湖南省东部六校2016届高三上12月联考数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年湖南省东部六校高三（上） 12 月联考数学试卷（文科） 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求 . 1已知集合 M= 2， 1， 0， 1， N=x| 2x 4， x Z，则 MN=（ ） A M= 2， 1， 0， 1， 2 B M= 1， 0， 1， 2 C M= 1， 0， 1 D M=0， 1 2已知 i 是虚数单位，设复数 +i， +2i，则 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数 y=lg|x|（ ） A是偶函数，在区间（ ， 0）上单调递增 B是偶函数，在区间（ ， 0）上单调递减 C是奇函数，在区间（ ， 0）上单调递增 D是奇函数，在区间（ ， 0）上单调递减 4设向量 ， =（ 2， 若 ，则 ）等于（ ） A B C 3 D 3 5将函数 y=x+ ）的图象上各点的横坐标压缩为原来的 倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ）6已知 公差不为 0 的等差数列 前项和，且 等比数列，则 =（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 7已知椭圆的中心在原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（ ）A 4 B 8 C 4 D 8 9实数 x， y 满足 （ a 1），且 z=2x+y 的最大值是 最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ） A B C D 10执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出 S 的值为（ ） A 4 B 8 C 10 D 12 11已知 P、 Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点，分别位于第一 象限和第四象限，且P 点的纵坐标为 ， Q 点的横坐标为 则 ） A B C D 12已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =x） x）恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 3） B（ 1， 3） C（ 2， 3） D（ 0， 2） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13如图是某学校一名篮球运动员在 10 场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这 10场比赛中得分的中位数为 第 3 页（共 19 页） 14若曲线 y=x2+ax+b 在点（ 0， b）处的切线方程是 x y+1=0，则 15已知双曲线 （ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 物线 的准线过双曲线 焦点，若双曲线 抛物线 交点 P 满足 双曲线 离心率为 16在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，且满足 4 B+C） = ，若 a=2，则 面积的最大值是 三、解答题（共 6 小题，总计 70 分） 17 2012 年 “双节 ”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ km/t）分成六段：（ 60， 65）， 65， 70）， 70， 75）， 80， 85），85， 90）后得到如图的频率分布直方图 （ 1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？ （ 2）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值 （ 3）若从车速 在 60， 70）的车辆中任抽取 2 辆，求车速在 65， 70）的车辆至少有一辆的概率 18已知等比数列 足 2a1+ 是 等差中项 （ ）求数列 通项公式； （ ）若 bn=an+ Sn=b1+使 2n+1+47 0 成立的正整数 n 的最小值 19如图 1，在直角梯形 ， D= 现以 后沿边 矩形 折，使平面 平面 （ 1）求证： 平面 第 4 页（共 19 页） （ 2）若点 D 到平面 距离为 ，求三棱锥 F 体积 20已知直线 l： 4x+3y+10=0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的上方 （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）设过点 P（ 1， 1）的直线 圆 C 截得的弦长等于 2 ，求直线 方程； （ 3）过点 M（ 1， 0）的直线与圆 C 交于 A， B 两点（ A 在 x 轴上方），问在 x 轴正半轴上是否存在点 N，使得 x 轴平分 存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 21设函数 f（ x） = 2x2+a R）， g（ x） = +3 （ I）若函数 f（ x）在定义域内单调递减， 求实数 a 的取值范围； （ 对任意 x （ 0， e），都有唯一的 e 4， e，使得 g（ x） =f（ +2立，求实数 a 的取值范围 22已知直线 l 的参数方程为： （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为： 2 （ 1）以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若求直线，被曲线 c 截得的弦长为 2 ，求 m 的值 第 5 页（共 19 页） 2015年湖南 省东部六校高三（上） 12 月联考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求 . 1已知集合 M= 2， 1， 0， 1， N=x| 2x 4， x Z，则 MN=（ ） A M= 2， 1， 0， 1， 2 B M= 1， 0， 1， 2 C M= 1， 0， 1 D M=0， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 求解指数不等式化简集合 N，然后直接利用交集 运算求解 【解答】 解： N=x| 2x 4， x Z=x Z| 1 x 2= 1， 0， 1， 2， 集合 M= 2， 1， 0， 1， MN= 1， 0， 1 故： C 2已知 i 是虚数单位，设复数 +i， +2i，则 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 【 分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解： = = = 在复平面内对应的点 在第四象限 故选： D 3函数 y=lg|x|（ ） A是偶函数，在区间（ ， 0）上单调递增 B是偶函数，在区间（ ， 0）上单调递减 C是奇函数，在区间（ ， 0）上单调递增 D是奇函数，在区间（ ， 0）上单调递减 【考点】 对数函数的单调区间；函数奇偶性的判断 【分析】 先求出函数的定义域，然后根据奇偶性的定义进行判定，最后根据复合函数单调性的判定方法进行判定即可 【解答】 解：函数 y=lg|x|定义域为 x|x 0， 而 x|=lg|x|，所以该函数为偶函数， |x|在（ ， 0）上单调递减，在（ 0， +）上单调递增， 第 6 页（共 19 页） 函数 y=lg|x|在（ ， 0）上单调递减，在（ 0， +）上单调递增； 故选 B 4设向量 ， =（ 2， 若 ，则 ）等于（ ） A B C 3 D 3 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正切函数 【分析】 利用 ，即可得出 利用两角差的正切公式即可得出 【解答】 解： ， 2，即 = ， 故选 B 5将函数 y=x+ ）的图象上各点的横坐标压 缩为原来的 倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ）【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律求得 g（ x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得 y=g（ x）的单调递增区间 【解答】 解：将函数 y=x+ ）图象上每一点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函 数 y=2x+ ）的图象； 令 2 2x+ 2，求得 x ， 可得函数 g（ x）的增区间为 ， ， k z， 当 k=0 时，可得函数在区间（ ， ）单调递增 故选： A 6已知 公差不为 0 的等差数列 前项和，且 等比数列，则 =（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】 等比数列的性质；等差数列的前 n 项和 【分析】 由等比中项的性质列 出 ，再代入等差数列的通项公式和前 n 项和公式，用 d 表示出来，求出 d 的关系，进而求出式子的比值 第 7 页（共 19 页） 【解答】 解：设等差数列 公差为 d，且 d 0， 等比数列， ， =， =22d）， 得 d=2 d=0（舍去）， = = =8， 故选 C 7已知椭圆的中心在原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程 【解答】 解：抛物线 4x 的焦点为（ 1， 0）， c=1， 由离心率 可得 a=2， b2=， 故椭圆的标准方程为 + =1， 故选 A 8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（ ）A 4 B 8 C 4 D 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四 个面的面积中的最大值 【解答】 解：根据几何体的三视图知，该几何体底面是边长为 4 的正三角形，高为 4 的三棱锥， 第 8 页（共 19 页） 且侧棱垂直于底面三角形的一个顶点，如图所示； 则两个垂直底面的侧面面积为 S 4 4=8； 底面面积为 S 42 4 ； 另一个侧面的面积为 S 4 =4 ； 所以四个面中面积的最大值为 4 故选： C 9实数 x， y 满足 （ a 1），且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，建立方程关系，即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大， 此时 z 最 大， 由 ，解得 即 A（ 1， 1），此时 z=2 1+1=3， 当直线 y= 2x+z 经过点 B 时，直线的截距最小， 此时 z 最小， 由 ，解得 ， 即 B（ a， a），此时 z=2 a+a=3a， 目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍， 3=4 3a， 即 a= 故选： B 第 9 页（共 19 页） 10执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出 S 的值为（ ） A 4 B 8 C 10 D 12 【考点】 循环结构 【分析】 由已知中的程序框图及已知中输入 8，可得：进入循环的条件为 i 8，即 i=2， 4，6， 8模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值 【解答】 解：当 i=2 时， S= （ 1 2） =2， i=2+2=4， k=2； 当 i=4 时， S= （ 2 4） =4， i=4+2=6， k=3； 当 i=6 时， S= （ 4 6） =8， i=6+2=8， k=4； 当 i=8 时，不满足 i 8，退出循环，输出 S=8 故选 B 第 10 页（共 19 页） 11已知 P、 Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为 ， Q 点的横坐标为 则 ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义 【分析】 由条件利用直角三角形中的边角关系求得 值， 利用同角三角函数的基本关系求得 利用两角和的余弦公式求得 的值 【解答】 解：由题意可得， ， ； 再根据 ，可得 = ， 故选： D 12已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =x） x）恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 3） B（ 1， 3） C（ 2， 3） D （ 0， 2） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 问题转化为：方程 f（ x） =0，或 f（ x） ，共有 6 个不同的解，其中前一方程有 3 解，所以后一方程有三解，故采用数形结合法求解 【解答】 解：令 g（ x） =x） x） =0， 则 f（ x） =0，或 f（ x） ， 当 f（ x） =0 时，即 3x+1=0 或 4x+1=0， 解得 x= ， x=2 ， x=2+ ，即有三个零点， 第 11 页（共 19 页） 当 f（ x） ，即 f（ x） = x=0 时， f（ 0） =1 0，即 x 0， 方程 =a 有三个根， 当 x 0 时， =3+ ， 当 x 0 时， =|x+ 4|， 分别画出 y= （紫线）与 y=a 的图象，如右图所示， 由图可知，当 a （ 2， 3）时，两函数图象有三个交点， 综合以上讨论得，当 a （ 2， 3）时，原函数 g（ x）有六个零点 故答案为： C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13如图是某学校一名篮球运动员在 10 场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这 10场比赛中得分的中位数为 15 【考点】 茎叶图 【分析】 根据中位数的定义进行求解即可 【解答】 解：根据茎叶图将数据从小到大排列之后，对应的第 5 个数为 14，第 6 个数为 16， 则对应的中位数为 =15， 故答案为： 15 14若曲线 y=x2+ax+b 在点（ 0， b）处的切线方程是 x y+1=0，则 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系求出 a，再根据点 （ 0， b）在切线 x y+1=0 上求出 b 即可 【解答】 解： y=2x+a|x=0=a， a=1，（ 0， b）在切线 x y+1=0， 第 12 页（共 19 页） b=1 则 故答案为： 1 15已知双曲线 （ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 物线 的准线过双曲线 焦点，若双曲线 抛物线 交点 P 满足 双曲线 离心率为 +1 【考点】 双曲 线的简单性质 【分析】 先设出抛物线方程，进而根据题意可得 p 与 a 和 c 的关系，把抛物线方程与双曲线方程联立，把 x=c， 入整理可得答案 【解答】 解：设抛物线方程为 题意可知 =c， p=2c， 抛物线方程与双曲线方程联立得 =1， 把 x=c，代入整理得 6=0 解得 e= +1， 故答案为： +1 16在 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，且满足 4 B+C） = ，若 a=2，则 面积的最大值是 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 利用三角形的内角和，结合已知条件等式，可得关于 A 的三角方 程，从而可以求得 A 的大小，利用余弦定理及基本不等式，可求得 而可求 面积的最大值 【解答】 （本题满分为 10 分） 解： A+B+C=， 4 B+C） =2（ 1+ 2= ， 22=0 0 A ， A= a=2，由余弦定理可得： 4=b2+2bc=当且仅当 b=c=2，不等式等号成立） 4 S = 故答案为： 第 13 页（共 19 页） 三、解答题（共 6 小题，总计 70 分） 17 2012 年 “双节 ”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ km/t）分成六段：（ 60， 65）， 65， 70）， 70， 75）， 80， 85），85， 90）后得到如图的频率分布直方图 （ 1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？ （ 2）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的 估计值 （ 3）若从车速在 60， 70）的车辆中任抽取 2 辆，求车速在 65， 70）的车辆至少有一辆的概率 【考点】 等可能事件的概率；用样本的频率分布估计总体分布 【分析】 （ 1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样； （ 2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为 应的横轴的左边即为中位数； 利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数 （ 3）从图中可知，车速在 60， 65）的车辆数和车速在 65， 70）的车辆数从车速在（ 60，70）的车辆中任抽取 2 辆，设车速在 60， 65）的车辆设为 a， b，车速在 65， 70）的车辆设为 c， d， e， f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可 【解答】 解：（ 1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样 故调查公司 在采样中，用到的是系统抽样， （ 2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 设图中虚线所对应的车速为 x，则中位数的估计值为： 5+5+5+（ x 75） = 解得 x=中位数的估计值为 （ 3）从图中可知，车速在 60， 65）的车辆数为： 5 40=2（辆）， 车速在 65， 70）的车辆数为： 5 40=4（辆） 设车速在 60， 65）的车辆设为 a， b，车速在 65， 70）的车辆设为 c， d， e， f， 则所有基本事件有：（ a， b），（ a， c），（ a， d），（ a， e），（ a， f），（ b， c），（ b， d），（ b， e），（ b， f），（ c， d），（ c， e），（ c， f），（ d， e），（ d， f），（ e， f）共 15 种 第 14 页（共 19 页） 其中车速在 65， 70）的车辆至少有一辆的事件有：（ a， c），（ a， d），（ a， e），（ a， f），（ b，c），（ b， d），（ b， e），（ b， f），（ c， d），（ c， e），（ c， f），（ d， e），（ d， f），（ e， f）共 14 种 所以，车速在 65， 70）的车辆至少有一辆的概率为 18已知等比数列 足 2a1+ 是 等差中项 （ ）求数列 通项公式； （ ）若 bn=an+ Sn=b1+使 2n+1+47 0 成立的正整数 n 的最小值 【考点】 等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；数列与不等 式的综合 【分析】 （ ）设等比数列 首项为 比为 q，根据 2a1+ 是 立方程组，从而可求数列 通项公式； （ ） =2n n，求出 Sn=b1+利用 ，建立不等式，即可求得使 成立的正整数 n 的最小值 【解答】 解：（ ）设等比数列 首项为 比为 q， 依题 意， 2a1+ 是 等差中项 由 得 3q+2=0，解得 q=1 或 q=2 当 q=1 时，不合题意舍； 当 q=2 时，代入（ 2）得 ，所以 n （ ） =2n n 所以 Sn=b1+ 2+22+2n）（ 1+2+n） =2n+1 2 因为 ，所以 2n+1 2 2n+1+47 0， 即 n2+n 90 0，解得 n 9 或 n 10 故使 成立的正整数 n 的最小值为 10 第 15 页（共 19 页） 19如图 1，在直角梯形 ， D= 现以 后沿边 矩形 折，使平面 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）若点 D 到平面 距离为 ，求三棱锥 F 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 D=D，即可证明 平面 （ 3）由（ 1）知，平面 平面 平面 出高 换底面即可求三棱锥 F 体积 【解答】 （ 1）证明：在正方形 ， 又 平面 平面 平面 面 D， 平面 在直角梯形 ， D=1， ， 5，可得 在 ， C= ， ， 故 平面 （ 2）解：由（ 1）知，平面 平面 平面 ， ，由等面积可得 ， B = 20已知直线 l： 4x+3y+10=0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的上方 （ 1）求圆 C 的方程； 第 16 页（共 19 页） （ 2）设过点 P（ 1， 1）的直线 圆 C 截得的弦长等于 2 ，求直线 方程； （ 3）过点 M（ 1， 0）的直线与圆 C 交于 A， B 两点（ A 在 x 轴上方），问在 x 轴正半轴上是否存在点 N，使得 x 轴平分 存在，请求出 点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 直线和圆的方程的应用 【分析】 （ 1）设出圆心 C 坐标，根据直线 l 与圆 C 相切，得到圆心到直线 l 的距离 d=r，确定出圆心 C 坐标，即可得出圆 C 方程； （ 2）根据垂径定理及勾股定理，由过点 P（ 1， 1）的直线 圆 C 截得的弦长等于 2 ，分直线 率存在与不存在两种情况求出直线 方程即可； （ 3）当直线 x 轴，则 x 轴平分 直线 率存在时，设 直线 程为 y=k（ x 1），联立圆与直线方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若 x 轴平分 出 t 的值，确定出此时 N 坐标即可 【解答】 解：（ 1）设圆心 C（ a， 0）（ a ）， 直线 l： 4x+3y+10=0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切， d=r，即 =2， 解得： a=0 或 a= 5（舍去）， 则圆 C 方程为 x2+； （ 2）由题 意可知圆心 C 到直线 距离为 =1， 若直线 率不存在，则直线 x=1，圆心 C 到直线 距离为 1； 若直线 率存在，设直线 y 1=k（ x 1），即 y+1 k=0， 则有 =1，即 k=0，此时直线 y=1， 综上直线 方程为 x=1 或 y=1； （ 3）当直线 x 轴，则 x 轴平分 若 x 轴平分 + =0， + =0， 整理得： 2 t+1）（ x1+2t=0，即 +2t=0， 解得： t=4， 第 17 页（共 19 页） 当点 N（ 4， 0），能使得 成立 21设函数 f（ x） = 2x2+a R）， g（ x） = +3 （ I）若函数 f（ x）在定义域内单调递减，求实数 a 的取值范围； （ 对任意 x （ 0， e），都有唯一的 e 4， e，使得 g（ x） =f（ +2立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）根据题意即可得出 4 0 在（ 0， +）上恒成立，从而有 0 或者，这样便可解出实数 a 的取值范围；