湖南省邵阳市2016年高考数学三模试卷（理科）含答案解析

湖南省邵阳市 2016 年高考数学三模试卷（理科） （解析版） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 ,。在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|1 x 2， B=x|2，则 R（ A B）等于（ ） A（ ， 2） B ， 1） C（ ， 2） D（ ， 1 2已知复数 z 满足（ z+1）（ 1 i） =1+i，则复数 z 的共轭复数为（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 3若双曲线 的虚轴长为 2，则该双曲线的焦距为（ ） A B 2 C D 2 4已知函数 f（ x） = ，给出下列两个命题： 命题 p：若 m= ，则 f（ f（ 1） =0 命题 q： m （ ， 0），方程 f（ x） =0 有解 那么，下列命题为真命题的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 5（ 5 分）（ 2016 湖北模拟）已知函数 f（ x） =2x+ ）（ 0）下的最小正周期为 ，则函数的图象（ ） A关于直 线 x= 对称 B关于点（ ， 0）对称 C关于直线 x= 对称 D关于点（ ， 0）对称 6（ 5 分）（ 2016 辽宁三模）在等差数列 ， a3+a6=，且 大于 1，则 取值范围是（ ） A（ ， 9 B 9， +） C（ ， 9） D（ 9， +） 7（ 1+ ）（ + ） 6 的展开式中的常数项是（ ） A 12 B 20 C 26 D 32 8执行如图的程序框图，则输出的 n 等于（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 9设 x， y 满足约束条件 ，若 z=ax+y 仅在点（ ， ）处取得最大值，则 ） A 4 B 2 C 2 D 1 10已知点 P 为抛物线 x 上的动点，点 Q 为圆 C：（ x+3） 2+（ y 3） 2=1 上的动点， 到 y 轴的距离，则 d+|最小值为（ ） A B 3 C 3 1 D 11（ 5 分）（ 2016 山西三模）某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A +8 B +8 C 16+8 D +16 12已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， +）上递减，若不等式 f（ ax+） +f（ 1） 2f（ 1）对 x 1， 3恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2， e B ， +） C ， e D ， 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设向量 =（ 2， 6）， =（ 1， m）， =（ 3， m），若 A， C， D 三点共线，则m= 14若 为锐角， 3 ） = 15如图， H 是球 O 的直径 一点，平面 截球 O 所得截面的面积为 9，平面 ，： 3，且点 A 到平面 的距离为 1，则球 O 的表面积为 16已 知 数列 前 ， 1， =2n N*），则 = 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分 明过程或演算步骤） 17（ 12 分）（ 2016 湖北模拟）在 ， A， B， C 的对边分别是 a， b， c，31 c 2a （ 1）求证： 等腰三角形 （ 2）若 面积为 8 且 ，求 上的中线长 18（ 12 分）（ 2016 邵阳三模）某重点高中拟把学校打造成新兴示范高中，为此制定了很多新的规章制度新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取 100 名学生进行问卷调查，调查卷共有 20 个问题，每个问题 5 分，调查结束后，按成绩分成 5 组；第 1 组75， 80），第 2 组 80， 85），第 3 组 85， 90），第 4 组 90， 95），第 5 组 95， 100），绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙两人同在第 3 组，丙、丁二人同在第 4， 5组，现在用分层抽样的方法在第 3， 4， 5 组共选取 6 人进行强化培训 （ 1）求第 3， 4， 5 组分别选取的人数； （ 2）求这 100 人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （ 3）记 X 表示甲、丙、丁三人被选取的人数，求 X 的分布列和数学期望 19（ 12 分）（ 2016 邵阳三模）如图，在直三棱柱 ， ， ，D 是线段 一点 （ 1）设 =5 ，求异面直线 成角的余弦值； （ 2）若 平面 二面角 D B 的余弦值 20（ 12 分）（ 2016 广西模拟）如图，椭圆 =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 A，B，焦距为 2 ，直线 x= a 与 y=b 交于点 D，且 |3 ，过点 B 作直线 l 交直 线 x= a 于点 M，交椭圆于另一点 P （ 1）求椭圆的方程； （ 2）证明： 为定值 21（ 12 分）（ 2016 邵阳三模）已知函数 f（ x） =4 a， g（ x） =f（ x） +b，其中 a， （ 1）若 x=1 是函数 y=x）的一个极值点，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若函数 f（ x）有 2 个零点， f（ g（ x） 有 6 个零点，求 a+b 的取值范围 请在 22、 23、 34 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。（共 1 小题，满分 10 分） 选修 4何证明选讲 22（ 10 分）（ 2016 葫芦岛一模）如图，过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B， C 两点，且 ，作直线 圆 E 相切于点 F，连结 点 D，已知圆 E 的半径为 2， 0 （ 1）求 长； （ 2）求证： 选修 4标系与参数方程 23（ 2016 邵阳三模）已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的方程为 =2 ） 2 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）点 P、 Q 分别为直线 l 与曲线 C 上的动点，求 |取值范围 选修 4等式选讲 24 （ 2016 邵阳三模）设函数 f（ x） =|x a| （ 1）当 a=2 时，解不等式 f（ x） 7 |x 1|； （ 2）若 f（ x） 1 的解集为 0， 2， + =a（ m 0， n 0），求证： m+4n 2 +3 2016 年湖南省邵阳市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 ,。在每小题给出的四 个答案中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|1 x 2， B=x|2，则 R（ A B）等于（ ） A（ ， 2） B ， 1） C（ ， 2） D（ ， 1 【分析】 解出集合 B，求出 A B，从而求出 R（ A B）即可 【解答】 解： A=x|1 x 2， B=x|2=x|x 或 x ， A B=x|x 1 或 x ， R（ A B） = ， 1， 故选： D 【点评】 本题考查了集合的交、并、补的运算，是一道基础题 2已知复数 z 满足（ z+1）（ 1 i） =1+i，则复数 z 的共轭复数为（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【分析】 直接由（ z+1）（ 1 i） =1+i 展开得 z（ 1 i） +1 i=1+i，即 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数 z 的共轭复数可求 【解答】 解：由（ z+1）（ 1 i） =1+i， 得 z（ 1 i） +1 i=1+i， 即 ， 则复数 z 的共轭复数为： 1 i 故选： D 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3若双曲线 的虚轴长为 2，则该双曲线的焦距为（ ） A B 2 C D 2 【分析】 将双曲线的方程化为 =1，（ m 0），可得 a， b， c，由题意可得 b=1，解得 m= 2，进而得到焦距 2c 【解答】 解：双曲线 即为： =1，（ m 0）， 可得 a=1， b= ， 即有 c= ， 由题意可得 2b=2，即 b=1， 即为 =1，解得 m= 2， 可得 c= ，即焦距为 2c=2 故选： B 【点 评】 本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦距的求法，将双曲线的方程化为标准方程是解题的关键，属于基础题 4已知函数 f（ x） = ，给出下列两个命题： 命题 p：若 m= ，则 f（ f（ 1） =0 命题 q： m （ ， 0），方程 f（ x） =0 有解 那么，下列命题为真命题的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 【分析】 分别判断出 p， q 的真假，从而判断出复合命 题的真假即可 【解答】 解：若 m= ，则 f（ f（ 1） =f（ ） =0，命题 p 是真命题； 若 m 0，则 m 0，而 2x 0，故 f（ x） 0，命题 q 是假命题； 故 p （ q）是真命题， 故选： C 【点评】 本题考查了二次函数以及指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题 5（ 5 分）（ 2016 湖北模拟）已知函数 f（ x） =2x+ ）（ 0）下的最小正周期为 ，则函数的图象（ ） A关于直线 x= 对称 B关于点（ ， 0）对称 C关于直线 x= 对称 D关于点（ ， 0）对称 【分析】 由题意和函数的周期性可得 值，验证可得对称性 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+ ）（ 0）下的最小正周期为 ， =，解得 =1， f（ x） =2x+ ）， 由 2x+ =可得 x= + ， k Z， 结合选项可知当 k=2 时，函数一条 对称轴为 x= ， 故选： A 【点评】 本题考查正弦函数的图象，涉及周期性和对称性，属基础题 6（ 5 分）（ 2016 辽宁三模）在等差数列 ， a3+a6=，且 大于 1，则 取值范围是（ ） A（ ， 9 B 9， +） C（ ， 9） D（ 9， +） 【分析】 由等差数列的性质得 a3+a6=a4+而 ，又 1，进而 d ，由此能求出取值范围 【解答】 解： 在等差数列 ， a3+a6=，且 大于 1， 又 a3+a6=a4+ ，又 1， 5 3d 1， d ， a8=d 5+4=9 取值范围是 9， +） 故选： B 【点评】 本题考查等差数列的第 8 项的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 7（ 1+ ）（ + ） 6 的展开式中的常数项是（ ） A 12 B 20 C 26 D 32 【分析】 根据（ + ） 6 展开式的通项公式，即可计算（ 1+ ）（ + ） 6 展开式的常数项 【解答】 解：（ + ） 6 展开式的通项公式为 = = r， 分别令 r=3、 r=1，可得（ 1+ ）（ + ） 6 展开式中的常数项， 故（ 1+ ）（ + ） 6 展开式中常数项为 +2 =32 故选： D 【点评】 本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开 式的通项公式，二项式系数的性质的应用问题，是基础题目 8执行如图的程序框图，则输出的 n 等于（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 m， n 的值，当 m=9， n=6 时满足条件 m n=3，退出循环，输出 n 的值为 6，从而得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： m=1， n=1 执行循环体，不满足条件 m n， m=3， n=2 不满足条件 m n=3，执行循环体，满足条件 m n， m=2， n=3 不满足条件 m n=3，执行循环体，不满足条件 m n， m=5， n=4 不满足条件 m n=3，执行循环体，满足条件 m n， m=4， n=5 不满足条件 m n=3，执行循环体，不满足条件 m n， m=9， n=6 满足条件 m n=3，退出循环，输出 n 的值为 6 故选： B 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题 9设 x， y 满足约束条件 ，若 z=ax+y 仅在点（ ， ）处取得最大值，则 ） A 4 B 2 C 2 D 1 【分析】 作出其平面区域，由图确定若目标函数 z=ax+y（其中 a 0）仅在点（ 3， 1）处取得最大值时斜率 a 的要求，从而求出 a 的取值范围 【解答】 解：由题意，作出 x， y 满足约束条件 平面区域如下图： 目标函数 z=ax+y（其中 a 0）可化为 y= ax+z， 则由目标函数 z=ax+y（其中 a 0）仅在点（ ， ）处取得最大值， 得： a 2， 即 a 2 故选： A 【点评】 本题考查了简单的线性规划的应用，注意作图要仔细，而且注意参数的几何意义是解决问题的关键，属中档题 10已知点 P 为抛物线 x 上的动点，点 Q 为圆 C：（ x+3） 2+（ y 3） 2=1 上的动点， 到 y 轴的距离，则 d+|最小值为（ ） A B 3 C 3 1 D 【分析】 设抛物线焦点为 F，根据抛物线的性质可知 d=| 1，连结 d+|最小值为 | 1 1 【解答】 解： 抛物线的准线方程为 x= 1，焦点 F（ 1， 0） P 到直线 x= 1 的距离等于| P 到 y 轴的距离 d=| 1， d+| 1 当 F， P， Q 三点共线时， |得最小值 | 1 C（ 3， 3）， F（ 1， 0）， |5， d+|最小值为 5 1 1=3 故选： B 【点评】 本题考查了抛物线的性质，两点间的距离公式，属于中档题 11（ 5 分）（ 2016 山西三模）某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A +8 B +8 C 16+8 D +16 【分析】 由三视图知该几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥， 且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条边分别是 2、 4， 其中一条侧棱与底面垂直，高都是 2， 圆柱的底面圆半径是 2、母线长是 4， 几何体的体积 V=2 + = ， 故选： B 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 12已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， +）上递减，若不等式 f（ ax+） +f（ 1） 2f（ 1）对 x 1， 3恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2， e B ， +） C ， e D ， 【分析】 由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得 0 2 对 x 1， 3恒成立令g（ x） =由 g（ x） =a =0，求得 x= 分类讨论求得 g（ x）的最大值和最小值，从而求得 a 的范围 【解答】 解： 定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 0， +）上递减， f（ x）在（ ， 0）上单调递增， 若不等式 f（ ax+） +f（ 1） 2f（ 1）对 x 1， 3恒成立， 则 2f（ 1） 2f（ 1）对 x 1， 3恒成立，即 f（ 1） f（ 1）对 x 1，3恒成立 1 1 1 对 x 1， 3恒成立， 即 0 2 对 x 1， 3恒成立 令 g（ x） =由 g（ x） =a =0，求得 x= 当 1，即 a 0 或 a 1 时， g（ x） 0 在 1， 3上恒成立， g（ x）为增函数， 最小值 g（ 1） =a 0，最大值 g（ 3） =3a 2， 0 a ， 综合可得， 1 a 当 3，即 0 a 时， g（ x） 0 在 1， 3上恒成立， g（ x）为减函数， 最大值 g（ 1） =a 2，最小值 g（ 3） =3a 0， a 2， 综合可得， a 无解 当 1 3，即 a 1 时，在 1， ）上， g（ x） 0 恒成立， g（ x）为减函数； 在（ ， 3上， g（ x） 0 恒成立， g（ x）为增函数 故函数的最小值为 g（ ） =1 g（ 1） =a， g（ 3） =3a g（ 3） g（ 1） =2a 若 2a 0，即 a 1， g（ 3） g（ 1） 0， 则最大值为 g（ 3） =3a 此时，由 1 0， g（ 3） =3a 2，求得 a ，综合可得， a 1 若 2a 0，即 a g（ 3） g（ 1） 0，则最大值为 g（ 1） =a， 此时，最小值 1 0，最大值 g（ 1） =a 2，求得 a 2， 综合可得 a 综合 可得， 1 a 或 a 1 或 a 即 a ， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于难题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设向量 =（ 2， 6）， =（ 1， m）， =（ 3， m），若 A， C， D 三点共线，则m= 9 【分析】 由 A， C， D 三点共线可得 与 共线，由向量共线的坐标表示可得 m 的方程，解方程可得 【解答】 解： 向量 =（ 2， 6）， =（ 1， m）， =（ 3， m）， = + =（ 2， 6） +（ 1， m） =（ 1， 6+m）， A， C， D 三点共线， 与 共线， 1 m=3（ 6+m）解得 m= 9， 故答案为： 9 【点评】 本题考查平面向量共线的坐标表示，把三点共线转化为向量共线是解决问题的关键，属基础题 14若 为锐角， 3 ） = 【分析】 由题意和同角三角函数基本关系可得 入两角差的余弦公式计算可得 【解答】 解： 为锐角， 0， 又 3 3， 约掉 得 ， = ， ） = + = 故答案为： 【点评】 本题考查两角和与差的余弦公式和同角三角函数基本关系，属基础题 15如图， H 是球 O 的直径 一点，平面 截球 O 所得截面的面积为 9，平面 ，： 3，且点 A 到平面 的距离为 1，则球 O 的表面积为 40 【分析】 设球的半径为 R，根据题意知由与球心距离为 R 的平面截球所得的截面圆的面积是 9，我们易求出截面圆的半径为 3，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积 【解答】 解：设球的半径为 R， ： 3，且点 A 到平面 的距离为 1， 球心 O 到平面 的距离 d 为 1， 截球 O 所得截面的面积为 9， 截面圆的半径 r 为 3， 故由 R2=r2+ 2+12=10， 球的表面积 S=40 故填： 40 【点评】 本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为 r，球心距为 d，球半径为 R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理 16已知 数列 前 n 项和，且 ， 1， =2n N*），则 = 32n+1 1 【分析】 ， 1，可得 4 于 =2n N*），可得： =22数列 2成等比数列，可得 2=2n 2，利用数列 等比数列，即可得出 【解答】 解： ， 1， 4 0 =2n N*）， =22 数列 2成等比数列， 0，公比为 2 2=2n 2=10 2n 2 数列 等比数列，首项 ，公比为 2 则 = +10 2n 1=3 2n+1 1 故答案为： 3 2n+1 1 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式性质及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分 明过程或演算步骤） 17（ 12 分）（ 2016 湖北模拟）在 ， A， B， C 的对边分别是 a， b， c，31 c 2a （ 1）求证： 等腰三角形 （ 2）若 面积为 8 且 ，求 上的中线长 【分析】 （ 1）由已知式子和正弦定理可得 31解因式结合题意可得 c=a，可得 等腰三角形； （ 2）由题意和三角形的面积公式可得 a=c=8，由同角三角函数基本关系可得 用余弦定理可得 【解答】 解：（ 1） 在 31 由正弦定理可得 31 分解因式可得（ c a）（ 3c 8a） =0 解得 c=a 或 c= ，由 c 2a 可得 c=a， 故 等腰三角形； （ 2） 面积为 8 ，且 ， 8 = 解得 a=c=8， 由同角三角函数基本关系可得 = 设 上的中线长为 x，当 时， 由余弦定理可得 2+42 2 4 8 4， x=8； 当 时，同理可得 2+42 2 4 8 6， x=4 【点评】 本题考查解三角形，涉及正余弦定理的 应用，属中档题 18（ 12 分）（ 2016 邵阳三模）某重点高中拟把学校打造成新兴示范高中，为此制定了很多新的规章制度新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取 100 名学生进行问卷调查，调查卷共有 20 个问题，每个问题 5 分，调查结束后，按成绩分成 5 组；第 1 组75， 80），第 2 组 80， 85），第 3 组 85， 90），第 4 组 90， 95），第 5 组 95， 100），绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙两人同在第 3 组，丙、丁二人同在第 4， 5组，现在用分层抽样的方法在第 3， 4， 5 组共选取 6 人进行强 化培训 （ 1）求第 3， 4， 5 组分别选取的人数； （ 2）求这 100 人的平均得分（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （ 3）记 X 表示甲、丙、丁三人被选取的人数，求 X 的分布列和数学期望 【分析】 （ 1）由频率分布图，先分别求出 3， 4， 5 组的人数，由此能求出用分层抽样的方法在第 3， 4， 5 组共选取 6 人进行强化培训，第 3， 4， 5 组分别选取的人数 （ 2）利用频率分布直方图能求出这 100 人的平均得分 （ 3）由题意 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概 率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）由频率分布图，得： 第 3 组人数为： 5 100=30 人， 第 4 组人数为： 5 100=20 人， 第 5 组人数为： 5 100=10 人， 用分层抽样的方法在第 3， 4， 5 组共选取 6 人进行强化培训， 第 3 组选取的人数为： 30 =3 人， 第 4 组选取的人数为： 20 =2 人， 第 5 组选取的人数为： 10 =1 人 （ 2）这 100 人的平均得分： =5 5 5 5 5 （ 3） 第 3 组选取的人数为 3 人，第 4 组选取的人数为 2 人，第 5 组选取的人数为 1 人 甲、乙两人同在第 3 组，丙、丁二人同在第 4， 5 组， X 表示甲、丙、丁三人被选取的人数， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = X 的分布列为： X 0 1 2 3 P +2 +3 =1 【点评】 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量分布列 及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 19（ 12 分）（ 2016 邵阳三模）如图，在直三棱柱 ， ， ，D 是线段 一点 （ 1）设 =5 ，求异面直线 成角的余弦值； （ 2）若 平面 二面角 D B 的余弦值 【分析 】 （ 1）建立空间坐标系，根据 =5 ，求出 D 的坐标，结合异面直线所成角的定义进行求解， （ 2）根据 平面 用平面向量共面的基本定理求出 D 的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可 【解答】 解：（ 1） 建立以 C 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： ， ， C（ 0， 0， 0）， A（ 3， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， 0， 0， 4）， 0， 4， 4）， 则 =（ 3， 4， 0），设 D（ x， y， 0）， =5 ， （ 3， 4， 0） =5（ x 3， y， 0）， 则 则 ，即 D（ ， ， 0）， 则 =（ ， ， 0）， =（ 3， 0， 4）， 则 ， = = = ， 则异面直线 成角的余弦值是 （ 2） D（ x， y， 0），则 =（ 0， 4， 4）， =（ x， y， 0）， =（ 3， 0， 4） 平面 设 =t =（ 3t， 4t， 0）， 则 = + =（ 3 3t， 4t， 0） 存在两个实数 m， n 有 =m +n 即 （ 3， 0， 4） =m（ 0， 4， 4，） +n（ 3 3t， 4t， 0）， 即 ，则 m=1， n= 2， t= ， 即 =（ 3 3t， 4t， 0） =（ ， 2， 0）， 即 D 是 中点， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 令 y=1，则 z= 1， x= ，即 =（ ， 1， 1）， 平面 一个法向量为 =（ 1， 0， 0）， 则 ， = = = ， 二面角 D B 是锐二面角， 二面角 D B 的余弦值是 【点评】 本题主要考查异面直线所成角以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法难度较大 20（ 12 分）（ 2016 广西模 拟）如图，椭圆 =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 A，B，焦距为 2 ，直线 x= a 与 y=b 交于点 D，且 |3 ，过点 B 作直线 l 交直线 x= a 于点 M，交椭圆于另一点 P （ 1）求椭圆的方程； （ 2）证明： 为定值 【分析】 （ 1）利 用已知条件列出 ，求解可得椭圆的方程 （ 2）设 M（ 2， P（ 推出 =（ =（ 2， 直线 入椭圆方程，由韦达定理得 后求解 为定值 【解答】 解：（ 1）由题可得 ， ， 椭圆的方程为 （ 5 分） （ 2） A（ 2， 0）， B（ 2， 0），设 M（ 2， P（ 则 =（ =（ 2， 直线 方程为： ，即 ， （ 7 分） 代 入椭圆方程 ，得 ， （ 8 分） 由韦达定理得 ， （ 9 分） ， ， （ 10 分） = 2x1+ + = =4 即 为定值 （ 12 分） 【点评】 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，函数与方程的思想的应用 21（ 12 分）（ 2016 邵阳三模）已知函数 f（ x） =4 a， g（ x） =f（ x） +b，其中 a， （ 1）若 x=1 是函数 y=x）的一个极值点，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若函数 f（ x）有 2 个零点， f（ g（ x）有 6 个零点，求 a+b 的取值范围 【分析】 （ 1）求得函数 y=x）的导数，由极值的概念可得 a=12，求出 f（ x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程； （ 2）求出 f（ x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为 2，可得 a=3，作出 y=f（ x）的图象，令 t=g（ x），由题意可得 t= 1 或 t= ，即 f（ x） = 1 b 或 f（ x） = b 都有 3个实数解，由图象可得 1 b 0，且 b 0，即可得到所求 a+b 的范围 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =4 a， 则 y=x） =4 导数为 y=12a， 由题意可得 12 a=0，解得 a=12， 即有 f（ x） =4 12， f（ x） =8x ， 可得曲线在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 7，切点为（ 1， 7）， 即有曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y+7=7（ x 1）， 即为 y=7x 14； （ 2）由 f（ x） =4 a，导数 f（ x） =8x ， 当 x 时， f（ x） 0， f（ x）递增；当 x 0 或 0 x 时， f（ x） 0， f（ x）递减 可得 x= 处取得极小值，且为 3 a， 由 f（ x）有两个零点，可得 3 a=0，即 a=3，零点分别为 1， 令 t=g（ x），即有 f（ t） =0，可得 t= 1 或 ， 则 f（ x） = 1 b 或 f（ x） = b， 由题意可得 f（ x） = 1 b 或 f（ x） = b 都有 3 个实数解， 则 1 b 0，且 b 0，即 b 1 且 b ， 可得 b 1，即有 a+b 2 则 a+b 的范围是（ ， 2） 【点评】 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题 请在 22、 23、 34 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。（共 1 小题，满分 10 分） 选修 4何证明选讲 22（ 10 分）（ 2016 葫芦岛一模）如图，过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B， C 两点，且 ，作直线 圆 E 相切于点 F，连结 点 D，已知圆 E 的半径为 2， 0 （ 1）求 长； （ 2）求证： 【分析】 （ 1）延长 圆 E 于点 M，连结 0，由已知条件求出 C，再由切割线定理能求出 （ 2）过 E 作 H，得到 此入手能够证明 【解答】 （ 1）解：