江西省吉安市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年江西省吉安市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若 a、 b、 c R，且 a b 0，则下列不等式一定成立的是（ ） A a c b c B C D “二孩政策 ”的出台，给很多单位安排带来新的挑战 ，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工 300 人，其中年龄在 40 岁以上的有 50 人，年龄在 30， 40之间的有 150 人， 30 岁以下的有 100 人，现按照分层抽样取 30 人，则各年龄段抽取的人数分别为（ ） A 5， 15， 10 B 5， 10， 15 C 10， 10， 10 D 5， 5， 20 3已知 三边比为 3： 5： 7，则这个三角形的最大角的正切值是（ ） A B C D 4在某海洋军事演习编队中，指挥舰 00 号与驱逐舰 01 号、 02 号的距离一直保持 100 海里的距离，当驱逐舰 01 号在指挥舰 00 号的北偏东 15， 02 号在 00 号南偏东 45时，则驱逐舰01 号与 02 号相距（ ） A 100 海里 B 100 海里 C 100 海 里 D 200 海里 5下列四个命题一定正确的是（ ） A算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构，循环结构 B用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，总体容量越大，估计越精确 C一组数据的方差为 3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的 3 倍，所得的新数据组的方差还是 3 D有 50 件产品编号从 1 到 50，现在从中抽取 5 件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为5， 15， 20， 35， 40 6已知 a=b=（ ） c=则 a、 b、 c 大小关系正确的是（ ） A c a b B a b c C c b a D b c a 7设 等差数列 前 n 项和，若 0， a1+0，则当 大时正整数 n 为（ ） A 4 B 5 C 6 D 10 8执行如图所示的程序框图，若输入 S 的值为 1，则输出 S 的值为（ ） 第 2 页（共 17 页） A 1 B C 2 D 3 9已知函数 f（ x） = 满足 a 1， 7，那么对于 a，使得 f（ x） 0 在 x 1，4上恒成立的概率为（ ） A B C D 10下列命题一定正确的是（ ） A在等差数列 ，若 ap+aq=ar+ p+q=r+ B已知数列 前 n 项和为 等比数列，则 是等比数列 C在数列 ，若 ap+ 等差数列 D在数列 ，若 apaq=a ，则 等比数列 11已知函数 f（ x） =1 2 f（ 1） 1，则实数 x 的取值范围为（ ） A（ ， ） B（ 1， ） C（ 2， 1） （ 1， 2） D（ ， 1） （ 1， ） 12已知 f（ x）是偶函数，且 f（ x+ ） =f（ x），当 x 0 时， f（ x） =（ ） x 1，记 an=f（ ）， n N+，则 ） A 1 B 1 C 1 D 1 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某厂有一个新工人生产 5 件产品中有 3 件合格品，其余为次品，现从这 5 件产品中任取2 件，恰有一件合格品的概率为 14若正数 a、 b 满足 a+2b=1，则 + 的最小值是 15观察下列图，并阅读图形下面的文字，依此推断 n 条直线的交点个数最多是 16已知数列 n 2 时满足 = + ，且 ， + + =9， 的前 n 项和，则 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17一个盒子中装有 5 张编号依次为 1， 2， 3， 4， 5 的卡片，这 5 张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片 （ 1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果； 第 3 页（共 17 页） （ 2）求条件 “取出卡片的号码之和不小于 7 或小于 5”的概率 18已知公差为 0 的等差数列 足 ，且 2， 等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记数列 的前 n 项和为 求使得 + 成立的最小正整数 n 19在锐角 ， = （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2，且 C+2B ）取得最大值时，求 面积 20从吉安市某校高一的 1000 名学生随机抽取 50 名分析期中考试数学成绩，被抽取学生成绩全部介于 95 分和 135 分之间，将抽取的成绩分成八组：第一组 95， 100，第二组 100，105， ，第八组 130， 135，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分，已知前三组的人数成等差数列，第六组的人数为 4 人，第一组的人数是第七组、第八组人数之和 （ 1）在图上补全频率分布直方图，并估计该校 1000 名学生中成绩在 120 分以上（含 120分）的人数； （ 2）若从成绩属于第六组，第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x， y，事件 G=|x y| 5|，求 P（ G） 21某集团公司为了获 得更大的收益，决定以后每年投入一笔资金用于广告促销经过市场调查，每年投入广告费 t 百万元，可增加销售额约（ 2t+ ）百万元（ t 0） （ 1）若公司当年新增收益不少于 万元，求每年投放广告费至少多少百万元？ （ 2）现公司准备投入 6 百万元分别用于当年广告费和新产品开发，经预测，每投入新产品开发费 x 百万元，可增加销售额约（ +3x+ ）百万元，问如何分配这笔资金，使该公司获得新增收益最大？（新增收益 =新增销售额投入） 22已知数列 前 n 项和 n+1，（ n N*） （ 1）求数列 通项 （ 2）设 bn=n，求数列 前 n 项和 （ 3）设 ，求证： c1+（ n N*） 第 4 页（共 17 页） 2015年江西省吉安市高一（ 下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若 a、 b、 c R，且 a b 0，则下列不等式一定成立的是（ ） A a c b c B C D 考点】 不等式的基本性质 【分析】 根据不等式的基本性质，分别判断四个 答案中的不等式是否恒成立，可得结论 【解答】 解： a b 0， a c b c，故 A 错误； ，故 B 正确； 当 c 0 时， ，故 C 错误； 当 c=0 时， D 错误； 故选： B 2 “二孩政策 ”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领 导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工 300 人，其中年龄在 40 岁以上的有 50 人，年龄在 30， 40之间的有 150 人， 30 岁以下的有 100 人，现按照分层抽样取 30 人，则各年龄段抽取的人数分别为（ ） A 5， 15， 10 B 5， 10， 15 C 10， 10， 10 D 5， 5， 20 【考点】 分层抽样方法 【分析】 本题是一个分层抽样，根据该单位有女职工 300 人，要取一个容量为 30 的样本，得到本单位每个女职工被抽到的概率，即可得到答案 【解答】 解：抽取人数与女职工总数的比是 30： 300=1： 10 年龄在 40 岁以上的有 50 人，年龄在 30， 40之间的有 150 人， 30 岁以下的有 100 人， 在分层抽样时，各年龄段抽取的人数分别为 5 人、 15 人和 10 人 故选： A 3已知 三边比为 3： 5： 7，则这个三角形的最大角的正切值是（ ） A B C D 【考点】 余 弦定理 【分析】 设三边长依次为 3t， 5t， 7t，其中 t 0，设最大角是 C，由余弦定理求得 值，可得 C 的正切 【解答】 解： 三边比为 3： 5： 7，设三边长依次为 3t， 5t， 7t，其中 t 0， 设最大角是 C，由余弦定理知， 4952 3t 5 ，所以 C=120 则由余弦定理可得 ， 故选： D 第 5 页（共 17 页） 4在某海洋军事演习编队中，指挥舰 00 号与驱逐舰 01 号、 02 号的距离一直保持 100 海里的距离，当驱逐舰 01 号在指挥舰 00 号的北偏东 15， 02 号在 00 号南偏东 45时，则驱逐舰01 号与 02 号相距（ ） A 100 海里 B 100 海里 C 100 海里 D 200 海里 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 首先由题意画出示意图，然后解三角形可得 【解答】 解：由题意，示意图如图：已知驱逐舰 01 号在 A 处的指挥舰 00 号的北偏东 15的 C 处， 02 号在 00 号南偏东 45的 B 处，由已知得到 20， C=100m， 所以 230000， 所以 00 ； 所以驱逐舰 01 号与 02 号相距 100 海里； 故选 C 5下列四个命题一定正确的是（ ） A算法的三种基本结构 是顺序结构、条件结构，循环结构 B用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，总体容量越大，估计越精确 C一组数据的方差为 3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的 3 倍，所得的新数据组的方差还是 3 D有 50 件产品编号从 1 到 50，现在从中抽取 5 件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为5， 15， 20， 35， 40 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据算法的结构进行判断， B样本容量越大，估计越精确， C样本方差满足平方关系， D系统抽样要求样本间隔相同 第 6 页（共 17 页） 【解答】 解： A根据算法的内容可知算法的三 种基本结构是顺序结构、条件结果、循环结构正确， B样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确，故 B 错误， C一组数据的方差为 3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的 3 倍，所得的新数据组的方差 9，故 C 错误， D有 50 件产品编号从 1 到 50，现在从中抽取 5 件检验，用系统抽样则样本间隔为 50 5=10， 则编号为 5， 15， 20， 35， 40 的样本间隔不是 10，故 D 错误， 故选： A 6已知 a=b=（ ） c=则 a、 b、 c 大小关系正确的是（ ） A c a b B a b c C c b a D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【解答】 解： a=1， b=（ ） = ， c= ， b c a， 故选： D 7设 等差数列 前 n 项和，若 0， a1+0，则当 大时正整数 n 为（ ） A 4 B 5 C 6 D 10 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由等差数列通项公式得到 d 0， 4 ，由此能求出当 大时正整数 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和， 0， a1+0， ， ， d 0， 4 Sn= +（ ） n= ， n= = （ ， 5）， 当 大时正整数 n 为 5 故选： B 8执行如图所示的程序框图，若输入 S 的值为 1，则输出 S 的值为（ ） 第 7 页（共 17 页） A 1 B C 2 D 3 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S= 1， i=1 S= 满足条件 i 2016，执行循环体， i=2， S=2 满足条件 i 2016，执行循环体， i=3， S= 1 满足条件 i 2016，执行循环体， i=4， S= 观察规律可知 S 的取值周期为 3，由于 2016=672 3，可得 满足条件 i 2016，执行循环体， i=2016， S= 1 满足条件 i 2016，执行循环体， i=2017， S= 不满足条件 i 2016，退出循环，输出 S 的值为 故选： B 9已知函数 f（ x） = 满足 a 1， 7，那么对于 a，使得 f（ x） 0 在 x 1，4上恒成立的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由 f（ x） 0 在 x 1， 4上恒成立，可得 a x+ 在 x 1， 4上恒成立，可得 a 1， 4求出区间 1， 4上构成的区域长度，再求出在区间 1， 7上任取一个数构成的区域长度，再求两长度的比值 第 8 页（共 17 页） 【解答】 解：由 f（ x） 0 在 x 1， 4上恒成立，可 得 a x+ 在 x 1， 4上恒成立， a 4 又 a 1， 7， a 1， 4， 使得 f（ x） 0 在 x 1， 4上恒成立的概率为 = ， 故选： C 10下列命题一定正确的是（ ） A在等差数列 ，若 ap+aq=ar+ p+q=r+ B已知数列 前 n 项和为 等比数列，则 是等比数列 C在数列 ，若 ap+ 等差数列 D在数列 ，若 apaq=a ，则 等比数列 【考点】 等差关系的确定；等比关系的确定 【分析】 A在等差数列 ，公差 d=0， p+q=r+ 不一定正确； B若 等比数列，必须 不等于 0 时， 可判断出正误； C利用等差数列的性 质即可判断出结论； D在数列 ， apaq=a ，则 ， 一定成等比数列 【解答】 解： A在等差数列 ，若 ap+aq=ar+差 d=0，则 p+q=r+ 不一定正确； B在数列 前 n 项和为 等比数列，必须 不等于0 时，成 是等比数列，因此不正确； C在数列 ，若 ap+ 等差 数列，正确； D在数列 ，若 apaq=a ，则 一定成等比数列，没有条件 0 故选： C 11已知函数 f（ x） =1 2 f（ 1） 1，则实数 x 的取值范围为（ ） A（ ， ） B（ 1， ） C（ 2， 1） （ 1， 2） D（ ， 1） （ 1， ） 【考点】 指、对数不等式的解法 【分析】 由函数的性质得到 1） 0，再根据对数函数的性质即可求出 【解答】 解： 函数 f（ x） =1 2f（ 1） 1， 1 21） 1， 即 1） 0= 0 1 1， 解得 x 1，或 1 x ， 故不等式的解集为（ ， 1） （ 1， ）， 故选： D 第 9 页（共 17 页） 12已知 f（ x）是偶函数，且 f（ x+ ） =f（ x），当 x 0 时， f（ x） =（ ） x 1，记 an=f（ ）， n N+，则 ） A 1 B 1 C 1 D 1 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数奇偶性和对称性求出函数是周期为 1 的周期函数，根据数列和函数的关系，结合函数的周期性进行转化求解即可 【解答】 解： f（ x）是偶函数，且 f（ x+ ） =f（ x）， f（ x+ ） =f（ x） =f（ x ）， 即 f（ x+1） =f（ x）， 即函数 f（ x）是周期为 1 的周期函数， 则 f（ ） =f=f（ ） =f（ ）， 当 x 0 时， f（ x） =（ ） x 1， f（ ） =（ ） 1= 1= 1， 故 f（ ） = 1， 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某厂有一个新工人生产 5 件产品中有 3 件合格品，其余为次品，现从这 5 件产品中任取2 件，恰有一件合格品的概率为 【考点】 列举法计算基本 事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数，再求出恰有一件合格品包含的基本事件个数，由此能求出恰有一件合格品的概率 【解答】 解：某厂有一个新工人生产 5 件产品中有 3 件合格品，其余为次品， 现从这 5 件产品中任取 2 件， 基本事件总数 n= ， 恰有一件合格品包含的基本事件个数 m= =6， 恰有一件合格品的概率 p= = 故答案为： 第 10 页（共 17 页） 14若正数 a、 b 满足 a+2b=1，则 + 的最小值是 8 【考点】 基本不等式 【分析】 利用 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： 正数 a、 b 满足 a+2b=1， 则 + =（ a+2b） =4+ 4+2 =8，当且仅当 a=2b= 时取等号 + 的最小值是 8 故答案为： 8 15观察下列图，并阅读图形下面的文字，依此推断 n 条直线的交点个数最多 是 n（ n 1） 【考点】 归纳推理 【分析】 根据 2 条、 3 条、 4 条直线相交交点个数最多的数目，归纳总结得到一般性规律确定出 n 条直线交点个数最多的即可 【解答】 解： 2 条直线相交，最多有 2 （ 2 1） =1 个交点； 3 条直线相交，最多有 3 （ 3 1） =3 个交点； 4 条直线相交，最多有 4 （ 4 1） =6 个交点， ， 依此类推， n 条直线相交，最多有 n（ n 1）个交点， 故答案为： n（ n 1） 16已知数列 n 2 时满足 = + ，且 ， + + =9， 的前 n 项和，则 7 【考点】 数列的求和 【分析】 数列 n 2 时满足 = + ，可得数列 是等差数列，设公差为 d由 + + =9，可得 =9，解得 =3由 ，可得 =24，因此（ 3 2d） 3 （ 3+2d） =24，解出 d，进而得出 第 11 页（共 17 页） 【解答】 解： 数列 n 2 时满足 = + ， 数列 是等差数列，设公差为 d + + =9， =9，解得 =3 ， =24， （ 3 2d） 3 （ 3+2d） =24， 解得 d= d= 时， = +（ n 5） d=3+ = =7 d= 时， = +（ n 5） d=3 = （舍去， n=11 时不存在） 综上可得： 故答案为： 7 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17一个盒子中装有 5 张编号依次为 1， 2， 3， 4， 5 的卡片，这 5 张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片 （ 1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果； （ 2）求条件 “取出卡片的 号码之和不小于 7 或小于 5”的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）先求出基本事件总数 n=5 5=25，再利用列举法列出所有可能结果 （ 2）利用列举法求出 “取出卡片的号码之和不小于 7 或小于 5”包含的基本事件个数，由此能求出 “取出卡片的号码之和不小于 7 或小于 5”的概率 【解答】 解：（ 1）盒子中装有 5 张编号依次为 1， 2， 3， 4， 5 的卡片，这 5 张卡片除号码外完全相同， 现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片， 基本事件总数 n=5 5=25， 所有可能结果为： （ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 3）， （ 3， 4），（ 3， 5），（ 4， 1），（ 4， 2），（ 4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5），（ 5， 1），（ 5， 2），（ 5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5） （ 2） “取出卡片的号码之和不小于 7 或小于 5”包含的基本事件有： （ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 5），（ 3， 1），（ 3， 4），（ 3， 5）， （ 4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5），（ 5， 2），（ 5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5），共有 m=16 个， 第 12 页（共 17 页） “取出卡片的号码之和不小于 7 或小于 5”的概率 p= = 18已知公差为 0 的等差数列 足 ，且 2， 等比数列 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记数列 的前 n 项和为 求使得 + 成立的最小正整数 n 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）设数列 公差为 d，根据等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出 d 的值，代入等差数列的通项公式求出 （ 2）由（ 1）化简 ，利用裂项相消法求出 简 + 求出 n 的范围，即可求出最小正整数 n 【解答】 解：（ 1）设数列 公差为 d， 由 2， 等比数列得，（ 2d 1） 2=1 （ 1+8d）， 则 3d=0，解得 d=3 或 d=0（舍去）， 所以 +（ n 1） d=3n 2； （ 2）由（ 1）得， = = （ ）， 则 （ 1 ） +（ ） +（ ） = （ ） = ， 所以 + 为 + ，化简得， 25n 8 0，又 n 是正整数，解得 n 26， 所以 ，使得 + 成立的最小正整数 n 为 26 19在锐角 ， = （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2，且 C+2B ）取得最大值时，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）利用余弦定理、诱导公式化简所给的式子，求得 值，可得 A 的值 （ 2）由（ 1）可得 B+C= ，故有 C+2B =B ，再利用两角和差的三角公式、正弦函数的值域求得 C+2B ）取得最大值 ，此时， 等边三角形，从而求得它的面积 第 13 页（共 17 页） 【解答】 解：（ 1）锐角 ， = ， = ， ， A= （ 2）由（ 1）可得 B+C= ， C+2B =B ， C+2B ） =B ） = B+ ）， 故当 B+ = 时，即 B= 时， C+2B ）取得最大值 ，此时， A=B=C= ， 等边三角形， 面积为 bc22 = 20从吉安市某校高一的 1000 名学生随机抽取 50 名分析期中考试数学成绩，被抽取学生成绩全部介于 95 分和 135 分之间，将抽取的成绩分成八组：第一组 95， 100，第二组 100，105， ，第八组 130， 135，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分，已知前三组的人数成等差数列，第六组的人数为 4 人，第一组的人数是第七组、第八组人数之和 （ 1）在图上补全频率分布直方图，并估计该校 1000 名学生中成绩在 120 分以上（含 120分）的人数 ； （ 2）若从成绩属于第六组，第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x， y，事件 G=|x y| 5|，求 P（ G） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由题意得：第四组有 10 名，第五组有 6 名，第七组有 4 名，第八组有 2 名，从而前三组共有 24 名，进而第一组有 6 名，第二组 8 名，第三组 10 名，由此作出频率分布直方图，估计该校 1000 名学生中成绩在 120 分以上（含 120 分）的人数 （ 2）记第四组 4 名 学生为 a， b， c， d，第八组 2 名学生为 E， F，由此利用列举法能求出事件 G=|x y| 5|的概率 P（ G） 【解答】 解：（ 1）由题意得：第四组有 10 名，第五组有 6 名，第七组有 4 名，第八组有 2名， 则前三组共有 24 名， 前三组的人数成等差数列，第一组有 6 名， 第二组 8 名，第三组 10 名， 由此作出频率分布直方图，如右图 由频率分布直方图得成绩在 120 分以上（含 120 分）的频率为：（ 5= 第 14 页（共 17 页） 估计该校 1000 名学生中成绩在 120 分以上（含 120 分）的人数为： 1000 00 人 （ 2）记第四组 4 名学生为 a， b， c， d， 第八组 2 名学生为 E， F， 所有学生中随机抽取两名学生有 dE， 15 种情况， 而事件 G 含有 7 种情况， 事件 G=|x y| 5|的概率 P（ G） = 21某集团公司为了获得更大的收益，决定以后每年投入一笔 资金用于广告促销经过市场调查，每年投入广告费 t 百万元，可增加销售额约（ 2t+ ）百万元（ t 0） （ 1）若公司当年新增收益不少于 万元，求每年投放广告费至少多少百万元？ （ 2）现公司准备投入 6 百万元分别用于当年广告费和新产品开发，经预测，每投入新产品开发费 x 百万元，可增加销售额约（ +3x+ ）百万元，问如何分配这笔资金，使该公司获得新增收益最大？（新增收益 =新增销