 组抽取的义工的人数分别是多少？ （ 3）在（ 2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人担任本次活动的宣传员，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率 17已知 f（ x） =2m（ 0 ），且 f（ x）的图象上的一个最低点为 M（ ， 1） （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）已知 f（ ） = ， 0， ，求 值 18如图，在四棱锥 S ，底面 平行四边形，平面 平面 面 正三角形， S，点 E 是 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）证明： （ 3）若 ，求三棱锥 S 体积 19已知数列 前 n 项和 满足： + + + =n， n N+ （ 1）求 （ 2）设 + + + ，是否存在整数 m，使对任意 n N+，不等式 Tnm 恒成立？若存在， 求出 m 的最小值；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 19 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左焦点 抛物线 4 x 的焦点重合，过点 直线 l 交椭圆于 A， B 两点当直线 l 经过椭圆 C 的一个短轴端点时，与以原点 椭圆的离心率 e 为半径的圆相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否在 x 轴上存在定点 M，使 为定值？若存在，请求出定点 M 及定值；若不存在，请说明理由 21已知 m， n R，函数 f（ x） =（ 4x+m） g（ x） =x2+5，曲线 y=f（ x）与曲线y=g（ x）在 x=1 处的切线相同 （ 1）求 f（ x）， g（ x）的解析式： （ 2）求 F（ x） =f（ x） g（ x）的单调区间； （ 3）证明：当 x （ 0， k（ 0 k 1）时，不等式（ 2x+1） f（ x）（ 2x+1） g（ x） 0 恒成立 第 5 页（共 19 页） 2016 年山东省烟台市高考数学二模 试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题：每小题 5 分，共 50 分每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上 1已知集合 U=2， 0， 1， 5，集合 A=0， 2，则 ） A B 0， 2 C 1， 5 D 2， 0， 1， 5 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据集合的补集的定义求出 A 的补集即可 【解答】 解： 集合 U=2， 0， 1， 5，集合 A=0， 2， 1， 5， 故选： C 2在复平面内，复 数 z= 2i 为虚数单位）表示的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解： z= 2， z 在复平面内对应的点的坐标为：（ 1， 3），位于第一象限 故选： A 3函数 f（ x） = 的定义域为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1 C 1， +） D（ 1， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数成立的条件即可求函数的定义域 【解答】 解：要使函数有意义，则 2x 1 1 0， 即 2x 1 1，即 x 1 0， 则 x 1， 即函数的定义域为（ 1， +）， 故选： D 第 6 页（共 19 页） 4如图中的三个直角三角形是一个体积为 35几何体的三视图，则侧视图中的 h（ ）A 5 6 7 8考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 由已知中的三视图得几何体是三棱锥，计算出底面面积，由锥体体积公式，即可求出高 【解答】 解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥， 其底面面积为 S= 5 6=15，高为 h， 所以该几何体的体积为 S= 15h=35，解得 h=7（ 故选： C 5下列说法正确的是（ ） A “x2+x 2 0”是 “x l”的充分不必要条件 B “若 a b 的逆否命题为真命题 C命题 “ x R，使得 21 0”的否定是： “ x R，均有 21 0” D命题 “若 x= ，则 的逆命题为真命题 【考点】 四种命题 【分析】 选项 A，根据充分条件和必要条件判断即可， 选项 B，根据逆否命题及其真假判断即可， 选项 C，根据命题的否定判断即可， 选项 D，根据逆命题及 其真假判断即可 【解答】 解：选项 A， x2+x 2 0，解得 x 2 或 x 1，故 “x2+x 2 0”是 “x l”的必要不充分条件，故 A 错误， 选项 B， “若 a b”的逆否命题为 “若 a b，则 真命题，故 B 正确， 选项 C，命题 “ x R，使得 21 0”的否定是： “ x R，均有 21 0，故 C 错误， 选项 D，命题 “若 x= ，则 ”的逆命题 “若 ，则 x= ”，因为 ，则 x=”，故 D 错误， 故选： B 第 7 页（共 19 页） 6在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 A=60， a= ， b+c=3，则 ） A B C D 2 【考点】 余弦定 理；正弦定理 【分析】 由余弦定理可得： b+c） 2 22入已知从而解得： 值，由三角形面积公式 S 可求值 【解答】 解：由余弦定理可得： a2=b2+2 b+c） 2 22 代入已知有： 3=9 3而解得： ， S = ， 故选： B 7执行如图的程序框图，若输入 n 为 4，则输入 S 值为（ ） A 10 B 11 C 21 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=4， k=2， S=0 执行循环体，不满足条件 k 为奇数， S=0 4= 4， k=3 不满足条件 k 4，执行循 环体，满足条件 k 为奇数， S= 4+9=5， k=4 不满足条件 k 4，执行循环体，不满足条件 k 为奇数， S=5 16= 11， k=5 满足条件 k 4，退出循环，输出 S 的值为 11 故选： B 8若直线 22=0（ m 0， n 0）过点（ 1， 2），则 + 最小值（ ） A 2 B 6 C 12 D 3+2 第 8 页（共 19 页） 【考点】 基本不等式在最值问 题中的应用 【分析】 根据直线 22=0（ m 0， n 0）过点（ 1， 2），建立 m， n 的关系，利用基本不等式即可求 + 的最小值 【解答】 解： 直线 22=0（ m 0， n 0）过点（ 1， 2）， 2m+2n 2=0，即 m+n=1， + =（ + ）（ m+n） =3+ + 3+2 ， 当且仅当 = ，即 n= m 时取等号， + 的最小值为 3+2 ， 故选： D 9定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x） +f（ x） 1， f（ 0） = 1，则不等式 x） 2（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ ， 0） B（ ， 2） C（ 0， +） D（ 2， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系 【分析】 构造函数 g（ x） =x） （ x R），研究 g（ x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】 解：设 g（ x） =x） x R）， 则 g（ x） =x） + x） ex=exf（ x） +f（ x） 1， f（ x） +f（ x） 1， f（ x） +f（ x） 1 0， g（ x） 0， y=g（ x）在定义域上单调递减， x） 2， g（ x） 2， 又 g（ 0） =0） 1 1= 2， g（ x） g（ 0）， x 0， 不等式的解集为（ ， 0） 故选： A 10点 F 为双曲线 C： =1（ a， b 0）的焦点，过点 F 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 A，与另一条渐近线交于点 B若 3 + =0，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 联立直线方程解得 A， B 的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的 a， b，c 和离心率公式计算即可得到所求值 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解：双曲线 C： =1 的渐近线方程为 y= x， 设 F（ c， 0） ，由 且 方程为 y= x， 方程为 y= x， 直线 方程为 y= （ x c）， 由 解得 A（ ， ）， 由 解得 B（ ， ）， 由 3 + =0，即 3 + = ， 即 3（ c， ） +（ c， ） =0 可得 3（ c） + c=0， 即 3=4 由 b2=简可得 35， 即（ 32=0， 即 a2=舍）或 3 即 c= a= a，可得 e= = 故选： B 第 10 页（共 19 页） 二、填空题：本大题共有 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把正确答案填在答题卡相应的位置 11圆 C 以抛物线 y 的焦点为圆心，且被该抛物线的准线截得的弦长为 6，则圆 C 的标准方程式是 y 1） 2=13 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 圆的圆心为抛物线 y 的焦点，所以可求出圆心坐标，又因为圆被抛物线的准线截得的弦长为 2，利用圆中半径，半弦，弦心距组成的直角三角形，即可求出圆半径，进而得到圆方程 【解答】 解： 抛物线 y 的焦点坐标为（ 0， 1）， 圆心坐标为（ 0， 1）， 又 被抛物线的准线截得的弦长为 6， 半弦为 3，弦心距为 2 半径为 = 圆的方程为 y 1） 2=13 故答案为： y 1） 2=13 12已知实数 x， y 满足不等式组 ，则 2x+y 的最大值为 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，平行直线可得直线过点 A（ 3， 0）时， z 取最大值，代值计算可得 【解答】 解：作出不等式组 所对应的可行域（如图阴影）， 变形目标函数 z=2x+y 可得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x 可知，当直线经过点 A（ 3， 0）时， z 取最大值， 代值计算可得 z=2x+y 的最大值为 6 故答案为： 6 13设向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ，则向量 与 + 的夹角为 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 利用两个向量垂直的性质求得 x，设向量 与 + 的夹角为 ，则由 的值，求得 的值 第 11 页（共 19 页） 【解答】 解： 向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ， x 3=0， x= ， =（ ， 3）， + =（ 2 ， 2），设向量 与 + 的夹角为 ， 则 = = ， = ， 故答案： 14已知长方形 ， ， ， M 为 中点，则在此长方形内随机取一点 P，P 与 M 的距离小于 1 的概 率为 【考点】 几何概型 【分析】 本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点 P 到 M 的距离大于 1 的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可 【解答】 解：根据几何概型得： 取到的点到 M 的距离小 1 的概率： p= = = = 故答案为： 15已知定义在 R 上的函数 f（ x） = ，若直线 y=a 与函数 y=f（ x）的图象恰有两个交点，则实数 a 的取值范围是 1， 2） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 利用数学结合思想，画出函数的图象，由图象可得结论 【解答】 解：在同一坐标系内画出函数的图象如图： 第 12 页（共 19 页） 由图象可知要使有两个交点，则 1 a 2， 故答案为 1， 2） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答时写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤 16植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第 25， 30），第 2 组 30， 35），第 3 组 35， 40），第 4 组 40， 45），第 5 组 45， 50，得到的部分频率分布表如下： 区间 人数 频率 第 1 组 25， 30） 50 2 组 30， 35） 50 3 组 35， 40） a 4 组 40， 45） 150 b （ 1）求 a， b 的值； （ 2）现在要从年龄较小的第 l， 2， 3 组中用分层抽样的方法随机抽取 6 人担任联系人，在第 l， 2， 3 组抽取的义工的人数分别是多少？ （ 3）在（ 2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人担任本次活动的宣传员，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率 【考点】 频率分布表 【分析】 （ 1）根据频率 = 求出参加活动的总人数，再求 a、 b 的值； （ 2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数； （ 3）利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件，再用对立事件的概率公式计算对应的概率即可 【解答】 解：（ 1）根据题意知， 50 00， 所以共有 500 人参加活动； a=500 00， b= = （ 2）因为第 1， 2， 3 组共有 50+50+200=300 人， 利用分层抽样在 300 名员工中抽取 6 人，每组抽取的人数分别为： 第 13 页（共 19 页） 第 1 组的人数为 6 =1， 第 2 组的人数为 6 =1， 第 3 组的人数为 6 =4， 第 1， 2， 3 组分别抽取 1 人， 1 人， 4 人； （ 3）由（ 2）可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B， 第 3 组的 4 人分别为 则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为： （ A， B），（ A， （ A， （ A， （ A， （ B， （ B， （ B， （ B， （ （ （ （ ，（ （ 共有 15 种 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有：（ A， B），共 1 种； 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 P=1 = 17已知 f（ x） =2m（ 0 ），且 f（ x）的图象上的一个最低点为 M（ ， 1） （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）已知 f（ ） = ， 0， ，求 值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式 （ 2）先利用条件求得 + ）的值，利用同角 三角的基本关系求得 + ）的值，再根据 + ） ，利用两角差的余弦公式计算求得结果 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2m=22x+） +m， f（ x）的图象上的一个最低点为 M（ ， 1）， 2+m= 1， m=1， f（ x） =22x+）+1 再根据五点法作图可得 2 += ，求得 = ， f（ x） =22x+ ） +1 （ 2） f（ ） =2+ ） +1= ， + ） = ， 0， ， + 为第三象限角， + ） = = ， 第 14 页（共 19 页） + ） =+ ） + ） = 18如图，在四棱锥 S ，底面 平行四边形，平面 平面 面 正三角形， S，点 E 是 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）证明： （ 3）若 ，求三棱锥 S 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）连结 F，连结 中位线定理可得 平面 （ 2）由三线合一可得 是 平面 （ 3）由平面 平面 得 平面 是 D A 【解答】 证明：（ 1）连结 F，连结 底面 平行四边形， F 是 中点，又 E 是 中点， 又 面 平面 平面 （ 2） S， S， E 是 中点， 平面 面 E=E， 平面 平面 （ 3） 平面 平面 面 面 S， 平面 C=， =1， S = D A = = 第 15 页（共 19 页） 19已知数列 前 n 项和 满足： + + + =n， n N+ （ 1）求 （ 2）设 + + + ，是否存在整数 m，使对任意 n N+，不等式 Tnm 恒成立？若存在，求出 m 的最小值；若不存在，请说明理由 【考点】 数列与不等式的综合 【分析】 （ 1）通过 + + + =n 与 + + +=n 1（ n 2）作差，进而整理即得结论； （ 2）通过（ 1）裂项可知 =2（ ）（ n 2），进而并项相加即得结论 【解答】 解：（ 1） + + + =n， + + + =n 1（ n 2）， 两式相减得： =1，即 an=n 1， 又 =1，即 满足上式， an=n 1； （ 2）结论：存在整数 m=1，使对任意 n N+，不等式 m 恒成立 理由如下： 由（ 1）可知 ， =2（ ）（ n 2）， + + + =2（ + + ） =2（ ） = ， 第 16 页（共 19 页） 要存 在整数 m，使对任意 n N+，不等式 m 恒成立，即（ m， 由 单调递减可知当 n=1 时， 最大值 1，即 m=1 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左焦点 抛物线 4 x 的焦点重合，过点 直线 l 交椭圆于 A， B 两点当直线 l 经过椭圆 C 的一个短轴端点 时，与以原点 椭圆的离心率 e 为半径的圆相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否在 x 轴上存在定点 M，使 为定值？若存在，请求出定点 M 及定值；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）求得抛物线的焦点坐标，可得 c= ，即 ，求得直线经过（ c， 0）和（ 0， b）的方程，运用直线和 圆相切的条件： d=r，结合离心率公式可得 b， a，进而得到椭圆方程； （ 2）假设直线 l 的斜率存在，设直线的方程为 y=k（ x+ ），代入椭圆方程 ，可得 x 的方程，运用韦达定理，设出 M（ m， 0），运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值，可得 m，以及向量数量积的值；再讨论直线 l 的斜率不存在，求得 A， B，验证成立 【解答】 解：（ 1）抛物线 4 x 的焦点为（ ， 0）， 由题意可得 c= ，即 ， 由直线 l 经过（ c， 0）和（ 0， b），可得直线 l： cy+， 直线 l 与原点 O 为圆心，以椭圆的离心率 e 为半径的圆相切，可得 =e= = ，解得 b=1，则 a=2， 即有椭圆的方程为 +； （ 2）当直线 l 的斜率存在时，设直线的方程为 y=k（ x+ ）， 代入椭圆方程 ，可得（ 1+4 24=0， 设 A（ B（ 可得 x1+ ， ， 设 M（ m， 0）， =（ m =（ m （ m m +m（ x1+）（ ） = m）（ x1+（ 1+ m）（ ） +（ 1+ +3 ， 第 17 页（共 19 页） 要使 为定值，则 =4， 解得 m= ，即有 = 当直线 l 的斜率不存在时， A（ ， ）， B（ ， ）， =（ ， ）， =（ ， ）， 可得 = 则在 x 轴上存在定点 M（ ， 0），使得 为定值 21已知 m， n R，函数 f（ x） =（ 4x+m） g（ x） =x2+5，曲线 y=f（ x）与曲线y=g（ x）在 x=1 处的切线相同 （ 1）求 f（ x）， g（ x）的解析式： （ 2）求 F（ x） =f（ x） g（ x）的